Algebraisk differentialekvation

Ej att förväxla med differential-algebraiska ekvationssystem .

Inom matematiken är en algebraisk differentialekvation en differentialekvation som kan uttryckas med hjälp av differentialalgebra . Det finns flera sådana föreställningar, enligt begreppet differentiell algebra som används.

Avsikten är att inkludera ekvationer som bildas med hjälp av differentialoperatorer , där koefficienterna är rationella funktioner av variablerna (t.ex. den hypergeometriska ekvationen) . Algebraiska differentialekvationer används ofta i datoralgebra och talteori .

Ett enkelt koncept är ett polynomvektorfält , med andra ord ett vektorfält uttryckt med avseende på en standardkoordinatbas som de första partiella derivatorna med polynomkoefficienter. Detta är en typ av första ordningens algebraisk differentialoperator.

Formuleringar

• Derivationer D kan användas som algebraiska analoger till den formella delen av differentialkalkyl , så att algebraiska differentialekvationer är meningsfulla i kommutativa ringar .
• Teorin om differentialfält sattes upp för att uttrycka differentiell Galois teori i algebraiska termer.
• Weylalgebra W för differentialoperatorer med polynomkoefficienter kan övervägas ; vissa moduler M kan användas för att uttrycka differentialekvationer, enligt presentationen av M .
• Begreppet Koszul-anslutning är något som enkelt transkriberas till algebraisk geometri , vilket ger en algebraisk analog av hur system av differentialekvationer geometriskt representeras av vektorbuntar med anslutningar.
• Begreppet jet kan beskrivas i rent algebraiska termer, vilket gjordes i en del av Grothendiecks EGA - projekt.
• Teorin för D-moduler är en global teori för linjära differentialekvationer och har utvecklats för att inkludera materiella resultat i den algebraiska teorin (inklusive en Riemann-Hilbert-korrespondens för högre dimensioner).

Algebraiska lösningar

Det är vanligtvis inte så att den allmänna lösningen av en algebraisk differentialekvation är en algebraisk funktion : att lösa ekvationer producerar vanligtvis nya transcendentala funktioner . Fallet med algebraiska lösningar är dock av stort intresse; den klassiska Schwarz-listan behandlar fallet med den hypergeometriska ekvationen. I differential Galois teori är fallet med algebraiska lösningar det där den differentiella Galois gruppen G är ändlig (motsvarande av dimension 0, eller av en finit monodromigrupp för fallet med Riemann ytor och linjära ekvationer). Detta fall står i relation till hela teorin ungefär som invariant teori gör till grupprepresentationsteori . Gruppen G är i allmänhet svår att beräkna, förståelsen av algebraiska lösningar är en indikation på övre gränser för G .

externa länkar

• Mikhalev, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], "Differential algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Mikhalev, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], "Extension of a differential field" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press