Mohr-Coulombs teori

Mohr-Coulomb-teorin är en matematisk modell (se flytytan ) som beskriver svaret från spröda material som betong eller spillror på skjuvspänning såväl som normal spänning. De flesta av de klassiska tekniska materialen följer denna regel i åtminstone en del av deras skjuvbrottshölje. Generellt gäller teorin material för vilka tryckhållfastheten vida överstiger draghållfastheten .

Inom geoteknik används det för att definiera skjuvhållfasthet hos jordar och bergarter vid olika effektiva spänningar .

Inom konstruktionsteknik används det för att bestämma brottlast samt brottvinkeln för en förskjutningsspricka i betong och liknande material. Coulombs friktionshypotes används för att bestämma kombinationen av skjuvning och normal spänning som kommer att orsaka brott i materialet. Mohrs cirkel används för att bestämma vilka huvudsakliga spänningar som kommer att producera denna kombination av skjuvning och normal spänning, och vinkeln på planet i vilket detta kommer att inträffa. Enligt normalitetsprincipen kommer spänningen som införs vid brott att vara vinkelrät mot linjen som beskriver brotttillståndet.

Det kan visas att ett material som går sönder enligt Coulombs friktionshypotes kommer att visa den förskjutning som införs vid brott och bildar en vinkel mot brottlinjen lika med friktionsvinkeln . Detta gör materialets hållfasthet bestämbar genom att jämföra det yttre mekaniska arbetet som införs av förskjutningen och den yttre belastningen med det inre mekaniska arbetet som införs av töjningen och spänningen vid brottlinjen. Genom bevarande av energi måste summan av dessa vara noll och detta kommer att göra det möjligt att beräkna konstruktionens brottlast.

En vanlig förbättring av denna modell är att kombinera Coulombs friktionshypotes med Rankines huvudsakliga spänningshypotes för att beskriva en separationsfraktur. En alternativ syn härleder Mohr-Coulomb-kriteriet som förlängningsfel.

Utvecklingens historia

Mohr-Coulomb-teorin är uppkallad efter Charles-Augustin de Coulomb och Christian Otto Mohr . Coulombs bidrag var en essä från 1773 med titeln " Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture" . Mohr utvecklade en generaliserad form av teorin kring slutet av 1800-talet. Eftersom den generaliserade formen påverkade tolkningen av kriteriet, men inte innehållet i det, fortsätter vissa texter att hänvisa till kriteriet som helt enkelt " Coulomb-kriteriet" .

Mohr–Coulombs misslyckandekriterium

Figur 1: Vy över Mohr–Coulombs brottyta i 3D-rymden av huvudspänningar för $c=2,\phi =-20^{\circ }$

Mohr-Coulombs brottkriterium representerar den linjära enveloppen som erhålls från en kurva över skjuvhållfastheten hos ett material kontra den applicerade normala spänningen. Detta förhållande uttrycks som

$\tau =\sigma ~\tan(\phi )+c$

där $\tau$ är skjuvhållfastheten, $\sigma$ är normalspänningen, $c$ är skärningen av felenveloppen med $\tau$ -axeln, och $\tan(\phi )$ är lutningen på felenveloppen. Storheten $c$ kallas ofta kohesionen och vinkeln $\phi$ kallas vinkeln för inre friktion . Kompressionen antas vara positiv i följande diskussion. Om komprimering antas vara negativ $\sigma$ ersättas med $-\sigma$ .

Om $\phi =0$ reduceras Mohr-Coulomb-kriteriet till Tresca-kriteriet . Å andra sidan, om $\phi =90^{\circ }$ är Mohr-Coulomb-modellen ekvivalent med Rankine-modellen. Högre värden på $\phi$ är inte tillåtna.

Från Mohrs krets har vi

$$\sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi$$

var

$$\tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m }={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}$$

och $\sigma _{1}$ är den maximala huvudspänningen och $\sigma _{3}$ är den minsta huvudspänningen.

