Jet (matematik)

Inom matematiken är strålen en operation som tar en differentierbar funktion f och producerar ett polynom , det trunkerade Taylorpolynomet av f , vid varje punkt i dess domän. Även om detta är definitionen av en jet, betraktar teorin om jets dessa polynom som abstrakta polynom snarare än polynomfunktioner.

Den här artikeln utforskar först begreppet en jet av en verklig värderad funktion i en verklig variabel, följt av en diskussion om generaliseringar till flera verkliga variabler. Det ger sedan en rigorös konstruktion av jetstrålar och jetutrymmen mellan euklidiska utrymmen . Den avslutas med en beskrivning av jetstrålar mellan grenrör och hur dessa jetstrålar kan konstrueras i sig. I detta mer allmänna sammanhang sammanfattar den några av jetstrålarnas tillämpningar på differentialgeometri och teorin om differentialekvationer .

Strålar av funktioner mellan euklidiska rum

Innan du ger en rigorös definition av ett jetplan är det användbart att undersöka några speciella fall.

Endimensionell låda

Antag att $f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ är en verkligt värderad funktion som har minst k + 1 derivator i ett grannskap U av punkten $x_{0}$ . Sedan genom Taylors teorem,

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^ {(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1) !}}(x-x_{0})^{k+1}$

var

$|R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.$

Då definieras k -strålen för f i punkten $x_{0}$ som polynomet

$(J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\summa _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0}) }{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})} {k!}}z^{k}.$

Jets betraktas normalt som abstrakta polynom i variabeln z , inte som faktiska polynomfunktioner i den variabeln. Med andra ord z en obestämd variabel som tillåter en att utföra olika algebraiska operationer bland strålarna. Det är i själva verket baspunkten $x_{0}$ från vilken jetplanen får sitt funktionella beroende. Således, genom att variera baspunkten, ger en jet ett polynom av ordning högst k vid varje punkt. Detta markerar en viktig begreppsmässig skillnad mellan jets och trunkerade Taylor-serier: vanligtvis anses en Taylor-serie vara funktionellt beroende av sin variabel snarare än sin baspunkt. Jets, å andra sidan, separerar Taylor-seriens algebraiska egenskaper från deras funktionella egenskaper. Vi kommer att behandla skälen till och tillämpningarna av denna separation senare i artikeln.

Kartläggningar från ett euklidiskt rum till ett annat

Antag att ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}} är$ en funktion från ett euklidiskt rum till ett annat med vid minst ( k + 1) derivator. I det här fallet hävdar Taylors teorem det

${\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1 }{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)} {(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}$

K -strålen för f definieras då som polynomet

$(J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1 }{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{ k!}}\cdot z^{\otimes k}$

i ${\mathbb {R} [z]$ , där $z=(z_{1},\ldots ,z_{n} )$ .

Algebraiska egenskaper hos jetstrålar

Det finns två grundläggande algebraiska strukturer som jetstrålar kan bära. Den första är en produktstruktur, även om denna i slutändan visar sig vara den minst viktiga. Den andra är strukturen i sammansättningen av jetstrålar.

Om $f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }$ är ett par verkliga funktioner, då kan vi definiera produkten av deras jets via

$J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).$

Här har vi undertryckt det obestämda z , eftersom det är underförstått att strålar är formella polynom. Denna produkt är bara produkten av vanliga polynom i z , modulo $z^{k+1}$ . Det är med andra ord multiplikation i ringen ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})} ,$ där $(z^{k+1})$ är idealet som genereras av polynom som är homogena av ordningen ≥ k + 1.

Vi går nu över till sammansättningen av jetplan. För att undvika onödiga teknikaliteter överväger vi strålar av funktioner som kartlägger ursprunget till ursprunget. Om ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }} och g$ : $displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}} med$ f ( 0) = 0 och g (0) = 0, sedan $f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }$ . Strålarnas sammansättning definieras ${\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).} Det kan lätt$ verifieras med hjälp av kedjeregeln , att detta utgör en associativ icke-kommutativ operation på utrymmet för jetstrålar vid ursprunget.

I själva verket är sammansättningen av k -strålar inget annat än sammansättningen av polynom modulo idealet för polynom homogena av ordning > $\displaystyle >k}$ .

