Halvenkel representation

Inom matematik, specifikt inom representationsteori , är en semisimple representation (även kallad en fullständigt reducerbar representation ) en linjär representation av en grupp eller en algebra som är en direkt summa av enkla representationer (även kallade irreducible representations ). Det är ett exempel på den allmänna matematiska uppfattningen om semisimplicity .

Många representationer som förekommer i tillämpningar av representationsteori är semisimpla eller kan approximeras av semisimpla representationer. En halvenkel modul över en algebra över ett fält är ett exempel på en halvenkel representation. Omvänt är en halvenkel representation av en grupp G över ett fält k en halvenkel modul över gruppringen k [ G ].

Likvärdiga karakteriseringar

Låt V vara en representation av en grupp G ; eller mer generellt, låt V vara ett vektorrum med en uppsättning linjära endomorfismer som verkar på det. I allmänhet sägs ett vektorrum som påverkas av en uppsättning linjära endomorfismer vara enkelt (eller irreducerbart) om de enda invarianta delrymden för dessa operatorer är noll och själva vektorrummet; en halvenkel representation är då en direkt summa av enkla representationer i den meningen.

Följande är likvärdiga:

1. V är halvenkel som representation.
2. V är en summa av enkla underrepresentationer .
3. Varje underrepresentation W av V tillåter en komplementär representation : en underrepresentation W ' sådan att $V=W\oplus W'$ .

Motsvarigheten av ovanstående villkor kan visas baserat på nästa lemma, som är av oberoende intresse:

Lemma — Låt p : V → W vara en surjektiv ekvivariant karta mellan representationer. Om V är halvenkelt, så delar p ; dvs den tillåter ett avsnitt .

Bevis för lemma : Skriv $V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$ där $V_{i}$ är enkla representationer. Utan förlust av generalitet kan vi anta $V_{i}$ är underrepresentationer; dvs vi kan anta att den direkta summan är intern. Betrakta nu familjen av alla möjliga direkta summor $V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V$ med olika delmängder $J\subset I$ . Sätt den partiella ordningen på den genom att säga att den direkta summan över K är mindre än den direkta summan över J om $K\subset J$ . Med Zorns lemma kan vi hitta en maximal $J\subset I$ så att $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ . Vi hävdar att $V=\operatörsnamn {ker} p\oplus V_{J}$ . Per definition, $\operatorname {ker} p\cap V_{J}=0$ så vi behöver bara visa att $V=\operatörsnamn {ker} p+V_{J}$ . Om $\operatorname {ker} p+V_{J}$ är en korrekt underrepresentation av $V$ så finns det $k\in IJ$ såsom att $V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}$ . Eftersom $V_{k}$ är enkel (icke reducerbar), $V_{k}\cap (\operatörsnamn {ker} p+V_{J} )=0$ . Detta motsäger maximaliteten för $J$ , så $V=\operatörsnamn {ker} p\oplus V_{J}$ som påstås. Därför är $W\simeq V/\operatörsnamn {ker} p\simeq V_{J}\till V$ en sektion av p . $\square$

Observera att vi inte kan ta $J$ till mängden $i$ så att $\ker(p)\cap V_{i}=0$ . Anledningen är att det kan hända, och gör det ofta, att $X$ är ett delrum av $Y\oplus Z$ och ändå $X\cap Y=0=X\cap Z$ . Ta till exempel $X$ , $Y$ och $Z$ som tre distinkta linjer genom origo i $\mathbb {R} ^{2}$ . För ett explicit motexempel, låt $A=\operatörsnamn {Mat} _{2}(F)$ vara algebra för $2\x 2$ matriser och sätt $V=A$ , den vanliga representationen av $A$ . Set $V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}$ och ${\displaystyle V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}} och ställ$ in $W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}$ . Då är $V_{1}$ , $V_{2}$ och $W$ alla irreducerbara $A$ -moduler och ${\ displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$ . Låt $p:V\to V/W$ vara den naturliga överblicken. Då $\operatorname {ker} p=W\neq 0$ och $V_{1}\cap \operatorname {ker } p=0=V_{2}\cap \operatörsnamn {ker} p$ . I detta fall, $W\simeq V_{1}\simeq V_{2}$ men $V\neq \operatörsnamn {ker } p\oplus V_{1}\oplus V_{2}$ eftersom denna summa inte är direkt.

