Macaulays metod

Macaulays metod (den dubbla integrationsmetoden) är en teknik som används i strukturanalys för att bestämma avböjningen av Euler-Bernoulli-balkar . Användning av Macaulays teknik är mycket bekvämt för fall av diskontinuerlig och/eller diskret belastning. Typiskt partiella likformigt fördelade belastningar (udl) och likformigt varierande belastningar (uvl) över spännvidden och ett antal koncentrerade belastningar hanteras bekvämt med denna teknik.

Den första engelska beskrivningen av metoden var av Macaulay . Det faktiska tillvägagångssättet verkar ha utvecklats av Clebsch 1862. Macaulays metod har generaliserats för Euler-Bernoulli-balkar med axiell kompression, till Timosjenko-balkar , till elastiska fundament och till problem där böj- och skjuvstyvheten ändras diskontinuerligt i en balk .

Metod

Utgångspunkten är relationen från Euler-Bernoullis strålteorin

$\pm EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=M$

Där $w$ är avböjningen och $M$ är böjmomentet. Denna ekvation är enklare än strålekvationen av fjärde ordningen och kan integreras två gånger för att hitta $w$ om värdet på $M$ som en funktion av $x$ är känt. För allmänna laddningar $M$ uttryckas i formen

$M=M_{1}(x)+P_ {1}\langle x-a_{1}\rangle +P_{2}\langle x-a_{2}\rangle +P_{3}\langle x-a_{3}\rangle +\dots$

där storheterna $P_{i}\langle x-a_{i}\rangle$ representerar böjmomenten på grund av punktlaster och kvantiteten $\ langle x-a_{i}\rangle$ är en Macaulay-parentes definierad som

$\langle x-a_{i}\rangle ={\begin{cases}0&\mathrm {if} ~x<a_{i}\\x-a_{i}&\mathrm {if} ~x>a_{i}\end{cases}}$

Vanligtvis, när vi integrerar $P(xa)$ får vi

$\int P(xa)~dx=P\left[{\cfrac {x^{2}}{2} }-ax\right]+C$

Men när vi integrerar uttryck som innehåller Macaulay-parenteser har vi

$\int P\langle xa\rangle ~dx=P{\cfrac {\langle xa\rangle ^{2}} {2}}+C_{m}$

med skillnaden mellan de två uttrycken som finns i konstanten $C_{m}$ . Att använda dessa integrationsregler gör beräkningen av avböjningen av Euler-Bernoulli-balkar enkel i situationer där det finns flera punktbelastningar och punktmoment. Macaulay-metoden går före mer sofistikerade koncept som Dirac deltafunktioner och stegfunktioner men uppnår samma resultat för strålproblem.

Exempel: Enkelt stödd balk med punktlast

Enkelt stödd balk med en enda excentrisk koncentrerad last.

En illustration av Macaulay-metoden betraktar en enkelt stödd balk med en enda excentrisk koncentrerad last som visas i den intilliggande figuren. Det första steget är att hitta $M$ . Reaktionerna vid stöden A och C bestäms utifrån balansen mellan krafter och moment som

$displaystyle R_{A}+R_{C}=P,~~LR_{C}=Pa}$

Därför ges $R_{A}=Pb/L$ och böjmomentet i en punkt D mellan A och B ( ${\displaystyle 0<x<a} )$ förbi

$M=R_{A}x=Pbx/L$

Genom att använda moment-krökningsrelationen och Euler-Bernoulli uttryck för böjningsmomentet har vi

$EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}$

Genom att integrera ovanstående ekvation får vi, för $0<x<a$ ,

${\begin{aligned}EI {\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(i)} \\EIw&={\dfrac {Pbx ^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}&&\quad \mathrm {(ii)} \end{aligned}}$

Vid $x=a_{-}$

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{-})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(iii)} \\EIw(a_{-})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+C_{1}a+C_{2}&&\quad \mathrm {( iv)} \end{aligned}}$

För en punkt D i området BC ( ${\displaystyle a<x<L} ),$ är böjmomentet

$M=R_{A}xP(xa)=Pbx/LP(xa)$

I Macaulays tillvägagångssätt använder vi Macaulay-parentesformen av uttrycket ovan för att representera det faktum att en punktbelastning har anbringats på plats B, dvs.

$M={\frac {Pbx}{L}}-P\langle xa\rangle$

Därför har Euler-Bernoullis strålekvation för denna region formen

$EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx} {L}}-P\langle xa\rangle$

Om vi ​​integrerar ovanstående ekvation får vi för $a<x<L$

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-P{\cfrac { \langle xa\rangle ^{2}}{2}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(v)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-P{ \cfrac {\langle xa\rangle ^{3}}{6}}+D_{1}x+D_{2}&&\quad \mathrm {(vi)} \end{aligned}}$

Vid $x=a_{+}$

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{+})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+D_{1}&& \quad \mathrm {(vii)} \\EIw(a_{+})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+D_{1}a+D_{2}&&\quad \mathrm {(viii)} \end{aligned}}$

Genom att jämföra ekvationerna (iii) & (vii) och (iv) & (viii) märker vi att på grund av kontinuitet i punkt B, $C_{1}=D_{1}$ och $C_{2}=D_{2}$ . Ovanstående observation antyder att för de två betraktade regionerna, även om ekvationen för böjmoment och därmed för krökningen är olika, är integrationskonstanterna som erhålls under successiv integration av ekvationen för krökning för de två regionerna desamma.

