Adele ring

I matematik är adeleringen av ett globalt fält (även adelic ring , ring of adeles eller ring of adèles ) ett centralt föremål för klassfältteorin , en gren av algebraisk talteori . Det är den begränsade produkten av alla fullbordanden av det globala fältet och är ett exempel på en självdubbel topologisk ring .

En adele härstammar från en viss typ av idele . "Idele" härstammar från franskans "idèle" och myntades av den franske matematikern Claude Chevalley . Ordet står för 'ideal element' (förkortat: id.el.). Adele (franska: "adèle") står för 'additiv idele' (det vill säga additiv idealelement).

Ringen av adeles låter en elegant beskriva Artins ömsesidighetslag , som är en stor generalisering av kvadratisk ömsesidighet och andra ömsesidighetslagar över ändliga fält. Dessutom är det ett klassiskt teorem från Weil att $G$ -buntar på en algebraisk kurva över ett ändligt fält kan beskrivas i termer av adeles för en reduktiv grupp $G$ . Adeles är också kopplade till de adeliska algebraiska grupperna och adeliska kurvorna.

Studiet av geometri av siffror över ringen av adele i ett talfält kallas adelic geometri .

Definition

Låt $K$ vara ett globalt fält (en finit förlängning av $\mathbf {Q}$ eller funktionsfältet för en kurva X/ F _q över ett ändligt fält). Adele -ringen till $K$ är underringen

$\mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }$

bestående av tuplarna $(a_{\nu })$ där $a_{\nu }$ ligger i underringen ${\mathcal {O}} _{\nu }\subset K_{\nu }$ för alla utom ändligt många platser $\nu$ . Här sträcker sig indexet $\nu$ över alla värderingar av det globala fältet $K$ , $K_{\nu }$ är kompletteringen vid den värderingen och ${\ mathcal {O}}_{\nu }$ motsvarande värderingsring .

Motivering

Ringen av adeles löser det tekniska problemet med att "göra" analys på de rationella talen $\mathbf {Q}$ . Den "klassiska" lösningen som användes av människor tidigare var att gå över till standardmåttkompletteringen $\mathbf {R}$ och använda analytiska tekniker där. Men, som man lärde sig senare, finns det många fler absoluta värden förutom det euklidiska avståndet , ett för varje primtal ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} } ,$ som klassificerades av Ostrowski . Eftersom det euklidiska absolutvärdet, betecknat $|\cdot |_{\infty }$ , är bara en bland många andra, $|\cdot |_{p}$ , ringen av adeles gör det möjligt att göra en kompromiss och använda alla värderingar på en gång . Detta har fördelen av att möjliggöra analytiska tekniker, samtidigt som det behåller information om primtalen eftersom deras struktur är inbäddad av den begränsade oändliga produkten.

Varför den begränsade produkten?

Den begränsade oändliga produkten är ett obligatoriskt tekniskt villkor för att ge talfältet $\mathbf {Q}$ en gitterstruktur inuti ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }} ,$ vilket gör det är möjligt att bygga en teori om Fourieranalys (jfr harmonisk analys ) i adelisk miljö. Detta är analogt med situationen inom algebraisk talteori där ringen av heltal i ett algebraiskt talfält bäddar in

${\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K$

som ett galler. Med kraften av en ny teori om Fourier-analys kunde Tate bevisa en speciell klass av L-funktioner och Dedekinds zetafunktioner var meromorfa på det komplexa planet. En annan naturlig anledning till varför detta tekniska tillstånd håller kan ses direkt genom att konstruera ringen av adeles som en tensorprodukt av ringar. Om man definierar ringen av integral adeles $\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }$ som ringen

$\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}= \mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}$

då kan ringen av adele definieras på samma sätt som

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \ ibland _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \ gånger \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right)\end{aligned}}$

Den begränsade produktstrukturen blir transparent efter att ha tittat på explicita element i denna ring. Om man tar ett rationellt tal $b/c\in \mathbf {Q}$ hittas det $c=p_{1}^{k_ {1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$ . För vilken tuppel som helst $(r,(a_{p}))\in \mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}$ det finns följande serier av jämlikheter

${\begin{aligned}\ vänster({\frac {b}{c}}\right)\otimes (r,(a_{p}))&=b\otimes \left({\frac {r}{c}},{\frac { 1}{c}}(a_{p})\right)\\&=b\otimes \left({\frac {r}{c}},\left({\frac {a_{p}}{c }}\right)\right)\\\end{aligned}}$

Sedan, för alla $p\notin \{p_{1},\ldots ,p_{n}\}$ finns det $a_{p}/c\in \mathbf {Z} _{p}$ för ${\displaystyle a_{p}\in \mathbf {Z} _{p}} ,$ men för $p\in \{p_{1},\ldots ,p_{n}\}$$a_{p}/c\in \mathbf {Q} _{p}$ eftersom det finns en invers potens av $p$ . Detta visar att alla element i denna nya ring av adele kan ha ett element i $\mathbf {Q} _{p}\setminus \mathbf {Z} _{p}$ på endast ändligt många platser $p$ .

Namnets ursprung

I lokal klassfältteori spelar gruppen av enheter i det lokala fältet en central roll. I global klassfältteori tar idele-klassgruppen denna roll. Termen "idele" ( franska : idèle ) är en uppfinning av den franske matematikern Claude Chevalley (1909–1984) och står för "ideal element" (förkortat: id.el.). Termen "adele" ( adèle ) står för additiv idele.

Tanken med adele-ringen är att titta på alla kompletteringar av $K$ på en gång. Vid första anblicken kan den kartesiska produkten vara en bra kandidat. Adele-ringen definieras dock med den begränsade produkten. Det finns två anledningar till detta:

• För varje element i $K$ är värderingarna noll för nästan alla platser, dvs för alla platser utom ett ändligt tal. Så det globala fältet kan bäddas in i den begränsade produkten.
• Den begränsade produkten är ett lokalt kompakt utrymme , medan den kartesiska produkten inte är det. Därför kan det inte finnas någon tillämpning av harmonisk analys på den kartesiska produkten. Detta beror på att lokal kompaktitet säkerställer existensen (och unikheten) av Haar-måttet , ett avgörande verktyg i analys av grupper i allmänhet.

Exempel

Ring of adeles för de rationella talen

Rationalerna K= Q har en värdering för varje primtal p , med (K _ν ,O _ν )=( Q _p , Z _p ), och en oändlig värdering ∞ med Q _∞ = R . Alltså ett inslag av

$\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf { Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})$

är ett reellt tal tillsammans med en p -adic-rationell för varje p , av vilka alla utom ändligt många är p -adic-heltal.

Ring av adeler för funktionsfältet för den projektiva linjen

För det andra, ta funktionsfältet K= F _q ( P ¹ )= F _q (t) för den projektiva linjen över ett ändligt fält. Dess värderingar motsvarar punkterna x i X = P ¹ , dvs kartor över Spec F _q

$x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.$

Till exempel finns det q+1 punkter av formen Spec F _q → P ¹ . I detta fall O _ν =Ô _X,x den fullbordade stjälken på strukturblocket vid x (dvs. fungerar på en formell grannskap av x ) och K _ν =K _X,x är dess fraktionsfält. Således

$\mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K} }_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).$

Detsamma gäller för varje jämn korrekt kurva X/ F _q över ett ändligt fält, varvid den begränsade produkten ligger över alla punkter på x∈X .

Besläktade föreställningar

Gruppen av enheter i adele-ringen kallas idele-gruppen

$I_{K}\ =\ \mathbf {A} _{K}^{\times }.$

Kvotienten av ideles av undergruppen K ^× ⊆I _K kallas idele-klassgruppen

$C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.$

De integrerade adelarna är subringen

$\mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.$

Ansökningar

Anger Artin ömsesidighet

Artin ömsesidighetslagen säger att för ett globalt område K ,

${\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)$

där Kab ^av är den maximala abeliska algebraiska förlängningen av K och ${\displaystyle {\widehat {(\dots )}}} betyder den profinita fullbordandet$ gruppen.

Ger adelisk formulering av Picard-gruppen av en kurva

Om X/ F _q är en jämn korrekt kurva så är dess Picard-grupp

${\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{ \times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }$

och dess divisorgrupp är Div(X) = A _K ^× / O _K ^× . På liknande sätt, om G är en halvenkel algebraisk grupp (t.ex. SL _n , det gäller även för GL _n ) så säger Weil-uniformeringen att

${\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X} ).$

Att tillämpa detta på G= G _m ger resultatet på Picard-gruppen.

Tates avhandling

Det finns en topologi på A _K för vilken kvoten A _K / K är kompakt, vilket gör att man kan göra harmonisk analys på den. John Tate bevisade i sin avhandling "Fourieranalys i talfält och Hecke Zeta-funktioner" resultat om Dirichlet L-funktioner med hjälp av Fourieranalys på adeleringen och idelegruppen. Därför har adeleringen och idelegruppen använts för att studera Riemanns zetafunktion och mer allmänna zetafunktioner och L-funktionerna.