Bevis på ekvivalenser $1.\Högerpil 3.$ : Ta p för att vara den naturliga översikten $V\to V/W$ . Eftersom V är halvenkelt delas p och så, genom en sektion, är $V/W$ isomorf till en underreprepretation som är komplementär till W .

$3.\Rightarrow 2.$ : Vi ska först observera att varje subrepresentation W som inte är noll har en enkel underrepresentation. Genom att krympa W till en (icke noll) cyklisk underrepresentation kan vi anta att den genereras ändligt. Då har den en maximal underrepresentation U . Med villkoret 3., $V=U\oplus U'$ för vissa $U'$ . Enligt modullag innebär det $W=U\oplus (W\cap U')$ . Då är $(W\cap U')\simeq W/U$ en enkel underrepresentation av W ("enkel" på grund av maximalitet). Detta etablerar observationen. Ta nu $W$ för att vara summan av alla enkla underrepresentationer, som med 3. tillåter en komplementär representation $W'$ . Om $W'\neq 0$ , så innehåller $W'$ en enkel underrepresentation och så $W\cap W'\neq 0$ , ett nonsens. Därför är $W'=0$ .

$2.\Rightarrow 1.$ : Innebörden är en direkt generalisering av ett grundläggande faktum i linjär algebra att en bas kan extraheras från en spännande uppsättning av ett vektorrum. Det vill säga vi kan bevisa följande lite mer exakta påstående:

• När $V=\sum _{i\in I}V_{i}$ är en summa av enkla underrepresentationer, är en halvenkel sönderdelning $V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}$ , någon delmängd $I'\subset I$ , kan extraheras från summan.

Liksom i beviset för lemma kan vi hitta en maximal direkt summa $W$ som består av några ${\displaystyle V_{i}}:$ n. Nu, för varje i i I , för enkelhetens skull, antingen $V_{i}\subset W$ eller $V_{i}\cap W=0$ . I det andra fallet är den direkta summan $W\oplus V_{i}$ en motsägelse till maximaliteten för W . Därför $V_{i}\subset W$ . $\square$

Exempel och icke-exempel

Enhetsrepresentationer

En ändlig dimensionell enhetsrepresentation (dvs en representation som faktoriseras genom en enhetlig grupp ) är ett grundläggande exempel på en semisenkel representation. En sådan representation är semisenkel eftersom om W är en underrepresentation så är det ortogonala komplementet till W en komplementär representation eftersom om $v\in W^{\bot }$ och $g\ i G$ , sedan $\langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi ( g^{-1})w\rangle =0$ för varje w i W eftersom W är G -invariant, och så $\pi (g)v\in W^{\ bot }$ .

Till exempel, givet en kontinuerlig finitdimensionell komplex representation $\pi :G\to GL(V)$ av en finit grupp eller en kompakt grupp G , genom medelvärdesargumentet, en kan definiera en inre produkt $\langle ,\rangle$ på V som är G -invariant: dvs ${\displaystyle \ langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle } ,$ vilket vill säga $\pi (g)$ är en enhetlig operator och så $\pi$ är en enhetsrepresentation. Därför är varje finitdimensionell kontinuerlig komplex representation av G semisenkel. För en ändlig grupp är detta ett specialfall av Maschkes sats , som säger att en ändlig dimensionell representation av en ändlig grupp G över ett fält k med karakteristik som inte delar ordningen av G är semisenkel.

Representationer av halvenkla Lie-algebror

Enligt Weyls teorem om fullständig reducerbarhet är varje finitdimensionell representation av en semisenkel Lie-algebra över ett fält med karakteristisk noll semisimpel.

Separerbara minimala polynom

Givet en linjär endomorfism T av ett vektorrum V , är V semisenkel som en representation av T (dvs. T är en semisimple operator ) om och endast om det minimala polynomet av T är separerbart; dvs en produkt av distinkta irreducerbara polynom.

Tillhörande halvenkel representation

Givet en finitdimensionell representation V , säger Jordan –Hölder-satsen att det finns en filtrering genom underrepresentationer: $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ så att varje successiv kvot $V_{i}/V_{i+1}$ är en enkel representation. Sedan det associerade vektorutrymmet $\operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{ i}/V_{i+1}$ är en halvenkel representation som kallas en associerad semisimple representation , som, upp till en isomorfism, bestäms unikt av V .

