Hitchins ekvationer

Inom matematik , och i synnerhet differentialgeometri och mätteori , är Hitchins ekvationer ett system av partiella differentialekvationer för en koppling och Higgs-fält på en vektorbunt eller huvudbunt över en Riemann-yta , nedskrivna av Nigel Hitchin 1987. Hitchins ekvationer är lokalt ekvivalent med den harmoniska kartekvationen för en yta in i det symmetriska rummet som är dubbelt med strukturgruppen. De framstår också som en dimensionell reduktion av de självdubbla Yang-Mills-ekvationerna från fyra dimensioner till två dimensioner, och lösningar på Hitchins ekvationer ger exempel på Higgs-buntar och holomorfa kopplingar. Förekomsten av lösningar på Hitchins ekvationer på en kompakt Riemann-yta följer av stabiliteten hos motsvarande Higgs-bunt eller motsvarande holomorfa koppling, och detta är den enklaste formen av den Nonabelian Hodge-korrespondensen .

Modulutrymmet för lösningar till Hitchins ekvationer konstruerades av Hitchin i fallet två på en kompakt Riemann-yta och var ett av de första exemplen på ett konstruerat hyperkähler-grenrör . Den icke-abelska Hodge-korrespondensen visar att den är isomorf till Higgs-buntens modulrum och till modulutrymmet för holomorfa anslutningar. Med hjälp av den metriska strukturen på Higgs-buntens modulutrymme som ges av dess beskrivning i termer av Hitchins ekvationer, konstruerade Hitchin Hitchin- systemet , ett helt integrerat system vars vridna generalisering över ett ändligt fält användes av Ngô Bảo Châu i hans bevis på det grundläggande lemmat i Langlands-programmet , för vilket han tilldelades 2010 års Fields-medalje .

Definition

Definitionen kan formuleras för en anslutning på en vektorbunt eller principalbunt , där de två perspektiven i huvudsak är utbytbara. Här presenteras definitionen av huvudbuntar, vilket är den form som förekommer i Hitchins verk.

Låt $P\to \Sigma$ vara ett huvudsakligt $G$ -paket för en kompakt verklig Lie-grupp $G$ över en kompakt Riemann-yta . För enkelhetens skull kommer vi att överväga fallet med $G={\text{SU}}(2)$ eller $G={\text{SO}}( 3)$ , den speciella enhetsgruppen eller speciella ortogonala gruppen . Antag att $A$ är en koppling på $P$ , och låt $\Phi$ vara en sektion av den komplexa vektorbunten ${\displaystyle {\text {ad}}P^{\mathbb {C} }\otimes T_{1,0}^{*}\Sigma } , där$ annons $\displaystyle {\text{ad}}P^{\mathbb {C } }}$ är komplexifieringen av den adjoint bunten av $P$ , med fiber som ges av komplexifieringen ${\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C}$ av Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ av $G$ . Det vill säga, $\Phi$ är en komplex ${\text{ad}}P$ -värderad $(1,0)$ -form på $\ Sigma$ . Ett sådant $\Phi$ kallas ett Higgs-fält i analogi med det hjälp- Higgs-fält som förekommer i Yang–Mills teori .

För ett par $(A,\Phi )$ hävdar Hitchins ekvationer att

$${\begin{cases}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=0\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0.\end{cases}}$$

där $F_{A}\in \Omega ^{2}(\Sigma ,{\text{ad}}P)$ är krökningsformen för $A$ , ${\bar {\partial }}_{A}$ är $(0,1)$ -delen av den inducerade anslutningen på den komplexiserade adjoint bunt ${\text{ad}}P\otimes \mathbb {C}$ och $[\Phi ,\Phi ^{*}]$ är kommutatorn för ${\text{ad}}P$ -värderade enformer i betydelsen Lie algebra-värderade differentialformer .

Eftersom $[\Phi ,\Phi ^{*}]$ är av typen $(1,1)$ , hävdar Hitchins ekvationer att ${ \displaystyle (0,2)}$ -komponent $F_{A}^{0,2}=0$ . Eftersom ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}^{2}=F_{A}^{0,2}},$ innebär detta att ${\ displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$ är en Dolbeault-operator på ${\text{ad}}P^{\mathbb {C} }$ och ger denna Lie-algebra-paket strukturen av en holomorf vektorbunt . Därför betyder villkoret ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}\Phi =0} att$ Φ $\displaystyle \Phi }$ är en holomorf ${\text{ ad}}P$ -värderad $(1,0)$ -form på $\Sigma$ . Ett par som består av en holomorf vektorbunt $E$ med en holomorf endomorfismvärderad $(1,0)$ -form $\Phi$ kallas Higgs-bunt , och så varje lösning på Hitchins ekvationer ger ett exempel på en Higgs-bunt.

Härledning

Hitchins ekvationer kan härledas som en dimensionsreduktion av Yang-Mills ekvationer från fyra dimensioner till två dimensioner. Betrakta en koppling $A$ på en trivial principal $G$ -bunt över $\mathbb {R} ^{4}$ . Sedan finns det fyra funktioner $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}:\mathbb {R} ^ {4}\to {\mathfrak {g}}$ så att

$$A=A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+ A_{3}dx^{3}+A_{4}dx^{4}$$

där $i}}$ { är standardkoordinatdifferentialformerna på $\mathbb {R} ^{4}$ . Självdualitetsekvationerna för anslutningen $A$ , ett speciellt fall av Yang–Mills ekvationer , kan skrivas

$${\begin{cases}F_{12}=F_{34}\\F_{13}=F_{42}\\F_{14 }=F_{23}\end{cases}}$$

där ${\textstil F=\summa _{i<j}F_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}} är$ krökningen två-form av $A$ . För att dimensionellt reducera till två dimensioner, ålägger man att kopplingsformerna $A_{i}$ är oberoende av koordinaterna $x^{3},x^{4}$ på $\mathbb {R} ^{4}$ . Således definierar komponenterna $A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}$ en anslutning på det begränsade paketet över $\mathbb {R} ^{2}$ , och om man ommärker $A_{3}=\phi _{1}$ , $A_{4}=\ phi _{2}$ då är dessa auxiliary ${\mathfrak {g}}$ -värderade fält över $\mathbb {R} ^{2}$ .

Om man nu skriver $\phi =\phi _{1}-i\phi _{2}$ och ${\textstyle \Phi ={\frac {1}{2}}\phi dz}$ där $dz=dx^{1}+idx^{2}$ är ${\ displaystyle (1,0)}$ -form standardkomplexet på $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C}$ , då blir självdualitetsekvationerna ovan just Hitchins ekvationer. Eftersom dessa ekvationer är konformt invarianta på $\mathbb {R} ^{2}$ , är de meningsfulla på en konform kompaktifiering av planet, en Riemann-yta.