Bevisar Serre-dualitet på en jämn kurva

Om X är en jämn korrekt kurva över de komplexa talen , kan man definiera adeles av dess funktionsfält C ( X ) exakt som de finita fältens fall. John Tate bevisade att Serre dualitet på X

$H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X ,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}$

kan härledas genom att arbeta med denna adele ring A _{C ( X )} . Här L en linjebunt på X .

Notation och grundläggande definitioner

Globala fält

I den här artikeln är $K$ ett globalt fält , vilket betyder att det antingen är ett talfält (en finit förlängning av ${\displaystyle \mathbb {Q} } )$ eller ett globalt funktionsfält (en finit förlängning av $\mathbb {F} _{p^{r}}(t)$ för $p$ primtal och $r\in \mathbb {N}$ ). Per definition är en finit förlängning av ett globalt fält i sig ett globalt fält.

Värderingar

För en värdering $v$ av $K$ kan det skrivas $K_{v}$ för kompletteringen av $K$ med avseende på $v.$ Om $v$ är diskret kan det skrivas $O_{v}$ för värderingsringen av $K_{v}$ och ${\mathfrak {m}}_{v}$ för det maximala idealet för $O_{v}.$ Om detta är ett principideal som betecknar det enhetliga elementet med $\pi _{v}.$ En icke-arkimedisk värdering skrivs som $v<\infty$ eller $v\nmid \infty$ och en arkimedisk värdering som $v|\infty .$ Antag sedan att alla värderingar är icke-triviala.

Det finns en en-till-en identifiering av värderingar och absoluta värden. Fixera en konstant $C>1,$ värderingen $v$ tilldelas det absoluta värdet $|\cdot |_{v},$ definieras som:

$\forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)} &x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$

Omvänt är det absoluta värdet $|\cdot |$ tilldelas värderingen $v_{|\cdot |},$ definierad som:

$\forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).$

En plats för $K$ är en representant för en ekvivalensklass av värderingar (eller absoluta värden) av $K.$ Platser som motsvarar icke-arkimediska värderingar kallas finita , medan platser som motsvarar arkimediska värderingar kallas oändliga . Oändliga platser i ett globalt fält bildar en ändlig mängd, som betecknas med $P_{\infty }.$

Definiera $\textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}$ och låt ${\widehat {O}}^{\times }$ vara dess grupp av enheter. Då $\textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.$

Finita förlängningar

Låt $L/K$ vara en finit förlängning av det globala fältet $K.$ Låt $w$ vara en plats för $L$ och $v$ en plats för $K.$ Om det absoluta värdet $|\cdot |_{w}$ begränsad till $K$ är i ekvivalensklassen för ${\displaystyle v} ,$ då ligger $w$ ovanför $v,$ som betecknas med $w|v,$ och definieras som:

${\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w| v}O_{w}.\end{aligned}}$

(Observera att båda produkterna är ändliga.)

Om $w|v$ , $K_{v}$ kan bäddas in i $L_{w}.$ Därför är $K_{v}$ inbäddad diagonalt i $L_{v}.$ Med denna inbäddning är $L_{v}$ en kommutativ algebra över $K_{v}$ med grad

$\sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].$

Adele-ringen

Uppsättningen av ändliga adele i ett globalt fält $K,$ betecknat $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},$ definieras som den begränsade produkt av $K_{v}$ med avseende på $O_{v}:$

$\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.( x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ för nästan alla }}v\right\ }.$

Den är utrustad med den begränsade produkttopologin, topologin som genereras av begränsade öppna rektanglar, som har följande form:

$U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\ notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},$

där $E$ är en ändlig uppsättning (ändliga) platser och $U_{v}\subset K_{v}$ är öppna. Med komponentvis addition och multiplikation $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}$ också en ring.

Adeleringen i ett globalt fält $K$ definieras som produkten av $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}$ med produkten av kompletteringarna av $K$ på dess oändliga platser. Antalet oändliga platser är ändligt och kompletteringarna är antingen $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C} .$ Kort sagt:

$\mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.$

Med addition och multiplikation definierad som komponentmässigt är adeleringen en ring. Elementen i adeleringen kallas adeles av $K.$ I det följande skriver vi

$\mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},$

även om detta i allmänhet inte är en produkt med begränsningar.

Anmärkning. Globala funktionsfält har inga oändliga platser och därför är den ändliga adeleringen lika med adeleringen.

Lemma. Det finns en naturlig inbäddning av $K$ i $\mathbb {A} _{K}$ som ges av den diagonala kartan: $a\mapsto (a,a,\ldots ).$

Bevis. Om $a\in K,$ så är $a\in O_{v}^{\times }$ för nästan alla $v.$ Detta visar att kartan är väldefinierad. Den är också injektiv eftersom inbäddningen av $K$ i $K_{v}$ är injektiv för alla $v.$

Anmärkning. Genom att identifiera $K$ med dess bild under diagonalkartan betraktas den som en subring av $\mathbb {A} _{K}.$ Elementen i $K$ kallas de huvudsakliga adeles av $\mathbb {A} _{K}.$

Definition. Låt $S$ vara en uppsättning platser av $K.$ Definiera mängden av $S$ -adeles av $K$ som

$\mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.$

Dessutom, om

$\mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}$

resultatet är: $\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.$

Rationalernas adele ring

Enligt Ostrowskis teorem är platserna för $\mathbb {Q}$$\{p\in \mathbb {N} :p{\text{ primtal }}\}\cup \{\infty \},$ det är möjligt att identifiera ett primtal $p$ med ekvivalensklassen för $p$ -adiskt absolutvärde och $\infty$ med ekvivalensklassen för det absoluta värdet $|\cdot |_{\infty }$ definierad som:

$\forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\- x&x<0\end{cases}}$

Kompletteringen av $\mathbb {Q}$ med avseende på platsen $p$ är $\mathbb {Q} _{p}$ med värderingsringen $\mathbb {Z} _{p}.$ För platsen $\infty$ är kompletteringen $\mathbb {R} .$ Alltså:

${\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\ text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\ vänster({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}$

Eller kort och gott

$\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .$

skillnaden mellan begränsad och obegränsad produkttopologi kan illustreras med en sekvens i $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ :

Lemma. Betrakta följande sekvens i $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ :

${\begin{aligned}x_{1}&=\ vänster({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1 ,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}$

I produkttopologin konvergerar detta till $(1,1,\ldots )$ , men det konvergerar inte alls i den begränsade produkttopologin.

Bevis. I produkttopologi motsvarar konvergens konvergensen i varje koordinat, vilket är trivialt eftersom sekvenserna blir stationära. Sekvensen konvergerar inte i begränsad produkttopologi, för varje adele $a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ och för varje begränsad öppen rektangel $\textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \ prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},$ vi har: ${\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}$ för $a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}$ och därför ${\ tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}$ för alla $p\notin F.$ Som ett resultat $x_{n}-a\notin U$ för nästan alla $n\in \mathbb {N} .$ I detta övervägande är $E$ och $F$ ändliga delmängder av mängden av alla platser.

Alternativ definition för nummerfält

Definition ( profinita heltal ). De profinita heltal definieras som den profinita kompletteringen av ringarna $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ med den partiella ordningen $n\geq m\Leftrightarrow m|n,$ dvs.

${\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,$

Lemma . $\textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.$

Bevis. Detta följer av den kinesiska restsatsen .

Lemma. $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q } .$

Bevis. Använd den universella egenskapen för tensorprodukten. Definiera en $\mathbb {Z}$ -bilinjär funktion

${\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} } }\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right )\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}$

Detta är väldefinierat eftersom för en given $q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ med $m,n$ co -primtal det finns bara ändligt många primtal som delar $n.$ Låt $M$ vara en annan $\mathbb {Z}$ -modul med en $\mathbb {Z}$ -bilinjär karta ${\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.} Det$ måste vara så att $\Phi$ faktorer genom $\Psi$ unikt, dvs det finns en unik $\mathbb {Z}$ -linjär karta ${\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{ \mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M$ så att $\Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .$ Vi definierar ${\tilde {\Phi }}$ enligt följande: för en given ( $\displaystyle (u_{p})_{p}}$ det finns $u\in \mathbb {N}$ och $(v_{p})_{p} \in {\widehat {\mathbb {Z} }}$ så att $u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}$ för alla $p.$ Definiera ${\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}) .$ Man kan visa ${\tilde {\Phi }}$ är väldefinierad, $\mathbb {Z}$ -linjär, uppfyller $\Phi = {\tilde {\Phi }}\circ \Psi$ och är unik med dessa egenskaper.

