Starkt minimal teori

I modellteori - en gren av matematisk logik - är en minimal struktur en oändlig ensorterad struktur så att varje delmängd av dess domän som är definierbar med parametrar är antingen finit eller kofinit . En starkt minimal teori är en komplett teori vars alla modeller är minimala. En starkt minimal struktur är en struktur vars teori är starkt minimal.

Således är en struktur minimal endast om de parametriskt definierbara delmängderna av dess domän inte kan undvikas, eftersom de redan är parametriskt definierbara i det rena språket av jämlikhet. Stark minimalitet var en av de tidiga föreställningarna inom det nya området för klassificeringsteori och stabilitetsteori som öppnades upp av Morleys teorem om helt kategoriska strukturer.

De icke-triviala standardexemplen på starkt minimala teorier är de ensorterade teorierna om oändligt dimensionella vektorrum och teorierna ACF _p för algebraiskt slutna fält med karakteristiska p . Som exemplet ACF _p visar kan de parametriskt definierbara delmängderna av kvadraten på domänen av en minimal struktur vara relativt komplicerade (" kurvor ").

Mer generellt kallas en delmängd av en struktur som definieras som uppsättningen av realiseringar av en formel φ ( x ) en minimal uppsättning om varje parametriskt definierbar delmängd av den är antingen finit eller kofinit. Det kallas en starkt minimal uppsättning om detta är sant även i alla elementära tillägg .

En starkt minimal uppsättning, utrustad med stängningsoperatorn som ges av algebraisk stängning i modellteoretisk mening, är en oändlig matroid, eller pregeometri . En modell av en starkt minimal teori bestäms upp till isomorfism av dess dimension som en matroid. Helt kategoriska teorier styrs av en starkt minimal uppsättning; detta faktum förklarar (och används i beviset för) Morleys teorem. Boris Zilber antog att de enda pregeometrier som kan uppstå från starkt minimala mängder är de som uppstår i vektorrum, projektiva rum eller algebraiskt slutna fält. Denna gissning motbevisades av Ehud Hrushovski , som utvecklade en metod som kallas "Hrushovski-konstruktion" för att bygga nya starkt minimala strukturer från finita strukturer.

Se även

Baldwin, John T.; Lachlan, Alistair H. (1971), "On Strongly Minimal Sets", The Journal of Symbolic Logic , The Journal of Symbolic Logic, Vol. 36, nr 1, 36 (1): 79–96, doi : 10.2307/2271517 , JSTOR 2271517
Hrushovski, Ehud (1993), "A new strongly minimal set", Annals of Pure and Applied Logic , 62 (2): 147, doi : 10.1016/0168-0072(93)90171-9