Wilkies teorem

Inom matematik är Wilkies sats ett resultat av Alex Wilkie om teorin om ordnade fält med en exponentiell funktion , eller motsvarande om den geometriska naturen hos exponentiella varianter.

Formuleringar

När det gäller modellteori handlar Wilkies sats om språket L _exp = (+, −, ·, <, 0, 1, e ^x ), språket för ordnade ringar med en exponentiell funktion e ^x . Antag att φ ( x ₁ , ..., x _m ) är en formel i detta språk. Sedan säger Wilkies teorem att det finns ett heltal n ≥ m och polynom f ₁ , ..., f _r ∈ Z [ x ₁ , ..., x _n , e ^{x ₁} , ..., e ^{x _n} ] så att φ ( x ₁ , ..., x _m ) är ekvivalent med den existentiella formeln

$\exists x_{m+1}\ldots \exists x_{n}\,f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_ {1}},\ldots ,e^{x_{n}})=\cdots =f_{r}(x_{1},\ldots,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})=0.$

Så även om denna teori inte har fullständig eliminering av kvantifierare , kan formler sättas i en särskilt enkel form. Detta resultat bevisar att teorin om strukturen R _exp , det vill säga det verkligt ordnade fältet med exponentialfunktionen , är modellfullständig .

När det gäller analytisk geometri säger teoremet att varje definierbar mängd i ovanstående språk - i synnerhet komplementet till en exponentiell variation - i själva verket är en projektion av en exponentiell variation. En exponentiell variation över ett fält K är uppsättningen av punkter i K ⁿ där en ändlig samling exponentiella polynom samtidigt försvinner. Wilkies teorem säger att om vi har någon definierbar mängd i en L _exp- struktur K = ( K , +, −, ·, 0, 1, e ^x ), säg X ⊂ K ^m , så kommer det att finnas en exponentiell variation i någon högre dimension Kn så att projektionen av denna sort ner på ^Km blir exakt X ^.

Gabrielovs teorem

Resultatet kan betraktas som en variant av Gabrielovs teorem. Detta tidigare teorem av Andrei Gabrielov behandlade subanalytiska mängder , eller språket L _an av ordnade ringar med en funktionssymbol för varje korrekt analytisk funktion på R ^m begränsad till den slutna enhetskuben [0, 1] ^m . Gabrielovs teorem säger att vilken formel som helst i detta språk är likvärdig med en existentiell, som ovan. Därför är teorin om det verkligt ordnade fältet med begränsade analytiska funktioner modellfullständig.

Mellanresultat

Gabrielovs sats gäller det reella fältet med alla begränsade analytiska funktioner intill varandra, medan Wilkies sats tar bort behovet av att begränsa funktionen, men bara tillåter en att lägga till exponentialfunktionen. Som ett mellanresultat frågade Wilkie när komplementet till en subanalytisk uppsättning kunde definieras med samma analytiska funktioner som beskrev den ursprungliga uppsättningen. Det visar sig att de nödvändiga funktionerna är Pfaffian-funktionerna . I synnerhet teorin om det verkliga ordnade fältet med begränsade, helt definierade Pfaffian-funktioner är modellfullständig. Wilkies tillvägagångssätt för detta senare resultat skiljer sig något från hans bevis för Wilkies sats, och resultatet som gjorde det möjligt för honom att visa att den Pfaffiska strukturen är komplett med modellen är ibland känt som Wilkies sats för komplementet. Se även.