Isotopi av loopar

Inom det matematiska området abstrakt algebra är isotopi en ekvivalensrelation som används för att klassificera det algebraiska begreppet loop .

Isotopi för loopar och kvasigrupper introducerades av Albert ( 1943 ), baserat på hans något tidigare definition av isotopi för algebror, som i sin tur var inspirerad av Steenrods arbete.

Isotopi av kvasigrupper

Varje kvasigrupp är isotop till en loop.

Låt $(Q,\cdot )$ och $(P,\circ )$ vara kvasigrupper . En kvasigrupphomotopi från Q till P är en trippel ( α , β , γ ) av kartor från Q till P så att

$\alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,$

för alla x , y i Q . En kvasigrupphomomorfism är bara en homotopi för vilken de tre kartorna är lika.

En isotopi är en homotopi för vilken var och en av de tre kartorna ( α , β , γ ) är en bijektion . Två kvasigrupper är isotopiska om det finns en isotopi mellan dem. I termer av latinska kvadrater ges en isotopi ( α , β , γ ) av en permutation av rader α , en permutation av kolumner β och en permutation på den underliggande elementmängden γ .

En autotopi är en isotopi från en kvasigrupp $(Q,\cdot )$ till sig själv. Uppsättningen av alla autotopier av en kvasigrupp bildar en grupp med automorfismgruppen som en undergrupp.

En huvudisotopi är en isotop för vilken γ är identitetskartan på Q . I detta fall måste de underliggande mängderna av kvasigrupperna vara desamma men multiplikationerna kan skilja sig åt.

Isotopi av loopar

Låt $(L,\cdot )$ och $(K,\circ )$ vara loopar och låt $(\alpha ,\beta ,\gamma ):L\till K$ vara en isotop. Då är det produkten av huvudisotopin $\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)}$$(L, \cdot )$ från och $(L,*)$ och isomorfismen $\gamma$ mellan $(L,*)$ och $(K,\circ )$ . Sätt faktiskt $\alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha$ , $\beta _{0}=\gamma ^{ -1}\beta$ och definiera operationen $*$ med $x*y=\alpha ^{-1} \gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)$ .

Låt $(L,\cdot )$ och $(L,\circ )$ vara loopar och låt e vara det neutrala elementet i $(L,\cdot )$ . Låt $(\alpha ,\beta ,id)$ en huvudisotopi från $(L,\cdot )$ till $(L,\circ )$ . Då är $-1}}$$=$ L_ där $a=\alpha (e)$ och $b=\beta (e)$ .

En loop L är en G-loop om den är isomorf till alla dess loopisotoper.

Pseudo-automorfismer av loopar

Låt L vara en slinga och c ett element av L . En bijektion α av L kallas en rätt pseudo-automorfism av L med följeslagare c om för alla x , y identiteten

$\alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)$

håller. Man definierar vänster pseudo-automorfismer analogt.

Universella egenskaper

Vi säger att en loopegenskap P är universell om den är isotopinvariant, det vill säga P gäller för en loop L om och endast om P gäller för alla loopisotoper av L . Det är uppenbart att det räcker att kontrollera om P gäller för alla huvudisotoper av L .

Till exempel, eftersom isotoper i en kommutativ loop inte behöver vara kommutativa, är kommutativitet inte universell. Men associativitet och att vara en abelisk grupp är universella egenskaper. Faktum är att varje grupp är en G-loop.

Den geometriska tolkningen av isotopi

Givet en slinga L kan man definiera en infallsgeometrisk struktur som kallas 3-net . Omvänt, efter att ha fixerat ett ursprung och en ordning för linjeklasserna, ger ett 3-net upphov till en loop. Att välja ett annat ursprung eller byta linjeklasser kan resultera i icke-isomorfa koordinatslingor. Koordinatslingorna är dock alltid isotopiska. Med andra ord är två slingor isotopiska om och endast om de är ekvivalenta ur geometrisk synvinkel .

Ordboken mellan algebraiska och geometriska begrepp är följande

• Gruppen av autotopism av slingan motsvarar gruppriktningen som bevarar kollinationer av 3-nätet.
• Pseudo-automorfismer motsvarar kollineationer som fixerar koordinatsystemets två axlar.
• Uppsättningen av medföljande element är omloppsbanan för axelns stabilisator i kollineringsgruppen.
• Slingan är G-loop om och endast om kollineringsgruppen verkar transitivt på 3-nätets uppsättning av punkt.
• Egenskapen P är universell om och endast om den är oberoende av valet av ursprung.

Se även

• Isotopi av en algebra

•   Albert, AA (1943), "Quasigroups. I.", Trans. Amer. Matematik. Soc. , 54 : 507–519, doi : 10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7 , MR 0009962
•   Kurosh, AG (1963), Föreläsningar om allmän algebra , New York: Chelsea Publishing Co., MR 0158000