Unipotent grupp icke-exempel

En representation av en unipotent grupp är i allmänhet inte halvenkel. Ta $G$ för att vara gruppen som består av verkliga matriser ${\begin{bmatrix}1&a\\&1\end{bmatrix}}$ ; den verkar på $V=\mathbb {R} ^{2}$ på ett naturligt sätt och gör V till en representation av G . Om W är en underrepresentation av V som har dimension 1, så visar en enkel beräkning att den måste sträckas av vektorn ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ . Det vill säga, det finns exakt tre G -underrepresentationer av V ; i synnerhet V inte semisenkel (eftersom en unik endimensionell underrepresentation inte tillåter en komplementär representation).

Halvenkel nedbrytning och mångfald

Se även: Nedbrytning av en modul

Nedbrytningen av en halvenkel representation till enkla, kallad halvenkel dekomposition, behöver inte vara unik; till exempel, för en trivial representation, är enkla representationer endimensionella vektorrum och således en halvenkel uppdelning motsvarar ett val av en bas för representationsvektorrummet. Den isotypiska nedbrytningen är å andra sidan ett exempel på en unik nedbrytning.

Emellertid, för en ändlig-dimensionell halvenkel representation V över ett algebraiskt slutet fält, är antalet enkla representationer upp till isomorfismer som uppträder i sönderdelningen av V (1) unika och (2) bestämmer helt representationen upp till isomorfismer; detta är en följd av Schurs lemma på följande sätt. Antag att en ändlig-dimensionell halvenkel representation V över ett algebraiskt slutet fält ges: per definition är det en direkt summa av enkla representationer. Genom att gruppera enkla representationer i sönderdelningen som är isomorfa för varandra, upp till en isomorfism, finner man en sönderdelning (inte nödvändigtvis unik):

$V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}$

där $V_{i}$ är enkla representationer, ömsesidigt icke-isomorfa till varandra, och $m_{i}$ är positiva heltal. Med Schurs lemma,

$m_{i}=\dim \operatörsnamn {Hom} _{\text{equiv}}( V_{i},V)=\dim \operatörsnamn {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})$ ,

där $\operatorname {Hom} _{\text{equiv}}$ hänvisar till de ekvivarianta linjära kartorna . Dessutom är varje $m_{i}$ oförändrad om $V_{i}$ ersätts med en annan enkel representation som är isomorf till $V_{i}$ . Således är heltalen $m_{i}$ oberoende av valda nedbrytningar; de är multipliciteten av enkla representationer ${\displaystyle V_{i}} ,$ upp till isomorfismer, i V .

I allmänhet, givet en änddimensionell representation $\pi :G\to GL(V)$ av en grupp G över ett fält k , sammansättningen $\chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k$ kallas tecknet för $(\pi ,V)$ . När $(\pi ,V)$ är halvenkel med nedbrytningen $V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}$ enligt ovan, spåret $\operatorname {tr} (\pi (g))$ är summan av spåren av $\pi (g):V_{i}\to V_{i}$ med multipliciteter och därmed, som funktioner på G ,

$\chi _{V}=\summa _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}$

där $\chi _{V_{i}}$ är tecknen i $V_{i}$ . När G är en finit grupp eller mer allmänt en kompakt grupp och $V$ är en enhetlig representation med den inre produkten som ges av medelvärdesargumentet, säger Schur-ortogonalitetsrelationerna : de irreducibla tecknen (tecken i enkla representationer) i G är en ortonormal delmängd av rymden av komplext värderade funktioner på G och därmed $m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{ i}}\rangle$ .

Isotypisk nedbrytning

Det finns en sönderdelning av en halvenkel representation som är unik, kallad den isotypiska sönderdelningen av representationen. Per definition, givet en enkel representation S , är den isotypiska komponenten av typ S av en representation V summan av alla underrepresentationer av V som är isomorfa till S ; Observera att komponenten också är isomorf till den direkta summan av ett urval av underrepresentationer som är isomorf till S (så komponenten är unik, medan summeringarna inte är nödvändiga).

Då är den isotypiska nedbrytningen av en halvenkel representation V den (unika) direkta summanedbrytningen:

$V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }$

där ${\widehat {G}}$ är uppsättningen av isomorfismklasser av enkla representationer av G och $V^{\lambda }$ är den isotypiska komponenten av V av typ S för vissa $S\in \lambda$ .