Exempel:

• I en dimension, låt $f(x)=\log(1-x)$ och $g(x)=\ synd \,x$ . Sedan

$(J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2} }{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}$

$(J_{0}^{3}g)( x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}$

och

${\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{ \frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^ {2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}} }\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}$

Jets vid en punkt i det euklidiska rymden: rigorösa definitioner

Analytisk definition

Följande definition använder idéer från matematisk analys för att definiera jetstrålar och jetutrymmen. Det kan generaliseras till att jämna ut funktioner mellan Banach-utrymmen , analytiska funktioner mellan verkliga eller komplexa domäner , till p-adisk analys och till andra analysområden.

Låt $C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ vara vektorrummet för jämna funktioner $f:{\mathbb {R} }^{n}\högerpil {\mathbb {R} }^{m}$ . Låt k vara ett icke-negativt heltal och låt p vara en punkt på ${\mathbb {R} }^{n}$ . Vi definierar en ekvivalensrelation $E_{p}^{k}$ på detta utrymme genom att förklara att två funktioner f och g är ekvivalenta med ordningen k om f och g har samma värde vid p , och alla av deras partiella derivator överensstämmer vid p upp till (och inklusive) deras k -:e ordningens derivator. Kort sagt, $f\sim g\,\!$ iff $fg=0$ till k -:te ordningen.

Jetutrymmet av k -te ordningen för $C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m })$ vid p definieras som uppsättningen av ekvivalensklasser för $J_{ p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$$\displaystyle E_{p}^{k}}$ , och betecknas med .

k { -te ordningen vid p av en jämn funktion $\mathbb {R} }^{m})}$${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},$ definieras som ekvivalensklassen för f i $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ .

Algebraisk-geometrisk definition

Följande definition använder idéer från algebraisk geometri och kommutativ algebra för att fastställa begreppet en jet och ett jetutrymme. Även om denna definition inte är särskilt lämpad för användning i algebraisk geometri i sig, eftersom den är gjuten i den jämna kategorin, kan den lätt skräddarsys för sådana användningar.

Låt $C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ vara vektorrummet för bakterier med jämna funktioner $f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ displaystyle vid en punkt p i ${\mathbb {R} }^{n}$ . Låt ${\mathfrak {m}}_{p}$ vara det ideal som består av bakterier till funktioner som försvinner vid p . (Detta är det maximala idealet för den lokala ringen $C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R } }^{m})$ .) Då består idealen ${\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}$ av alla funktionsbakterier som försvinner i ordning k vid sid . Vi kan nu definiera jetutrymmet vid p by

$J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n} ,{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{ \mathfrak {m}}_{p}^{k+1}$

Om ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}} är$ en jämn funktion, kan vi definiera k -jet av f vid p som elementet av $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^ {m})$ genom att ställa in

$J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}} }$

Detta är en mer allmän konstruktion. För ett $\mathbb {F}$ -mellanslag $M$ , låt ${\mathcal {F}}_{p}$ vara stjälken på strukturkärven vid ${\ displaystyle p}$ och låt ${\mathfrak {m}}_{p}$ vara det maximala idealet för den lokala ringen ${\mathcal {F}}_{p}$ . Det k:te jetutrymmet vid $p$ definieras som ringen ${\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}} ($ m $\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k +1}}$ är produkten av ideal ).

Taylors teorem

Oavsett definition, etablerar Taylors teorem en kanonisk isomorfism av vektorrum mellan $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{ \mathbb {R} }^{m})$ och ${\mathbb {R} }^{m [z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}$ . Så i det euklidiska sammanhanget identifieras jetplan typiskt med sina polynomrepresentanter under denna isomorfism.

Jetavstånd från en punkt till en punkt

Vi har definierat utrymmet $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m} )$ av jetstrålar vid en punkt $p\in {\mathbb {R} }^{n}$ . Delrummet av detta som består av strålar av funktioner f så att f ( p ) = q betecknas med

${\displaystyle J_{p}^{k}({\$

Strålar av funktioner mellan två grenrör

Om M och N är två jämna grenrör , hur definierar vi strålen för en funktion $f:M\rightarrow N$ ? Vi skulle kanske kunna försöka definiera ett sådant jetplan genom att använda lokala koordinater på M och N . Nackdelen med detta är att jetstrålarna således inte kan definieras på ett oföränderligt sätt. Jets omvandlas inte som tensorer . Istället hör strålar av funktioner mellan två grenrör till en jetbunt .