Ovanstående argument gäller för alla antal/typ av diskontinuiteter i ekvationerna för krökning, förutsatt att ekvationen i varje fall behåller termen för den efterföljande regionen i formen ${\displaystyle \langle xa\rangle ^{n},\langle xb\rangle ^{n},\langle xc\rangle ^{n}} etc. Man bör komma ihåg att$ för alla x, ger kvantiteterna inom parentes, som i ovanstående fall, -ve bör försummas, och beräkningarna bör göras med hänsyn till endast de kvantiteter som ger +ve-tecken för termerna inom parentes.

Vi har återgått till problemet

$EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx} {L}}-P\langle xa\rangle$

Det är uppenbart att endast den första termen ska beaktas för $x<a$ och både termerna för $x>a$ och lösningen är

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}\ höger]-{\cfrac {P\langle xa\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+ C_{2}\right]-{\cfrac {P\langle xa\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}$

Observera att konstanterna placeras omedelbart efter den första termen för att indikera att de går med den första termen när $x<a$ och med båda termerna när $x>a$ . Macaulay-parenteserna hjälper till som en påminnelse om att kvantiteten till höger är noll när man tar hänsyn till punkter med $x<a$ .

Randvillkor

Eftersom $w=0$ vid $x=0$ , $C2=0$ . Dessutom, eftersom $w=0$ vid $x=L$ ,

$\left[{\dfrac {PbL^{2}}{6}}+C_{1}L\right] -{\cfrac {P(La)^{3}}{6}}=0$

eller,

$C_{1}=-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})~.$

Därav,

${\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx ^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})\höger]-{\cfrac {P\langle xa\rangle ^{2 }}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pbx}{6L}}(L^{2}-b^{2} )\right]-{\cfrac {P\langle xa\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}$

Maximal avböjning

För att $w$ ska vara maximal, $dw/dx=0$ . Om vi ​​antar att detta händer för $x<a$ har vi

${\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^ {2}-b^{2})=0$

eller

$x=\pm {\cfrac {(L^{2}-b^{2})^{1/2}}{\sqrt {3 }}}$

Uppenbarligen kan $x<0$ inte vara en lösning. Därför ges den maximala avböjningen av

$EIw_{\mathrm { max} }={\cfrac {1}{3}}\left[{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3} }L}}\right]-{\cfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}$

eller,

$w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}} ~.$

Nedböjning vid lastanbringningspunkten

Vid $x=a$ , dvs vid punkt B är avböjningen

$EIw_{B}={\ dfrac {Pba^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pba}{6L}}(L^{2}-b^{2})={\frac {Pba}{6L}}(a^ {2}+b^{2}-L^{2})$

eller

$w_{B}=-{\cfrac {Pa^{2}b^{2}}{3LEI}}$

Avböjning i mitten

Det är lärorikt att undersöka förhållandet $w_{\mathrm {max} }/w(L/2)$ . Vid $x=L/2$

$EIw(L/2)={ \dfrac {PbL^{2}}{48}}-{\cfrac {Pb}{12}}(L^{2}-b^{2})=-{\frac {Pb}{12}}\ vänster[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\höger]$

Därför,

${\frac {w_{\mathrm {max} }}{w(L/2 )}}={\frac {4(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}L\vänster[{\frac {3L^{2 }}{4}}-b^{2}\right]}}={\frac {4(1-{\frac {b^{2}}{L^{2}}})^{3/2 }}{3{\sqrt {3}}\left[{\frac {3}{4}}-{\frac {b^{2}}{L^{2}}}\right]}}={ \frac {16(1-k^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left(3-4k^{2}\right)}}$

där $k=B/L$ och för $a<b;0<k<0,5$ . Även när belastningen är så nära som 0,05L från stödet är felet vid uppskattning av nedböjningen endast 2,6%. Därför kan uppskattningen av maximal nedböjning i de flesta fall göras ganska exakt med rimlig felmarginal genom att räkna ut avböjningen i mitten.

Specialfall av symmetriskt applicerad belastning

När $a=b=L/2$ , för $w$ vara maximalt

$x={\cfrac {[L^{2}-(L/2)^{2}]^{1/ 2}}{\sqrt {3}}}={\frac {L}{2}}$

och den maximala avböjningen är

$w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {P(L/2)b[L^{2}-(L/2)^{2}]^{3/2}}{9 {\sqrt {3}}EIL}}=-{\frac {PL^{3}}{48EI}}=w(L/2)~.$

Se även

• Strålteori
• Böjning
• Böjningsmoment
• Singularitetsfunktion
• Skjuvning och momentdiagram
• Timosjenko strålteori