Exempel

Låt $V$ vara utrymmet för homogena grad-tre polynom över de komplexa talen i variablerna $x_{1},x_{2},x_{3}$ . Sedan $S_{3}$ på $V$ genom permutation av de tre variablerna. Detta är en ändlig-dimensionell komplex representation av en ändlig grupp, och så är halvenkel. Därför kan denna 10-dimensionella representation delas upp i tre isotypiska komponenter, som var och en motsvarar en av de tre irreducerbara representationerna av $S_{3}$ . Speciellt $V$ tre kopior av den triviala representationen, en kopia av teckenrepresentationen och tre kopior av den tvådimensionella irreducerbara representationen $W$ av $S_{3}$ . Till exempel, spännvidden av $x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^ {2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}$ och $x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}- x_{3}^{2}x_{1}$ är isomorft till $W$ . Detta kan lättare ses genom att skriva detta tvådimensionella delrum som

$W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2} }^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2 })\mid a+b+c=0\}$ .

En annan kopia av $W$ kan skrivas i liknande form:

$W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1) }^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3 })\mid a+b+c=0\}$ .

Så kan den tredje:

$W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^ {3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}$ .

Då är $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$ den isotypiska komponenten av typ $W$ i $V$ .

Komplettering

I Fourieranalys bryter man ner en (fin) funktion som gränsen för funktionens Fourierserie. På ungefär samma sätt kanske en representation i sig inte är halvenkel, men den kan vara kompletteringen (i lämplig mening) av en halvenkel representation. Det mest grundläggande fallet av detta är Peter-Weyl-satsen , som bryter ner den vänstra (eller höger) regelbundna representationen av en kompakt grupp till Hilbert-rymden avslutning av den direkta summan av alla enkla enhetsrepresentationer. Som en följd av detta finns en naturlig nedbrytning för $W=L^{2}(G)$ = Hilbert-utrymmet av (klasser av) kvadratintegrerbara funktioner på en kompakt grupp G :

$W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}$

där ${\widehat {\bigoplus }}$ betyder fullbordandet av den direkta summan och den direkta summan går över alla isomorfismklasser av enkla änddimensionella enhetsrepresentationer ( $\displaystyle (\pi , V)$ } av G. Notera här att varje enkel enhetsrepresentation (upp till en isomorfism) visas i summan med multipliciteten som representationens dimension.

När gruppen G är en ändlig grupp är vektorrummet $W=\mathbb {C} [G]$ helt enkelt gruppalgebra för G och även kompletteringen är tom. Således säger satsen helt enkelt det

$\mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.$

Det vill säga att varje enkel representation av G visas i den vanliga representationen med mångfald av representationens dimension. Detta är en av standardfakta i representationsteorin för en finit grupp (och är mycket lättare att bevisa).

När gruppen G är cirkelgruppen $S^{1}$ motsvarar satsen exakt den klassiska Fourieranalysen.

Tillämpningar på fysik

Inom kvantmekanik och partikelfysik kan ett objekts rörelsemängd beskrivas med komplexa representationer av rotationsgruppen|SO(3) , som alla är halvenkla. På grund av sambandet mellan SO(3) och SU(2) beskrivs det icke-relativistiska spinnet av en elementarpartikel av komplexa representationer av SU(2) och det relativistiska spinnet beskrivs av komplexa representationer av SL ₂ ( C ) , alla av vilka är halvenkla. I rörelsemängdskoppling uppstår Clebsch-Gordan-koefficienter från mångfalden av irreducerbara representationer som uppstår i den semisenkla nedbrytningen av en tensorprodukt av irreducible representationer .

Anteckningar

Källor

•    Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Ringar och kategorier av moduler , Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2:a upplagan), New York, NY: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487 ; OBS: denna referens, nominellt, betraktar en halvenkel modul över en ring, inte över en grupp, men detta är inte en väsentlig skillnad (den abstrakta delen av diskussionen går igenom även för grupper).
• Artin, Michael (1999). "Icke-kommutativa ringar" (PDF) .
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
•   Hall, Brian C. (2015). Lögngrupper, lögnalgebror och representationer: en grundläggande introduktion . Examentexter i matematik. Vol. 222 (andra upplagan). Springer. ISBN 978-3319134666 .
•   Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2:a upplagan), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
•   Procesi, Claudio (2007). Lögngrupper: ett förhållningssätt genom invarianter och representation . Springer. ISBN 9780387260402 . .
•     Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Linjära representationer av ändliga grupper . Graduate Texts in Mathematics , 42 . New York–Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9 . MR 0450380 . Zbl 0355.20006 .