Därför kan Mohr-Coulomb-kriteriet också uttryckas som

$$\tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.$$

Denna form av Mohr-Coulomb-kriteriet är tillämplig på fel på ett plan som är parallellt med $\sigma _{2}$ -riktningen.

Mohr–Coulomb misslyckandekriterium i tre dimensioner

Mohr-Coulomb-kriteriet i tre dimensioner uttrycks ofta som

$\left\{{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{ 1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{ 3}}{2}}&=\vänster[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\vänster[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}} {2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.$

Mohr -Coulombs brottyta är en kon med hexagonalt tvärsnitt i avvikande spänningsutrymme.

Uttrycken för $\tau$ och $\sigma$ kan generaliseras till tre dimensioner genom att utveckla uttryck för normalspänningen och den upplösta skjuvspänningen på ett plan med godtycklig orientering med avseende på koordinataxlarna (bas vektorer). Om enheten är normal mot det intressanta planet

$\mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}$

där $\mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3$ är tre ortonormala enhetsbasisvektorer, och om huvudspänningen $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ är justerade med basvektorerna ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}} , då$ är uttrycken för $\sigma ,\tau$

${\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2 }\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2} +(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2} (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3} )^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}$

Mohr-Coulombs misslyckandekriteriet kan sedan utvärderas med det vanliga uttrycket

$$\tau =\sigma ~\tan(\phi )+c$$

för de sex planen med maximal skjuvspänning.

Härledning av normal- och skjuvspänning på ett plan

Låt enheten vinkelrät mot det intressanta planet vara $\mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+ n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}$ där $\mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3$ är tre ortonormala enhetsbasisvektorer. Då ges dragvektorn på planet av $\mathbf {t} =n_{i}~\sigma _{ij}~\mathbf {e} _{j}~~~{\ text{(upprepade index indikerar summering)}}$ Storleken på dragvektorn ges av $|\mathbf {t} |={\sqrt {(n_ {j}~\sigma _{1j})^{2}+(n_{k}~\sigma _{2k})^{2}+(n_{l}~\sigma _{3l})^{2 }}}~~~{\text{(upprepade index indikerar summering)}}$ Då ges storleken på spänningen normal till planet av $\sigma =\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\sigma _{ij}~ n_{j}~~{\text{(upprepade index indikerar summering)}}$ Storleken på den upplösta skjuvspänningen på planet ges av $$\tau ={\sqrt {|\mathbf {t} |^{2}-\sigma ^{2}}}$$ När det gäller komponenter har vi ${\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{11}+n_{2}^{2}\sigma _{22} +n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{ 3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3} \sigma _{31})^{2}+(n_{1}\sigma _{12}+n_{2}\sigma _{22}+n_{3}\sigma _{23})^{2} +(n_{1}\sigma _{31}+n_{2}\sigma _{23}+n_{3}\sigma _{33})^{2}-\sigma ^{2}}}\end {Justerat}}$ Om huvudspänningarna $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ inriktade med basvektorerna ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}} , sedan uttrycken för$ σ $\displaystyle \sigma ,\tau }$ är ${\begin{aligned }\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\ \\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}- \sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{ 3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}\end{aligned}}$

Figur 2: Mohr–Coulomb flytyta i $\pi$ -planet för $c=2,\phi =20^{\circ }$

Figur 3: Spår av Mohr–Coulombs flytyta i $\sigma _{1}-\sigma _{2}$ -planet för $c =2,\phi =20^{\circ }$

Mohr–Coulomb felyta i Haigh–Westergaard-rymden

Mohr–Coulombs misslyckande (avkastnings) ytan uttrycks ofta i Haigh–Westergaad-koordinater . Till exempel funktionen

$${\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi$$

kan uttryckas som

$\left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-\sin \phi \cos \left(\theta +{ \cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .$

