Kobayashi-mått

Inom matematik och särskilt komplex geometri är Kobayashi-metriken en pseudometrisk som är naturligt förknippad med vilken komplex mångfald som helst . Det introducerades av Shoshichi Kobayashi 1967. Kobayashi hyperboliska grenrör är en viktig klass av komplexa grenrör, definierade av egenskapen att Kobayashi-pseudometrin är en metrik. Kobayashi-hyperbolicitet av ett komplext mångfald X innebär att varje holomorf karta från den komplexa linjen C till X är konstant.

Definition

Upprinnelsen till begreppet ligger i Schwarz lemma i komplex analys . Nämligen, om f är en holomorf funktion på den öppna enhetsskivan D i de komplexa talen C så att f (0) = 0 och | f ( z )| < 1 för alla z i D , då har derivatan f '(0) ett absolut värde som högst 1. Mer generellt, för varje holomorf karta f från D till sig själv (som inte nödvändigtvis skickar 0 till 0), finns det en mer komplicerad övre bunden för derivatan av f vid vilken punkt som helst av D . Emellertid har bunden en enkel formulering i termer av Poincaré-metriken , som är en komplett Riemann-metrik på D med krökning −1 (isometrisk till det hyperboliska planet ). Nämligen: varje holomorf karta från D till sig själv minskar avståndet med avseende på Poincaré-metriken på D .

Detta är början på ett starkt samband mellan komplex analys och geometrin hos negativ krökning. För varje komplext utrymme X (till exempel ett komplext grenrör) definieras Kobayashi-pseudometriska d X som den största pseudometriska på X så att

,

för alla holomorfa kartor f från enhetsskivan D till X , där anger avstånd i Poincaré-metriken på D . På sätt och vis generaliserar denna formel Schwarz lemma till alla komplexa rum; men den kan vara tom i den meningen att Kobayashi-pseudometriska d X kan vara identiskt noll. Till exempel är den identiskt noll när X är den komplexa linjen C . (Detta inträffar eftersom C innehåller godtyckligt stora skivor, bilderna av de holomorfa kartorna f a : D → C ges av f ( z ) = az för godtyckligt stora positiva tal a .)

Ett komplext rum X sägs vara Kobayashi-hyperboliskt om Kobayashi-pseudometrin d X är en metrik, vilket betyder att d X ( x , y ) > 0 för alla x ≠ y i X . Informellt betyder detta att det finns en äkta gräns för storleken på skivor som mappas holomorft till X . I dessa termer säger Schwarz lemma att enhetsskivan D är Kobayashi-hyperbolisk, och mer exakt att Kobayashi-måttet på D är exakt Poincaré-måttet. Teorin blir mer intressant när fler exempel på Kobayashi hyperboliska grenrör hittas. (För ett Kobayashi hyperboliskt grenrör X är Kobayashi-måttet ett mått som i sig bestäms av den komplexa strukturen hos X ; det är inte alls klart att detta någonsin skulle hända. Ett verkligt grenrör med positiv dimension har aldrig ett inneboende mått i denna mening, eftersom dess diffeomorfismgrupp är för stor för att tillåta det.)

Exempel

  1. Varje holomorf karta f : X → Y av komplexa utrymmen minskar avståndet med avseende på Kobayashi-pseudometrin för X och Y . Det följer att om två punkter p och q i ett komplext utrymme Y kan kopplas samman med en kedja av holomorfa kartor C → Y , så är d Y ( p , q ) = 0, med användning av att d C är identiskt noll. Detta ger många exempel på komplexa grenrör där Kobayashi-pseudometrin är identiskt noll: den komplexa projektiva linjen CP 1 eller mer allmänt komplexa projektiva rymden CP n , C −{0} (med exponentialfunktionen C → C −{0}), en elliptisk kurva , eller mer allmänt en kompakt komplex torus .
  2. Kobayashi-hyperbolicitet bevaras under passage till öppna delmängder eller till slutna komplexa delrum. Det följer till exempel att varje gränsad domän i Cn är hyperbolisk .
  3. Ett komplext utrymme är Kobayashi hyperboliskt om och endast om dess universella täckande utrymme är Kobayashi hyperboliskt. Detta ger många exempel på hyperboliska komplexa kurvor, eftersom uniformiseringssatsen visar att de flesta komplexa kurvor (även kallade Riemann-ytor ) har ett universellt hölje som är isomorft mot skivan D . I synnerhet är varje kompakt komplex kurva av släktet minst 2 hyperbolisk, liksom komplementet av 2 eller fler punkter i C .