Naturlig följd. Definiera ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .} Detta resulterar i en algebraisk$ isomorfism $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .$

Bevis. $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z}}}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb { Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\ mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} = \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$

Lemma. För ett talfält $K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.$

Anmärkning. Använder ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _ {\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },} där det finns [$ K $displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ summeringar , ger den högra sidan tar emot produkttopologin och transporterar denna topologi via isomorfismen till $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.$

Adele-ringen av en ändlig förlängning

Om $L/K$ är en finit förlängning, så är $L$ ett globalt fält. Således $\mathbb {A} _{L}$ definierad, och ${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.} A K {\displaystyle \mathbb {A} _{K$$kan$ vara identifieras med en undergrupp av $\mathbb {A} _{L}.$ Karta $a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K }$ till $a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}$ där $a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}$ för $w|v.$ Då $a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}$ i undergruppen $\mathbb {A} _{K},$ om $a_{w}\in K_{v}$ för $w|v$ och $a_{w}=a_{w'}$ för alla $w,w'$ som ligger ovanför samma plats ${ \displaystyle v}$ av $K.$

Lemma. Om $L/K$ är en finit förlängning, då $\mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L$ både algebraiskt och topologiskt.

Med hjälp av denna isomorfism ges inklusionen $\mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}$ av

${\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \ ibland _{K}1\end{cases}}$

Dessutom kan de huvudsakliga adeles i $\mathbb {A} _{K}$ identifieras med en undergrupp av huvudadeler i $\mathbb {A} _{L}$ via kartan

${\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\ ibland _{K}\alpha \end{cases}}$

Bevis. Låt $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ vara en bas för $L$ över $K.$ Sedan för nästan alla $v,$

${\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.$

Dessutom finns det följande isomorfismer:

$K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v }=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}$

För det andra använd kartan:

${\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_ {v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}$

där $\tau _{w}:L\to L_{w}$ är den kanoniska inbäddningen och $w|v.$ Den begränsade produkten tas på båda sidor med avseende på ${\widetilde {O_{v}}}:$

${\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right )\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{ n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'} L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}$

Följd. Som additivgrupper $\mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{ K},$ där den högra sidan har $[L:K]$ summeringar.

Uppsättningen av huvudadeler i $\mathbb {A} _{L}$ identifieras med mängden $K\oplus \cdots \oplus K,$ där den vänstra sidan har $[L:K]$ summerar och $K$ betraktas som en delmängd av $\mathbb {A} _{K}.$

Adele-ringen av vektorrum och algebror

Lemma. Antag att $P\supset P_{\infty }$ är en ändlig uppsättning platser av $K$ och definiera

$\mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.$

Utrusta $\mathbb {A} _{K}(P)$ med produkttopologin och definiera addition och multiplikation komponentmässigt. Då $\mathbb {A} _{K}(P)$ en lokalt kompakt topologisk ring.

Anmärkning. Om $P'$ är en annan ändlig uppsättning platser av $K$ som innehåller $P$ då $\mathbb {A} _{K}(P)$ är en öppen subring av $\mathbb {A} _{K}(P').$

Nu kan en alternativ karaktärisering av adele-ringen presenteras. Adele-ringen är föreningen av alla mängder $\mathbb {A} _{K}(P)$ :

$\mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).$

På motsvarande sätt är $\mathbb {A} _{K}$ mängden av alla $x=(x_{v})_{v}$ så att $|x_{v}|_{v}\leq 1$ för nästan alla $v<\infty .$ Topologin för $\mathbb {A} _{K}$ induceras av kravet att alla $\mathbb {A} _{K }(P)$ vara öppna underringar av $\mathbb {A} _{K}.$ Således är $\mathbb {A} _{K}$ en lokalt kompakt topologisk ring.

Fixa en plats $v$ av $K.$ Låt $P$ vara en ändlig uppsättning platser av $K,$ innehållande $v$ och $P_{\infty }.$ Definiera

$\mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P }Aj}.$

Sedan:

$\mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).$

Dessutom definiera

$\mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\ supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),$

där $P$ löper genom alla finita mängder som innehåller $P_{\infty }\cup \{v\}.$ Sedan:

$\mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),$

via kartan ${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).} Hela proceduren ovan gäller med en finit delmängd$ P $\ displaystyle {\widetilde {P}}}$ istället för $\{v\}.$

Genom konstruktion av $\mathbb {A} _{K}'(v),$ finns en naturlig inbäddning: $K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.$ Dessutom finns det en naturlig projektion $\mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.$

Adele-ringen av ett vektor-utrymme

Låt $E$ vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över $K$ och $\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{ n}\}$ en grund för $E$ över $K.$ För varje plats $v$ av $K$ :

${\begin{aligned}E_{v} &:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{ v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}$

Adele-ringen för $E$ definieras som

$\mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.$

Denna definition är baserad på den alternativa beskrivningen av adele-ringen som en tensorprodukt utrustad med samma topologi som vi definierade när vi gav en alternativ definition av adele-ringen för nummerfält. Därefter $\mathbb {A} _{E}$ med den begränsade produkttopologin. Då är $\mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}$ och $E$ inbäddade i $\mathbb {A} _{E}$ naturligt via kartan $e\mapsto e\otimes 1.$

En alternativ definition av topologin på $\mathbb {A} _{E}$ kan tillhandahållas. Betrakta alla linjära kartor: $E\to K.$ Använda de naturliga inbäddningarna $E\to \mathbb {A} _{E}$ och $K\to \mathbb {A} _{K},$ utöka dessa linjära kartor till: $\mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.$ Topologin på $\mathbb {A} _{E}$ är den grövsta topologin för vilken alla dessa förlängningar är kontinuerliga.

Topologin kan definieras på ett annat sätt. Att fixera en bas för $E$ över $K$ resulterar i en isomorfism $E\cong K^{n}.$ Att därför fixera en bas inducerar en isomorfism ${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.} Den vänstra sidan är$ försedd med produkttopologin och transporterar denna topologi med isomorfismen till den högra sidan. Topologin beror inte på valet av bas, eftersom en annan bas definierar en andra isomorfism. Genom att komponera båda isomorfismerna erhålls en linjär homeomorfism som överför de två topologierna till varandra. Mer formellt

${\begin{aligned}\mathbb {A} _{ E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus ( K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned }}$

där summorna har $n$ summeringar. I fallet med $E=L,$ överensstämmer definitionen ovan med resultaten om adeleringen för en finit förlängning $L/K.$

Adeleringen av en algebra

Låt $A$ vara en finitdimensionell algebra över $K.$ I synnerhet är $A$ ett ändligt dimensionellt vektorrum över $K.$ Som en konsekvens definieras ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}} och$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.} Eftersom det finns multiplikation på$ A $\displaystyle \mathbb {A} _{K }}$ och $A,$ en multiplikation på $\mathbb {A} _{A}$ kan definieras via:

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ och }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a) \cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).$

Som en konsekvens är $\mathbb {A} _{A}$ en algebra med en enhet över $\mathbb {A} _{K}.$ Låt ${\mathcal {B}}$ vara en finit delmängd av $A,$ som innehåller en bas för $A$ över $K.$ För varje ändlig plats $v$ definieras ${\displaystyle M_{v}} som$${\displaystyle O_{v}} -modulen$ genererad av ${ \mathcal {B}}$ i $A_{v}.$ För varje ändlig uppsättning platser definierar $P\supset P_{\infty },$

$\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.$

Man kan visa att det finns en ändlig mängd $P_{0},$ så att $\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )$ är en öppen subring av $\mathbb {A} _{A},$ om $P\supset P_{0}.$ Dessutom är $\mathbb {A} _{A}$ föreningen av alla dessa underringar och för ${\displaystyle A=K,$ } definitionen ovan överensstämmer med definitionen av adele-ringen.