Alternativt, i termer av invarianterna $p,q,r$ kan vi skriva

$\left[}{{\cfrac {1 {\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)-{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]qp~\tan \phi =c$

var

$$\theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.$$

Härledning av alternativa former av Mohr-Coulombs avkastningsfunktion

Vi kan uttrycka avkastningsfunktionen $${\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi$$ som $\sigma _{1}~{\cfrac {(1-\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}-\sigma _{3}~{\cfrac {(1+\ sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}=1~.$ Haigh –Westergaard-invarianterna är relaterade till huvudspänningarna genom $\sigma _{1}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \theta ~;~~\sigma _{3}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \ vänster(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\höger)~.$ Att plugga in i uttrycket för Mohr-Coulombs avkastningsfunktion ger oss $-{\sqrt {2}}~\xi ~\sin \phi +\rho [\cos \theta -\cos(\theta +2\pi /3)]-\rho \sin \phi [ \cos \theta +\cos(\theta +2\pi /3)]={\sqrt {6}}~c~\cos \phi$ Att använda trigonometriska identiteter för summan och skillnaden av cosinus och omarrangemang ger oss uttrycket för Mohr–Coulombs avkastningsfunktion i termer av $\xi ,\rho ,\theta$ . Vi kan uttrycka avkastningsfunktionen i termer av $p,q$ genom att använda relationerna $$\xi ={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~q$$ och enkel substitution.

Mohr-Coulomb avkastning och plasticitet

Mohr-Coulombs flytyta används ofta för att modellera det plastiska flödet av geomaterial (och andra kohesiva friktionsmaterial). Många sådana material visar dilatationsbeteende under triaxiala stresstillstånd som Mohr-Coulomb-modellen inte inkluderar. Dessutom, eftersom flytytan har hörn, kan det vara obekvämt att använda den ursprungliga Mohr-Coulomb-modellen för att bestämma riktningen för plastiskt flöde (i flödesteorin om plasticitet ).

Ett vanligt tillvägagångssätt är att använda en icke-associerad plastisk flödespotential som är jämn. Ett exempel på en sådan potential är funktionen

$$g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi$$

där $\alpha$ är en parameter, $c_{\mathrm {y} }$ är värdet på $c$ när plasttöjningen är noll (även kallad den initiala kohesionens sträckgräns ), $\psi$ är vinkeln som görs av flytytan i det renduliciska planet vid höga värden på $p$ (denna vinkel kallas även utvidgningsvinkeln ) , och ${ \displaystyle G(\phi ,\theta )}$ är en lämplig funktion som också är jämn i det deviatoriska spänningsplanet.

Typiska värden för kohesion och inre friktionsvinkel

Värden för kohesion (alternativt kallad kohesiv styrka ) och friktionsvinkelvärden för bergarter och vissa vanliga jordar är listade i tabellerna nedan.

Kohesionshållfasthet (c) för vissa material

Material	Sammanhållningsstyrka i kPa	Sammanhållningsstyrka i psi
Sten	10 000	1450
Slam	75	10
Lera	10 till 200	1,5 till 30
Mycket mjuk lera	0 till 48	0 till 7
Mjuk lera	48 till 96	7 till 14
Medium lera	96 till 192	14 till 28
Styv lera	192 till 384	28 till 56
Mycket styv lera	384 till 766	28 till 110
Hård lera	> 766	> 110

Vinkel för intern friktion ( $\phi$ ) för vissa material

Material	Friktionsvinkel i grader
Sten	30 °
Sand	30 ° till 45 °
Grus	35 °
Slam	26 ° till 35 °
Lera	20 °
Lös sand	30 ° till 35 °
Medium sand	40 °
Tät sand	35 ° till 45 °
Sandigt grus	> 34 ° till 48 °

Se även

• 3D-elasticitet
• Hoek–Brown misslyckandekriterium
• Byerlees lag
• Jordtryck i sidled
• von Mises stressar
• Yield (teknik)
• Drucker Prager avkastningskriterium — en smidig version av M–C avkastningskriteriet
• Lode koordinater

• https://web.archive.org/web/20061008230404/http://fbe.uwe.ac.uk/public/geocal/SoilMech/basic/soilbasi.htm
• http://www.civil.usyd.edu.au/courses/civl2410/earth_pressures_rankine.doc