Grundläggande resultat

För ett Kobayashi hyperboliskt utrymme X är varje holomorf karta C → X konstant, genom den avståndsminskande egenskapen hos Kobayashi-pseudometrin. Detta är ofta den viktigaste konsekvensen av hyperbolicitet. Till exempel, det faktum att C minus 2 punkter är hyperbolisk antyder Picards sats att bilden av en icke-konstant hel funktion C → C missar högst en punkt av C . Nevanlinna-teorin är en mer kvantitativ ättling till Picards teorem.

Brodys teorem säger att ett kompakt komplext rymd X är Kobayashi-hyperboliskt om och endast om varje holomorf karta C → X är konstant. En tillämpning är att hyperbolicitet är ett öppet tillstånd (i den euklidiska topologin) för familjer av kompakta komplexa utrymmen. Mark Green använde Brodys argument för att karakterisera hyperbolicitet för slutna komplexa delrum X i en kompakt komplex torus: X är hyperbolisk om och endast om det inte innehåller någon översättning av en positiv-dimensionell subtorus.

Om ett komplext grenrör X har ett hermitiskt mått med holomorf tvärsnittskrökning som ovanför avgränsas av en negativ konstant, då är X Kobayashi-hyperbolisk. I dimension 1 kallas detta för Ahlfors –Schwarz-lemma.

Green-Griffiths-Lang-förmodan

Resultaten ovan ger en fullständig beskrivning av vilka komplexa grenrör som är Kobayashi-hyperboliska i komplex dimension 1. Bilden är mindre tydlig i högre dimensioner. Ett centralt öppet problem är Green- Griffiths - Lang -förmodan: om X är en komplex projektiv variation av allmän typ , så borde det finnas en sluten algebraisk delmängd Y som inte är lika med X så att varje icke-konstant holomorf karta C → X mappas till Y .

Clemens och Voisin visade att för n minst 2 har en mycket allmän hyperyta X i CP n +1 av grad d minst 2 n +1 egenskapen att varje sluten undervarietet av X är av allmän typ. ("Mycket allmänt" betyder att egenskapen gäller för alla hyperytor av grad d utanför en räknebar förening av lägre dimensionella algebraiska delmängder av det projektiva rummet för alla sådana hyperytor.) Som ett resultat skulle Green-Griffiths-Lang-förmodan innebära att en mycket allmän hyperyta med graden av minst 2 n +1 är Kobayashi hyperbolisk. Observera att man inte kan förvänta sig att alla släta hyperytor av en given grad är hyperboliska, till exempel eftersom vissa hyperytor innehåller linjer (isomorfa till CP 1 ). Sådana exempel visar behovet av delmängden Y i Green-Griffiths-Lang-förmodan.

Förmodan om hyperbolicitet är känd för överytor av tillräckligt hög grad, tack vare en rad framsteg av Siu , Demailly och andra, med hjälp av tekniken för jetdifferentialer . Till exempel visade Diverio, Merker och Rousseau att en allmän hyperyta i CP n +1 av graden minst 2 n 5 uppfyller Green-Griffiths-Lang-förmodan. ("Allmänt" betyder att detta gäller för alla hyperytor av given grad utanför en finit union av lägre dimensionella algebraiska delmängder av det projektiva utrymmet för alla sådana hyperytor.) 2016 gav Brotbek ett bevis på Kobayashi-förmodan för hyperbolicitet av allmän hyperytor av hög grad, baserade på användning av Wronskianska differentialekvationer; explicita gradgränser har sedan erhållits i godtycklig dimension av Ya Deng och Demailly, t.ex. [ (en) 2n+2 /3 ] av den senare. Bättre gränser för graden är kända i låga dimensioner.