Spår och norm på adele-ringen

Låt $L/K$ vara en finit förlängning. Eftersom $\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K$ och ${\ displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$ från Lemma ovan, $\mathbb {A} _{K}$ kan vara tolkas som en sluten subring av $\mathbb {A} _{L}.$ För denna inbäddning, skriv $\operatorname {con} _{L/K}$ . Explicit för alla platser $w$ av $L$ ovanför $v$ och för alla $\alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatörsnamn {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v }.$

Låt $M/L/K$ vara ett torn av globala fält. Sedan:

$\operatörsnamn {con} _{M/K}(\alpha )=\operatörsnamn {con} _{M/L}(\operatörsnamn {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \ forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.$

Dessutom, begränsad till de huvudsakliga adeles $\operatorname {con}$ är den naturliga injektionen $K\to L.$

Låt $\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}$ vara en grund för fälttillägget $L/K.$ Då kan varje $\alpha \in \mathbb {A} _{L}$ skrivas som ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},} där α$ j $displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{ K}}$ är unika. Kartan $\alpha \mapsto \alpha _{j}$ är kontinuerlig. Definiera $\alpha _{ij}$ beroende på $\alpha$ via ekvationerna:

${\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\summa _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\summa _{j=1}^{n }\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}$

Definiera nu spåret och normen för $\alpha$ som:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatörsnamn {Tr} ((\alpha _ {ij})_{i,j})=\summa _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}$

Dessa är spåret och determinanten för den linjära kartan

${\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{ fall}}$

De är kontinuerliga kartor på adele-ringen, och de uppfyller de vanliga ekvationerna:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatörsnamn {Tr} _{L/K}(\alpha )+\ operatörsnamn {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatörsnamn {Tr} _{L/K}(\operatörsnamn { con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K} (\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatörsnamn {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}$

Dessutom, för $\alpha \in L,$$\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )$ och $N_{L/K}(\alpha )$ är identiska med spåret och normen för fältförlängningen $L/K.$ För ett torn av fält $M/L/K,$ är resultatet:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {Tr} _{L/K}(\operatörsnamn {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatörsnamn {Tr} _ {M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M /K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}$

Dessutom kan det bevisas att:

${\begin{aligned}\operatörsnamn {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\ operatornamn {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_ {L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&& \forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}$

Adele-ringens egenskaper

Sats. För varje uppsättning platser är $S,\mathbb {A} _{K,S}$ en lokalt kompakt topologisk ring.

Anmärkning. Resultatet ovan gäller även för adeleringen av vektorrum och algebror över $K.$

Sats. $K$ är diskret och kokompakt i $\mathbb {A} _{K}.$ I synnerhet är $K$ stängd i $\mathbb {A} _{K}.$

Bevis. Bevisa fallet $K=\mathbb {Q} .$ För att visa $\mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ är diskret det räcker att visa förekomsten av ett område av $0$ som inte innehåller något annat rationellt tal. Det allmänna fallet följer via översättning. Definiera

$U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad { \text{och}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1 ).$

$U$ är ett öppet område av $0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$ Det hävdas att $U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.$ Låt $\beta \in U\cap \mathbb {Q} ,$ sedan $\beta \in \mathbb {Q}$ och $|\beta |_{p}\leq 1$ för alla $p$ och därför $\beta \in \mathbb {Z} .$ Dessutom, $\beta \in (-1,1)$ och därför $\beta = 0.$ Därefter, för att visa kompakthet, definiera:

$W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad { \text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z } }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].$

Varje element i $, {\displaystyle W,}$$\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$ har en representant i som är för varje ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },} det$ finns $\beta \in \mathbb {Q}$ så att $\alpha -\beta \in W.$ Låt $\alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },$ vara godtycklig och $p$ vara ett primtal för vilket $|\alpha _{p}|>1.$ Då finns det $r_{p}=z_{p}/p^{x_{p} }$ med $z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N}$ och $|\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.$ Byt ut $\alpha$ med $\alpha -r_{p}$ och låt $q\neq p$ vara ett annat primtal. Sedan:

$\left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q}, |r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.$

Därefter kan man hävda att:

$|\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.$

Den omvända implikationen är trivialt sann. Implikationen är sann, eftersom de två termerna i den starka triangelolikheten är lika om de absoluta värdena för båda heltal är olika. reduceras den (ändliga) uppsättningen av primtal för vilka komponenterna i $\alpha$ inte är i ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} med 1. Med iteration, vi$ härleda att det finns $r\in \mathbb {Q}$ så att ${\displaystyle \alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .} Välj nu s$ ∈ $displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ så att $\alpha _{\infty }-rs\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].$ Sedan $\alpha -(r+s)\in W.$ Den kontinuerliga projektionen $\pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/ \mathbb {Q}$ är surjektiv, därför är $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,$ som den kontinuerliga bilden av en kompakt uppsättning kompakt .

Naturlig följd. Låt $E$ vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över $K.$ Då är $E$ diskret och kokompakt i $\mathbb {A} _{E}.$

Sats. Följande antas:

• $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.$
• $\mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.$
• $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ är en delbar grupp .
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}} är tät$ .

Bevis. De två första ekvationerna kan bevisas på ett elementärt sätt.

Per definition är $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ delbart om för någon $n\in \mathbb {N}$ och $y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ ekvationen $nx=y$ har en lösning ${\displaystyle x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .} Det räcker att visa$ A $\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} } }$ är delbart men detta är sant eftersom $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ är ett fält med positiv karakteristik i varje koordinat.

För det sista påståendet, notera att $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\ mathbb {Z} }},$ eftersom det ändliga antalet nämnare i koordinaterna för elementen i $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ kan nås genom ett element $q\in \mathbb {Q} .$ Som en konsekvens är det tillräckligt att visa $\mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}$ är tät , det vill säga varje öppen delmängd $V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}$ innehåller ett element av $\mathbb {Z} .$ Utan förlust av allmänhet kan vi anta

$V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_ {p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},$

eftersom $(p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }$ är ett grannskapssystem av $0$ i $\mathbb {Z} _{p}.$ Enligt kinesiska restsatsen finns det $l\in \mathbb {Z}$ så att ${\displaystyle l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.} Eftersom$ potenser av distinkta primtal är samprimtal, följer ${\displaystyle l\in V} .$

Anmärkning. $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ är inte unikt delbar. Låt $y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/ \mathbb {Z}$ och $n\geq 2$ ges. Sedan

${\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{ Justerat}}$

båda uppfyller ekvationen $nx=y$ och tydligt $x_{1}\neq x_{2}$ ( $x_{2}$ är väl- definieras, eftersom endast ändligt många primtal delar $n$ ). I det här fallet motsvarar att vara unikt delbar att vara vridningsfri, vilket inte är sant för $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ eftersom $nx_{2}=0,$ men $x_{2}\neq 0$ och $n\neq 0.$

Anmärkning. Det fjärde påståendet är ett specialfall av den starka approximationssatsen .

Haarmått på adeleringen

Definition. En funktion $f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C}$ kallas enkel om $\textstyle f=\prod _{v}f_{v},$ där $f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C}$ är mätbara och $f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}$ för nästan alla $v.$

Sats. Eftersom $\mathbb {A} _{K}$ är en lokalt kompakt grupp med addition, finns det ett additivt Haarmått $dx$ på $\mathbb {A} _{K}.$ Detta mått kan normaliseras så att varje integrerbar enkel funktion $\textstyle f=\prod _{v}f_{v}$ uppfyller :

$\int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _ {K_{v}}f_{v}\,dx_{v},$

där för $v<\infty ,dx_{v}$ är måttet på $K_ {v}$ så att $O_{v}$ har enhetsmått och $dx_{\infty }$ är Lebesgue-måttet. Produkten är finit, dvs nästan alla faktorer är lika med en.

Idele-gruppen

Definition. Definiera idele-gruppen av $K$ som gruppen av enheter i adele-ringen av $K,$ det vill säga $I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.$ Elementen i idelegruppen kallas ideles av $K.$

Anmärkning. $I_{K}$ är utrustad med en topologi så att den blir en topologisk grupp. Delmängdstopologin som ärvts från $\mathbb {A} _{K}$ är inte en lämplig kandidat eftersom gruppen av enheter i en topologisk ring utrustad med delmängdstopologi kanske inte är en topologisk grupp. Till exempel är den omvända kartan i $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ inte kontinuerlig. Sekvensen

${\begin{aligned}x_{1} &=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\ &\vdots \end{aligned}}$

konvergerar till $1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$ För att se detta, låt $U$ vara grannskapet av $0,$ utan förlust av allmänhet kan det antas:

$U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{ p}$

Eftersom $(x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}$ för alla $p,$$x_{n}-1\in U$ för $n$ tillräckligt stor. Såsom sågs ovan konvergerar emellertid inte inversen av denna sekvens i $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$

Lemma. Låt $R$ vara en topologisk ring. Definiera:

${\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto ( x,x^{-1})\end{cases}}$

Utrustad med topologin inducerad från produkten på topologi på $R\times R$ och $\iota ,R ^{\times }$ är en topologisk grupp och inklusionskartan $R^{\times }\subset R$ är kontinuerlig. Det är den grövre topologin, som kommer från topologin på $R,$ som gör ${\displaystyle R^{\times }} till$ en topologisk grupp.

Bevis. Eftersom $R$ är en topologisk ring är det tillräckligt att visa att den inversa kartan är kontinuerlig. Låt $U\subset R^{\times }$ vara öppen, sedan $U\times U^{-1}\subset R\times R$ är öppen. Det är nödvändigt att visa $U^{-1}\subset R^{\times }$ är öppen eller motsvarande, att ${\displaystyle U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R} är öppen$ . Men detta är villkoret ovan.

Idele-gruppen är utrustad med den topologi som definieras i Lemma vilket gör den till en topologisk grupp.

