Łojasiewicz ojämlikhet

I real algebraisk geometri ger Łojasiewicz -ojämlikheten , uppkallad efter Stanisław Łojasiewicz , en övre gräns för avståndet för en punkt till närmaste nollpunkt i en given reell analytisk funktion . Närmare bestämt, låt ƒ : U → R vara en verklig analytisk funktion på en öppen mängd U i R ⁿ , och låt Z vara nollpunkten för ƒ. Antag att Z inte är tom. Sedan för varje kompakt mängd K i U finns det positiva konstanter α och C så att för alla x i K

$\operatörsnamn {avstånd} (x,Z)^{\alpha }\leq C|f(x)|.$

Här kan α vara stort.

Följande form av denna olikhet ses ofta i mer analytiska sammanhang: med samma antaganden om f , för varje p ∈ U finns det en möjligen mindre öppen grannskap W av p och konstanterna θ ∈ (0,1) och c > 0 sådana den där

$|f(x)-f(p)|^{\theta }\leq c|\nabla f(x)|.$

Ett specialfall av Łojasiewicz-ojämlikheten, på grund av Polyak , används vanligtvis för att bevisa linjär konvergens av algoritmer för gradientnedstigning .

•     Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Semianalytic and Subanalytic Sets" , Publications Mathématiques de L'Ihés , 67 (67): 5–42, doi : 10.1007/bf02699126 , ISSN 1618-1913 , MR 097242 , S2CID 56006439
•     Ji, Shanyu; Kollár, János; Shiffman, Bernard (1992), "En global łojasiewicz-ojämlikhet för algebraiska sorter", Transactions of the American Mathematical Society, 329 ( 2): 813–818, DOI : 10.2307/2153965 , ISSN 0002-9947 , JStor 215396 , MR 10466666

externa länkar

• "Lojasiewicz ojämlikhet" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]