McQuillan bevisade Green-Griffiths-Lang-förmodan för varje komplex projektiv yta av allmän typ vars Chern-tal uppfyller c 1 2 > c 2 . För en godtycklig variant X av allmän typ, visade Demailly att varje holomorf karta C → X uppfyller några (i själva verket många) algebraiska differentialekvationer .

I motsatt riktning antog Kobayashi att Kobayashi-pseudometrin är identiskt noll för Calabi-Yau-grenrören . Detta är sant i fallet med K3-ytor , med användning av att varje projektiv K3-yta täcks av en familj av elliptiska kurvor. Mer allmänt gav Campana en exakt gissning om vilka komplexa projektiva varianter X har Kobayashi-pseudometrisk lika med noll. Detta borde nämligen motsvara att X är speciell i den meningen att X inte har någon rationell fibrering över en positiv-dimensionell orbifold av allmän typ.

Analogi med talteori

För en projektiv variant X har studiet av holomorfa kartor C → X en viss analogi med studiet av rationella punkter i X , ett centralt ämne inom talteorin . Det finns flera gissningar om förhållandet mellan dessa två ämnen. Låt särskilt X vara en projektiv variation över ett talfält k . Fixa en inbäddning av k i C . Sedan antog Lang att det komplexa grenröret X ( C ) är Kobayashi-hyperboliskt om och endast om X bara har ändligt många F -rationella punkter för varje ändligt förlängningsfält F av k . Detta överensstämmer med de kända resultaten på rationella punkter, särskilt Faltings sats om subvarieteter av abelska sorter .

Mer exakt, låt X vara en projektiv variation av allmän typ över ett talfält k . Låt den exceptionella uppsättningen Y vara Zariski-förslutningen av föreningen av bilderna av alla icke-konstanta holomorfa kartor C → X . Enligt Green-Griffiths-Lang-förmodan Y vara en riktig sluten delmängd av X (och i synnerhet inte vara lika med X ). Den starka Lang-förmodan förutsäger att Y definieras över k och att X − Y endast har ändligt många F -rationella punkter för varje ändligt förlängningsfält F av k .

I samma anda, för en projektiv variant X över ett talfält k (eller, mer allmänt, ett ändligt genererat fält k med karakteristisk noll), antog Campana att Kobayashi-pseudometrin för X ( C ) är identiskt noll om och endast om X har potentiellt täta rationella punkter, vilket betyder att det finns ett ändligt förlängningsfält F av k så att mängden X ( F ) av F -rationella punkter är Zariski tät i X .

Varianter

Carathéodory -metriken är en annan inneboende pseudometrisk på komplexa grenrör, baserad på holomorfa kartor till enhetsskivan snarare än från enhetsskivan. Kobayashi infinitesimal pseudometrisk är en Finsler pseudometrisk vars associerade avståndsfunktion är Kobayashi pseudometrisk enligt ovan. Kobayashi–Eisenmans pseudovolymform är ett inneboende mått på ett komplext n -fald, baserat på holomorfa kartor från den n -dimensionella polyskivan till X . Det förstås bättre än Kobayashi-pseudometrin. I synnerhet är varje projektiv variation av allmän typ måtthyperbolisk , vilket betyder att Kobayashi-Eisenman pseudovolymformen är positiv utanför en lägre dimensionell algebraisk delmängd.

Analog pseudometri har övervägts för platta affina och projektiva strukturer, såväl som för mer allmänna projektiva anslutningar och konforma anslutningar .

Anteckningar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Kobayashi_metric&oldid=1070439080 "