Definition. För $S$ en delmängd av platser av $K$ uppsättning: $I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{ S})^{\ gånger }.$

Lemma. Följande identiteter för topologiska grupper gäller:

${\begin{aligned }I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{ v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end {aligned}}$

där den begränsade produkten har den begränsade produkttopologin, som genereras av begränsade öppna rektanglar av formen

${\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },} där$

E $\displaystyle E}$ är en finit delmängd av mängden av alla platser och $U_{v}\subset K_{v}^{\times }$ är öppna uppsättningar.

Bevis. Bevisa identiteten för $I_{K}$ ; de andra två följer på liknande sätt. Visa först att de två uppsättningarna är lika:

${\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=( y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A } _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\i \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\ }\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ och }}x_{v}\ i O_{v}^{\times }{\text{ för nästan alla }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{ Justerat}}$

När du går från rad 2 till 3 måste $x$ samt $x^{-1}=y$ vara i $\mathbb {A} _ {K},$ betyder $x_{v}\in O_{v}$ för nästan alla $v$ och $x_{v}^ {-1}\in O_{v}$ för nästan alla $v.$ Därför, $x_{v}\in O_{v}^{\times }$ för nästan alla $v.$

Nu är det möjligt att visa topologin på vänster sida är lika med topologin på höger sida. Uppenbarligen är varje öppen begränsad rektangel öppen i idelegruppens topologi. Å andra sidan, för en given $U\subset I_{K},$ som är öppen i topologin för idelegruppen, vilket betyder ${\ displaystyle U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}} är öppen, så för varje u ∈ U {\displaystyle$ u $}$ det finns en öppen begränsad rektangel, som är en delmängd av $U$ och innehåller $u.$ Därför är $U$ föreningen av alla dessa begränsade öppna rektanglar och är därför öppen i den begränsade produkttopologin.

Lemma. För varje uppsättning platser är $S,I_{K,S}$ lokalt kompakt topologisk grupp.

Bevis. Den lokala kompaktheten följer av beskrivningen av $I_{K,S}$ som en begränsad produkt Att det är en topologisk grupp följer av ovanstående diskussion om gruppen av enheter i en topologisk ring.

Ett grannskapssystem på ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }} är$ ett grannskapssystem på $1\in I_{K}.$ Alternativt, ta alla uppsättningar av formuläret:

$\prod _{v}U_{v},$

där $U_{v}$ är ett område av $1\in K_{v}^{\times }$ och $U_{v} =O_{v}^{\times }$ för nästan alla $v.$

Eftersom idele-gruppen är en lokalt kompakt, finns det ett Haar-mått $d^{\times }x$ på den. Detta kan normaliseras, så att

$\int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d ^{\ gånger }x=1.$

Detta är normaliseringen som används för de ändliga platserna. I denna ekvation $I_{K,{\text{fin}}}$ den finita idelegruppen, vilket betyder gruppen av enheter i den finita adeleringen. För de oändliga platserna, använd det multiplikativa lebesguemåttet ${\tfrac {dx}{|x|}}.$

Idelegruppen för en finit förlängning

Lemma. Låt $L/K$ vara en finit förlängning. Då:

$I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.$

där den begränsade produkten är med avseende på ${\widetilde {O_{v}}}^{\times }.$

Lemma. Det finns en kanonisk inbäddning av $I_{K}$ i $I_{L}.$

Bevis. Mappa $a=(a_{v})_{v}\in I_{K}$ till $a '=(a'_{w})_{w}\in I_{L}$ med egenskapen $a'_{w}=a_{ v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }$ för $w|v.$ Därför kan $I_{K}$ ses som en undergrupp av $I_{L}.$ Ett element $a=(a_{w})_{w}\in I_{L}$ finns i denna undergrupp om och endast om hans komponenter uppfyller följande egenskaper: $a_{w}\in K_{v}^{\times }$ för $w|v$ och $a_{w}=a_{w'}$ för $w|v$ och $w'|v$ för samma plats $v$ av $K.$

Fallet med vektorrum och algebror

Idelegruppen för en algebra

Låt $A$ vara en finitdimensionell algebra över $K.$ Eftersom $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ inte är en topologisk grupp med subset-topologin i allmänhet, utrusta $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ med topologi som liknar $I_{K}$ ovan och kallar $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ idele-gruppen. Elementen i idele-gruppen kallas idele av $A.$

Förslag. Låt $\alpha$ vara en finit delmängd av $A,$ som innehåller en bas av $A$ över $K.$ För varje ändlig plats $v$ av $K,$ låt $\alpha _{v}$ vara $O_{v}$ -modul genererad av $\alpha$ i $A_{v}.$ Det finns en ändlig uppsättning platser $P_{0}$ som innehåller $P_{\infty }$ så att för alla $v\ notin P_{0},$$\alpha _{v}$ är en kompakt subring av $A_{v}.$ Dessutom innehåller $\alpha _{v}$$A_{v}^{\times }.$ För varje $v,A_{v}^{\times }$ en öppen delmängd av $\displaystyle A_{v} }$ och kartan $x\mapsto x^{-1}$ är kontinuerlig på $A_{v}^{\times }.$ Som en konsekvens $x\mapsto (x,x^{-1})$ maps $A_{v}^{\times }$ homeomorfiskt på sin bild i $A_{v}\times A_{v}.$ För varje $v\notin P_{0},$ är $\alpha _{v}^{\times }$ är elementen i $A_{v}^{\times },$ mappning i $\alpha _{v}\times \alpha _{v}$ med funktionen ovan. Därför $\alpha _{v}^{\times }$ en öppen och kompakt undergrupp av $A_{v}^{\times }.$

Alternativ karaktärisering av idele-gruppen

Förslag. Låt $P\supset P_{\infty }$ vara en ändlig uppsättning platser. Sedan

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }: =\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }} är en öppen undergrupp$

av $\mathbb {A} _{A}^{\times },$ där $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ är föreningen av alla $\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.$

Följd. I specialfallet $A=K$ för varje ändlig uppsättning platser $P\supset P_{\infty },$

$\mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times } \times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }$

är en öppen undergrupp av $\mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.$ Dessutom är $I_{K}$ föreningen av alla $\mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.$

Norm på idele-gruppen

Vi vill överföra spåret och normen från adele-ringen till idele-gruppen. Det visar sig att spåret inte kan överföras så lätt. Det är dock möjligt att överföra normen från adele-ringen till idele-gruppen. Låt $\alpha \in I_{K}.$ Sedan $\operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}$ och därför har vi i injektiv grupp homomorfism

$\operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.$

Eftersom $\alpha \in I_{L},$ är den inverterbar, $N_{L/K}(\alpha )$ är också inverterbar, eftersom $(N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).$ Därför $N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.$ Som en konsekvens introducerar begränsningen av normfunktionen en kontinuerlig funktion:

$N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.$

Klassgruppen Idele

Lemma. Det finns en naturlig inbäddning av $K^{\times }$ i $I_{K,S}$ som ges av den diagonala kartan: $a\mapsto (a,a,a,\ldots ).$

Bevis. Eftersom $K^{\times }$ är en delmängd av $K_{v}^{\times }$ för alla $v,$ är inbäddningen väldefinierad och injektiv.

Naturlig följd. $A^{\times }$ är en diskret undergrupp av $\mathbb {A} _{A}^{\times }.$

Försvar. I analogi med den ideala klassgruppen kallas elementen för $K^{\times }$ i $I_{K}$ huvudideler av $I_{K}.$ Kvotgruppen $C_{K}:=I_{K}/K^{\times }$ kallas idele-klassgrupp av $K.$ Denna grupp är relaterad till den ideala klassgruppen och är ett centralt objekt i klassfältteori.

Anmärkning. $K^{\times }$ är stängd i $I_{K},$ därför är $C_{K}$ en lokalt kompakt topologisk grupp och ett Hausdorff-utrymme.

Lemma. Låt $L/K$ vara en finit förlängning. Inbäddningen $I_{K}\to I_{L}$ inducerar en injektiv karta:

${\begin{cases}C_{ K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}$

Egenskaper för idele-gruppen

Absolut värde på idele-gruppen av K och 1-idele

Definition. För $\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}$ definiera: ${\displaystyle \textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.} Eftersom$ α $\displaystyle \alpha }$ är en idele är denna produkt ändlig och därför väl- definierad.

Anmärkning. Definitionen kan utökas till $\mathbb {A} _{K}$ genom att tillåta oändliga produkter. Men dessa oändliga produkter försvinner och så $|\cdot |$ försvinner på $\mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.$ Vi kommer att använda $|\cdot |$ för att beteckna både funktionen på $I_{K}$ och $\mathbb {A} _{K}.$

Sats. $|\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}$ är en kontinuerlig grupphomomorfism.

Bevis. Låt $\alpha ,\beta \in I_{K}.$

${\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _ {v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\ beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v} |\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}$

där vi använder att alla produkter är ändliga. Kartan är kontinuerlig vilket kan ses med ett argument som handlar om sekvenser. Detta minskar problemet till om $|\cdot |$ är kontinuerlig på $K_{v}.$ Detta är dock tydligt på grund av den omvända triangelolikheten.

Definition. Vi definierar mängden $1$ -idele som:

$I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).$

$I_{K}^{1}$ är en undergrupp till $I_{K}.$ Eftersom ${\displaystyle I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),} det$ är en sluten delmängd av $\mathbb {A} _{K}.$ Slutligen är $\mathbb {A} _{K}$ -topologin på $I_{K}^{1}$ lika med subset-topologin för $I_{K}$ på $I_{K}^{1}.$

Artins produktformel. $|k|=1$ för alla $k\in K^{\times }.$

Bevis. Vi bevisar formeln för talfält, fallet med globala funktionsfält kan bevisas på liknande sätt. Låt $K$ vara ett talfält och $a\in K^{\times }.$ Vi måste visa:

$\prod _{v}|a|_{v}=1.$

För en finit plats $v$ för vilken motsvarande primideal ${\mathfrak {p}}_{v}$ inte delar $(a)$ har vi $v(a)=0$ och därför $|a|_{v}=1.$ Detta är giltigt för nästan alla ${\mathfrak {p}}_{v}.$ Vi har:

${\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v} \\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\ &=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}$

När vi gick från rad 1 till rad 2 använde vi identiteten ${\displaystyle |a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},} där v {\displaystyle v} är$ en $för$ K $\ displaystyle K}$ och $w$ är en plats för $L,$ som ligger ovanför $v.$ När vi går från rad 2 till rad 3 använder vi en egenskap av normen. Vi noterar att normen är i $\mathbb {Q}$ så utan förlust av generalitet kan vi anta $a\in \mathbb {Q} .$ Då har $a$ en unik heltalsfaktorisering :

$a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},$

där $v_{p}\in \mathbb {Z}$ är $0$ för nästan alla $s.$ Enligt Ostrowskis teorem är alla absoluta värden på $\mathbb {Q}$ ekvivalenta med det verkliga absoluta värdet $|\cdot |_{\infty }$ eller ett $p$ -adic absolut värde. Därför:

${\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty } |a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty}p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty}p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}$

Lemma. Det finns en konstant $C,$ beroende bara på $K,$ så att för varje $\alpha =(\alpha _{v} )_{v}\in \mathbb {A} _{K}$ uppfyller ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,} det finns β ∈$ K $\beta \in K^{\times } }$ så att $|\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}$ för alla $v.$

Följd. Låt $v_{0}$ vara en plats för $K$ och låt $\delta _{v}>0$ ges för alla $v\neq v_{0}$ med egenskapen $\delta _{v}=1$ för nästan alla $v.$ Då finns det $\beta \in K^{\times },$ så att $|\beta |\leq \delta _{v}$ för alla $v\neq v_{0}.$

Bevis. Låt $C$ vara konstanten från lemma. Låt $\pi _{v}$ vara ett enhetligt element av $O_{v}.$ Definiera adele $\alpha =(\alpha _{v})_{v}$ via $\alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}$ med $k_{v}\in \mathbb {Z}$ minimal, så att $|\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}$ för alla $v\neq v_{0}.$ Då $k_{v}=0$ för nästan alla $v.$ Definiera $\alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}$ med $k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,$ så att $\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.$ Detta fungerar, eftersom $k_{v}=0$ för nästan alla $v.$ Vid Lemma finns $\beta \in K^{\times },$ så att $|\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}$ för alla $v\neq v_{0}.$

Sats. $K^{\times }$ är diskret och kokompakt i $I_{K}^{1}.$

Bevis. Eftersom $K^{\times }$ är diskret i $I_{K}$ är den också diskret i $I_{K}^{1}.$ För att bevisa kompaktheten hos $I_{K}^{1}/K^{\times }$ låt $C$ är konstanten för Lemma och antag att $\alpha \in \mathbb {A} _{K}$ uppfyller $\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C$ ges. Definiera:

$W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_ {v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ för alla }}v\right\}.$

Uppenbarligen är $W_{\alpha }$ kompakt. Vi gör anspråk på den naturliga projektionen $W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{ \times }$ är surjektiv. Låt ${\displaystyle \beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}} vara$ godtycklig, då:

$|\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,$

och därför

$\prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.$

Det följer att

$\prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v }>C.$

Vid Lemma finns $\eta \in K^{\times }$ så att ${\displaystyle |\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}} för alla v , {\displaystyle$ v $och$ därför $\eta \beta \in W_{\alpha }$ som bevisar surjektiviteten hos den naturliga projektionen. Eftersom det också är kontinuerligt följer kompaktheten.

Sats. Det finns en kanonisk isomorfism $I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.$ Dessutom ${\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}$ är en uppsättning representanter för $I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }$ och ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }} är en uppsättning representanter$ för $I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.$

Bevis. Tänk på kartan

${\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z } }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_ {p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}$

Denna karta är väldefinierad, eftersom $|a_{p}|_{p}=1$ för alla $p$ och därför ${\displaystyle \textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.} Uppenbarligen är ϕ {\$ displaystyle $phi }$ en kontinuerlig grupphomomorfism. Antag nu $((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\ gånger }.$ Då finns det $q\in \mathbb {Q} ^{\times }$ så att ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).} Genom att betrakta den oändliga$ platsen ser vi $q= 1$ bevisar injektivitet. För att visa surjektivitet låt $((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/ \mathbb {Q} ^{\times }.$ Det absoluta värdet för detta element är $1$ och därför

$|\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb { Q} .$

Därav $\beta _{\infty }\in \mathbb {Q}$ och vi har:

$((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{ p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.$

Eftersom

$\forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,$

vi drar slutsatsen $\phi$ är surjektiv.

Sats. Absolutvärdesfunktionen inducerar följande isomorfismer av topologiska grupper:

${\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} } ^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}$

Bevis. Isomorfismerna ges av:

${\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb { Q} }^{1}\ gånger (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{ \frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\ psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text {fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases} }$

Relation mellan idealklassgrupp och ideleklassgrupp

Sats. Låt $K$ vara ett talfält med ring av heltal $O,$ grupp av bråksideal $J_{K},$ och idealklassgrupp $\operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.$ Vi har följande isomorfismer

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{ fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatörsnamn {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O} }^{\times }K^{\times }\\\operatörsnamn {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}} där vi har definierat$

C $C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }.$

Bevis. Låt $v$ vara en ändlig plats av $K$ och låt $|\cdot |_{v}$ vara en representant för ekvivalensklassen $v.$ Definiera

${\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.$

Då är ${\mathfrak {p}}_{v}$ ett primideal i $O.$ Kartan $v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}$ är en bijektion mellan finita platser för $K$ och primideal som inte är noll $O.$ Inversen ges enligt följande: ett primideal ${\mathfrak {p}}$ mappas till värderingen $v_{\mathfrak {p}},$ ges förbi

${ \displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^ {k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\ mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}}$

Följande karta är väldefinierad:

${\begin{cases}(\cdot ):I_{K, {\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_ {v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}$

Kartan $(\cdot )$ är uppenbarligen en surjektiv homomorfism och $\ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.$ Den första isomorfismen följer av fundamental sats om homomorfism . Nu dividerar vi båda sidor med $K^{\times }.$ Detta är möjligt eftersom

${\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v }^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ för alla }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}$

Vänligen notera missbruket av notation: På vänster sida på rad 1 i denna ekvationskedja står $(\cdot )$ för kartan som definierats ovan. Senare använder vi inbäddningen av $K^{\times }$ i $I_{K,{\text{fin}}}.$ På rad 2 använder vi kartans definition. Slutligen använder vi att $O$ är en Dedekind-domän och därför kan varje ideal skrivas som en produkt av primärideal. Med andra ord, kartan $(\cdot )$ är en $K^{\times }$ -ekvivariant grupphomomorfism. Som en konsekvens inducerar kartan ovan en surjektiv homomorfism

${\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\till \operatörsnamn {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}$

För att bevisa den andra isomorfismen måste vi visa $\ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.$ Betrakta $\xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.$ Då $\textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{ v})}K^{\times }=K^{\times },$ eftersom $v(\xi _{v})=0$ för alla $v.$ Å andra sidan, betrakta $\xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}$ med $\phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },$ vilket gör det möjligt att skriva $\textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.$ Som en konsekvens, det finns en representant, så att: ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.} Följaktligen, ξ$ ′ $displaystyle \xi '\in {\widehat {O}}^{\times }}$ och därför ${\displaystyle \xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.} Vi har bevisat den andra isomorfismen$ av satsen.

För den sista isomorfismen, observera att $\phi$ inducerar en surjektiv grupphomomorfism ${\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _ {K}$ med

$\ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty}K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.$

Anmärkning. Betrakta $I_{K,{\text{fin}}}$ med idele-topologin och utrusta $J_{K},$ med den diskreta topologin. Eftersom $(\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}$ är öppen för varje ${\mathfrak {a }}\in J_{K},(\cdot )$ är kontinuerlig. Det gäller att $(\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\ gånger }$ är öppen, där $\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{ \text{fin}}},$ så att $\textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.$

Nedbrytning av idele-gruppen och idele-klassgruppen av K

Sats.

${\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M :\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ diskret och }}M\cong \mathbb {Z} &\operatörsnamn {char} (K)>0\\M\subset I_{ K}{\text{ stängd och }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatörsnamn {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{ K}^{1}/K^{\times}\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatörsnamn {char} (K)>0\\N=\mathbb { R} _{+}&\operatörsnamn {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}$

Bevis. $\operatorname {char} (K)=p>0.$ För varje plats $v$ av ${\ displaystil K,\operatörsnamn {char} (K_{v})=p,}$ så att för alla $x\in K_{v}^{\times },$$|x|_{v}$ tillhör undergruppen av $\mathbb {R} _{+},$ genererad av $s.$ Därför för varje $z\in I_{K},$$|z|$ är i undergruppen av $\mathbb {R} _{+},$ genererad av $s.$ Därför bilden av homomorfismen $z\mapsto |z|$ är en diskret undergrupp av $\mathbb {R} _{+},$ genererad av $p.$ Eftersom denna grupp är icke-trivial, genereras den av $Q=p^{m}$ för vissa $m\in \mathbb {N} .$ Välj $z_{1}\in I_{K},$ så att $|z_{1}|=Q,$ då är $I_{K}$ den direkta produkten av $I_{K}^{1}$ och undergruppen genererad av $z_{1}.$ Denna undergrupp är diskret och isomorf till $\mathbb {Z} .$

$\operatorname {char} (K)=0.$ För $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$ definiera:

$z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v }={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}$

Kartan $\lambda \mapsto z(\lambda )$ är en isomorfism av $\mathbb {R} _{+}$ i en sluten undergrupp $M$ av $I_{K}$ och $I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.$ Isomorfismen ges genom multiplikation:

${\begin{cases}\phi :M\times I_{ K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v }\beta _{v})_{v}\end{cases}}$

Uppenbarligen är $\phi$ en homomorfism. För att visa att det är injektivt, låt $(\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.$ Eftersom $\alpha _{v}=1$ för $v<\infty ,$ står det att $\beta _{v}=1$ för $v<\infty .$ Dessutom finns det en $\lambda \in \mathbb {R} _{+},$ så att $\alpha _{ v}=\lambda$ för $v|\infty .$ Därför är $\beta _{v}=\lambda ^{-1}$ för $v|\infty .$ Dessutom $\textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,$ antyder $\lambda ^{n}=1,$ där $n$ är antalet oändliga platser av $K.$ Som en konsekvens $\lambda =1$ och därför är $\phi$ injektiv. För att visa surjektivitet, låt $\gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.$ Vi definierar $\lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}$ och vidare definierar vi $\alpha _{v}=1$ för $v<\infty$ och $\alpha _{v}=\lambda$ för $v|\infty .$ Definiera $\textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.$ Det står, att $\textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^ {n}}}=1.$ Därför är $\phi$ surjektiv.

De andra ekvationerna följer på liknande sätt.

Karakterisering av idele-gruppen

Sats. Låt $K$ vara ett talfält. Det finns en ändlig uppsättning platser $S,$ så att:

$I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times}\right)K^{\times }=\left( \prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.$

Bevis. Klassnumret för ett talfält är ändligt så låt ${\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h$ } vara ideal, representerande klasserna i $\operatorname {Cl} _{K}.$ Dessa ideal genereras av ett ändligt antal primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.} Låt$ S $\displaystyle S}$ vara en ändlig uppsättning platser som innehåller $P_{\infty }$ och de ändliga platserna som motsvarar ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.$ Betrakta isomorfismen:

$I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{ \times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},$

inducerad av

$(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.$

På oändliga platser är påståendet omedelbart, så vi bevisar påståendet för ändliga platser. Inkluderingen ″ $\supset$ ″ är uppenbar. Låt $\alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.$ Motsvarande ideal ${\displaystyle \textstyle (\alpha )=\ prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}} tillhör$ en klass ${\mathfrak {a} }_{i}K^{\times },$ betyder $(\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)$ för ett huvudideal $(a).$ Idelen $\alpha '=\alpha a^{-1}$ mappar till idealet ${\mathfrak {a}}_ {i}$ under kartan $I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.$ Det betyder $\textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})} .$ Eftersom de primära idealen i ${\mathfrak {a}}_{i}$ finns i $S,$ följer det $v(\alpha '_{v})=0$ för alla $v\notin S,$ som betyder $\alpha '_{v}\in O_{v}^ {\times }$ för alla $v\notin S.$ Det följer att $\alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},$ därför $\alpha \in I_{K,S}K^{\times }.$

Ansökningar

Ändligheten hos ett nummerfälts klassnummer

I föregående avsnitt använde vi det faktum att klassnumret för ett talfält är ändligt. Här skulle vi vilja bevisa detta påstående:

Sats (ändligheten av ett talfälts klassnummer). Låt $K$ vara ett talfält. Sedan $|\operatörsnamn {Cl} _{K}|<\infty .$

Bevis. Kartan

${\begin{cases}I_{K}^ {1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty}\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}$

är surjektiv och därför är $\operatorname {Cl} _{K}$ den kontinuerliga bilden av den kompakta uppsättningen $I_{K}^{1}/K^{\times }.$ Således är $\operatorname {Cl} _{K}$ kompakt. Dessutom är den diskret och så ändlig.

Anmärkning. Det finns ett liknande resultat för fallet med ett globalt funktionsfält. I detta fall definieras den så kallade divisorgruppen. Det kan visas att kvoten av mängden av alla divisorer av grad { $\displaystyle 0}$ med mängden av huvuddivisorerna är en finit grupp.

Grupp av enheter och Dirichlets enhetssats

Låt $P\supset P_{\infty }$ vara en ändlig uppsättning platser. Definiera

${\begin{ aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=( \mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times}\cap \Omega (P)\end{aligned}}$

Då är $E(P)$ en undergrupp av $K^{\times },$ som innehåller alla element $\xi \in K^{\times }$ som uppfyller $v(\xi )=0$ för alla $v\notin P.$ Eftersom $K^{\times }$ är diskret i $I_{K},$ är $E(P)$ en diskret undergrupp av $\Omega (P)$ och med samma argument är $E(P)$ diskret i $\Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.$

En alternativ definition är: $E(P)=K(P)^{\times },$ där $K(P)$ är en subring av $K$ definierad av

$K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).$

Som en konsekvens innehåller $K(P)$ alla element $\xi \in K,$ som uppfyller $v(\xi )\geq 0$ för alla $v\notin P.$

Lemma 1. Låt $0<c\leq C<\infty .$ Följande uppsättning är finit:

$\left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.$

Bevis. Definiera

$W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\ notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.$

$W$ är kompakt och uppsättningen som beskrivs ovan är skärningspunkten mellan $W$ och den diskreta undergruppen $K^{\times }$ i $I_{K}$ och därför ändlig.

Lemma 2. Låt $E$ sättas av alla $\xi \in K$ så att $|\xi |_{v}=1$ för alla $v.$ Då är $E=\mu (K),$ gruppen av alla rötter av enhet av $K.$ I synnerhet är den finit och cyklisk.

Bevis. Alla rötter till enhet av $K$ har absolutvärdet $1$ så $\mu (K)\subset E.$ Observera att Lemma 1 med $c=C=1$ och alla $P$ innebär att $E$ är ändlig. Dessutom $E\subset E(P)$ för varje ändlig mängd platser $P\supset P_{\infty }.$ Anta slutligen att det finns $\xi \in E,$ som inte är en rot av enhetens $K.$ Sedan $\xi ^{n}\neq 1$ för alla $n\in \mathbb {N}$ som motsäger ändligheten av $E.$

Enhetssats. $E(P)$ är den direkta produkten av $E$ och en grupp isomorf till $\mathbb {Z} ^{s},$ där ${ \displaystyle s=0,}$ om $P=\emptyset$ och $s=|P|-1,$ om $P\neq \emptyset .$

Dirichlets enhetssats. Låt $K$ vara ett talfält. Sedan $O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},$ där $\mu (K)$ är den ändliga cykliska gruppen av alla rötter av enhet av $K,r$ är antalet reella inbäddningar av $K$ och ${ \displaystyle s}$ är antalet konjugerade par av komplexa inbäddningar av $K.$ Det står att $[K:\mathbb {Q} ]=r+2s.$

Anmärkning. Unit Theorem generaliserar Dirichlets Unit Theorem. För att se detta, låt $K$ vara ett nummerfält. Vi vet redan att $E=\mu (K),$ sätter $P=P_{\infty }$ och notera $|P_{\infty }|=r+s.$

Då har vi:

${\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times}\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times } \cap \left(\prod _{v<\infty}O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}$

Approximationssatser

Svag approximationssats. Låt $|\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},$ vara inekvivalenta värderingar av $K.$ Låt $K_{n}$ vara kompletteringen av $K$ med avseende på $|\cdot |_{n}.$ Bädda in $K$ diagonalt i $K_{1}\times \cdots \times K_{N}.$ Då är $K$ överallt tät i $K_{1}\times \cdots \times K_{N}.$ Med andra ord, för varje $\varepsilon >0$ och för varje ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\i K_{1}\times \cdots \times K_{N},} finns$ det $\xi \in K,$ så att:

${\displaystyle \forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .} Stark approximationssats$

. Låt $v_{0}$ vara en plats för $K.$ Definiera

${\displaystyle V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.} Då är$

K $\displaystyle K}$ tät i $V.$

Anmärkning. Det globala fältet är diskret i sin adele-ring. Den starka approximationssatsen säger att om vi utelämnar ett ställe (eller flera) , så förvandlas egenskapen diskret hos ${\displaystyle K} till en täthet av$$K.$

Hasse princip

Hasse-Minkowskis sats. En kvadratisk form på $K$ är noll, om och endast om den kvadratiska formen är noll i varje komplettering $K_{v}.$

Anmärkning. Detta är Hasse-principen för kvadratiska former. För polynom med grad större än 2 är Hasse-principen inte giltig i allmänhet. Tanken med Hasse-principen (även känd som lokal-global princip) är att lösa ett givet problem med ett talfält $K$ genom att göra det i dess kompletteringar $K_{v}$ och sedan avsluta på en lösning i $K.$

Karaktärer på adele-ringen

Definition. Låt $G$ vara en lokalt kompakt abelsk grupp. Teckengruppen för $G$ är mängden av alla tecken i $G$ och betecknas med ${\widehat {G}}.$ På motsvarande sätt är ${\widehat {G}}$ mängden av alla kontinuerliga grupphomomorfismer från $G$ till ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.} Vi utrustar$ G $\displaystyle {\widehat {G}}}$ med topologin för uniform konvergens på kompakta delmängder av $G.$ Man kan visa att ${\widehat {G}}$ också är en lokalt kompakt abelsk grupp.

Sats. Adele-ringen är självdubbel : $\mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.$

Bevis. Genom att reducera till lokala koordinater är det tillräckligt att visa att varje $K_{v}$ är självdual. Detta kan göras genom att använda ett fast tecken av $K_{v}.$ Vi illustrerar denna idé genom att visa $\mathbb {R}$ är självdual. Definiera:

${\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \ \e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}$

Då är följande karta en isomorfism som respekterar topologier:

${\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\ bredhatt {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t) :=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}$

Teorem (algebraisk och kontinuerlig dual av adeleringen). Låt $\chi$ vara ett icke-trivialt tecken av $\mathbb {A} _{K},$ som är trivialt på $K.$ Låt $E$ vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över $K.$ Låt $E^{\star }$ och $\mathbb {A} _{E}^{\star }$ vara de algebraiska dualerna av ${\displaystyle E$$\mathbb {A} _{E}.$ och Beteckna den topologiska dualen av $\mathbb {A} _{E}$ med $\mathbb {A} _{E} '$ och använd $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ och $[{\cdot },{\cdot }]$ för att indikera de naturliga bilinjära parningarna på $\mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'$ och ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.} Sedan$ formeln ${ \displaystyle \langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])}$ för alla $e\in \mathbb {A} _{E}$ bestämmer en isomorfism $e^{\star }\mapsto e'$ av $\mathbb {A} _{E}^{\star }$ till $\mathbb {A} _{E}',$ där $e'\i \mathbb {A} _{E}'$ och ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.} Dessutom, om e ⋆$ ∈ $e^{\star }\in \mathbb { A} _{E}^{\star }}$ uppfyller $\chi ([e,e^{\star }])=1$ för alla $e\in E,$ sedan $e^{\star }\in E^{\star }.$

Tates avhandling

Med hjälp av tecknen i $\mathbb {A} _{K},$ kan vi göra Fourieranalys på adeleringen. John Tate bevisade i sin avhandling "Fourier-analys i nummerfält och Hecke Zeta-funktioner" resultat om Dirichlet L-funktioner med hjälp av Fourier-analys på adele-ringen och idele-gruppen. Därför har adeleringen och idelegruppen använts för att studera Riemanns zetafunktion och mer allmänna zetafunktioner och L-funktionerna. Vi kan definiera adeliska former av dessa funktioner och vi kan representera dem som integraler över adeleringen eller idelegruppen, med avseende på motsvarande Haarmått. Vi kan visa funktionella ekvationer och meromorfa fortsättningar av dessa funktioner. Till exempel, för alla $s\in \mathbb {C}$ med $\Re (s)>1,$

$\int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),$

där $d^{\times }x$ är det unika Haar-måttet på $I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ normaliserat så att ${\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }$ har volym ett och förlängs med noll till den finita adele-ringen. Som ett resultat kan Riemann zeta-funktionen skrivas som en integral över (en delmängd av) adele-ringen.

Automorfa former

Teorin om automorfa former är en generalisering av Tates tes genom att ersätta idelegruppen med analoga högre dimensionella grupper. Så här ser du den här anteckningen:

${\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatörsnamn {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb { Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatörsnamn {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:= \{x\i \operatörsnamn {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\ operatornamn {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}$

Baserat på denna identifiering skulle en naturlig generalisering vara att ersätta idelegruppen och 1-idelen med:

${\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb { Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}: =\{x\i \operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}$

Och slutligen

$\mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1 }\cong (\operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} } ),$

där $Z_{\mathbb {R} }$ är mitten av $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).$ Sedan definierar vi en automorf form som ett element av $L^{2}((\operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {Q})Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatörsnamn {GL} (2,\mathbb {A} _{ \mathbb {Q} })).$ Med andra ord är en automorf form en funktion på $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q } })$ som uppfyller vissa algebraiska och analytiska villkor. För att studera automorfa former är det viktigt att känna till representationerna av gruppen ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).} Det$ är också möjligt att studera automorfa L-funktioner, som kan beskrivas som integraler över $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).$

Vi skulle kunna generalisera ytterligare genom att ersätta $\mathbb {Q}$ med ett nummerfält och $\operatorname {GL} (2)$ med en godtycklig reduktiv algebraisk grupp.

Ytterligare ansökningar

En generalisering av Artin ömsesidighetslagar leder till kopplingen av representationer av $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})$ och av Galois-representationer av ${ \displaystyle K}$ (Langlands-program).

Klassgruppen idele är ett nyckelobjekt för klassfältteorin , som beskriver abelska förlängningar av fältet. Produkten av de lokala reciprocitetskartorna i lokal klassfältteori ger en homomorfism av idele-gruppen till Galois-gruppen av den maximala abelska förlängningen av det globala fältet. Artin ömsesidighetslagen , som är en svepande generalisering av Gauss kvadratiska ömsesidighetslagen, säger att produkten försvinner i den multiplikativa gruppen i talfältet. Således erhåller vi den globala ömsesidighetskartan för idele-klassgruppen till den abelska delen av fältets absoluta Galois-grupp.

Självdualiteten hos adeleringen av funktionsfältet för en kurva över ett ändligt fält implicerar lätt Riemann-Roch-satsen och dualitetsteorin för kurvan.

Anteckningar

• Vilket problem löser adeles?
• Några bra böcker om adeles

Källor

•   Cassels, John ; Fröhlich, Albrecht (1967). Algebraisk talteori: handlingar från en instruktionskonferens, organiserad av London Mathematical Society, (ett NATO Advanced Study Institute) . Vol. XVIII. London: Academic Press. ISBN 978-0-12-163251-9 . 366 sidor.
•   Neukirch, Jürgen (2007). Algebraische Zahlentheorie, unveränd. nachdruck der 1. aufl. edn (på tyska). Vol. XIII. Berlin: Springer. ISBN 9783540375470 . 595 sidor.
•   Weil, André (1967). Grundläggande talteori . Vol. XVIII. Berlin; Heidelberg; New York: Springer. ISBN 978-3-662-00048-9 . 294 sidor.
•   Deitmar, Anton (2010). Automorphe Formen (på tyska). Vol. VIII. Berlin; Heidelberg (ua): Springer. ISBN 978-3-642-12389-4 . 250 sidor.
•   Lang, Serge (1994). Algebraisk talteori, Graduate Texts in Mathematics 110 (2:a uppl.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4 .