Strålar av funktioner från den verkliga linjen till ett grenrör

Antag att M är ett jämnt grenrör som innehåller en punkt p . Vi ska definiera kurvstrålarna genom p , med vilka vi hädanefter menar jämna funktioner $f:{\mathbb {R} }\rightarrow M$ så att f (0) = p . Definiera en ekvivalensrelation $E_{p}^{k}$ enligt följande. Låt f och g vara ett par kurvor genom p . Vi kommer då att säga att f och g är ekvivalenta med ordningen k vid p om det finns någon grannskap U av p , så att för varje jämn funktion $\varphi :U\rightarrow {\mathbb {R } }$ , $J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \ circ g)$ . Observera att dessa jetstrålar är väldefinierade eftersom de sammansatta funktionerna $\varphi \circ f$ och $\varphi \circ g$ bara är avbildningar från den verkliga linjen till sig själv. Denna ekvivalensrelation kallas ibland den för k -:te ordningens kontakt mellan kurvor vid p .

Vi definierar nu k -strålen för en kurva f till p att vara ekvivalensklassen för f under $E_{p}^{k}$ , betecknad $J^{k}\ !f\,$ eller $J_{0}^{k}f$ . Jetutrymmet av k -te ordningen $J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}$ är då mängden k - jets på sid .

Eftersom p varierar över M , bildar $J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}$ ett fiberknippe över M : k -th-orders tangentbunt , ofta betecknad i litteraturen med T ^k M (även om denna notation ibland kan leda till förvirring). I fallet k =1 är första ordningens tangentknippa det vanliga tangentknippet: T ¹ M = TM .

För att bevisa att T ^k M faktiskt är ett fiberknippe är det lärorikt att undersöka egenskaperna hos $J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M )_{p}$ i lokala koordinater. Låt ( x ⁱ )= ( x ¹ ,..., x ⁿ ) vara ett lokalt koordinatsystem för M i ett område U av p . Om vi ​​missbrukar notation något kan vi betrakta ( x ⁱ ) som en lokal diffeomorfism $(x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ .

Krav. Två kurvor f och g till p är ekvivalenta modulo $E_{p}^{k}$ om och endast om $J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\ höger)$ .

Faktum är att den enda om delen är klar, eftersom var och en av de n funktionerna x ¹ ,..., x ⁿ är en jämn funktion från M till ${\mathbb {R} }$ . Så enligt definitionen av ekvivalensrelationen $E_{p}^{k}$ måste två ekvivalenta kurvor ha $J_ {0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)$ .

Omvänt, anta att $\varphi$ ; är en jämn realvärderad funktion på M i en omgivning av p . Eftersom varje jämn funktion har ett lokalt koordinatuttryck, kan vi uttrycka $\varphi$ ; som en funktion i koordinaterna. Specifikt, om q är en punkt av M nära p , då

$\varphi (q)=\psi (x^{1 }(q),\dots ,x^{n}(q))$

för en jämn funktion ψ av n reella variabler. Därför har vi för två kurvor f och g till p

$\varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)$

$\varphi \circ g=\psi (x^{1} \circ g,\dots ,x^{n}\circ g)$

Kedjeregeln fastställer nu if -delen av anspråket. Till exempel, om f och g är funktioner av den reella variabeln t , då

$\left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0} =\summa _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ ( D_{i}\psi )\circ f(0)$

som är lika med samma uttryck när det utvärderas mot g istället för f , med tanke på att f (0)= g (0)=p och f och g är i k - ordningens kontakt i koordinatsystemet ( x ⁱ ).

^det skenbara fiberknippet TkM en lokal trivialisering i varje koordinatkvarter . Vid denna punkt, för att bevisa att detta skenbara fiberknippe i själva verket är ett fiberknippe, räcker det att fastställa att det har icke-singulära övergångsfunktioner under en förändring av koordinater. Låt $(y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ vara ett annat koordinatsystem och låt $\rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n }\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ vara den associerade förändringen av koordinatdiffeomorfismen av det euklidiska rummet till sig självt. Med hjälp av en affin transformation av ${\mathbb {R} }^{n}$ kan vi utan förlust av generalitet anta att ρ(0)=0. Med detta antagande räcker det att bevisa att $J_{0}^{k}\rho :J_{0} ^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\högerpil J_{0}^{k}({\mathbb {R}}^{n },{\mathbb {R} }^{n})$ är en inverterbar transformation under jetsammansättning. (Se även jetgrupper .) Men eftersom ρ är en diffeomorfism, är $\rho ^{-1}$ också en jämn mappning. Därav,

$I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{ k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})$

vilket bevisar att $J_{0}^{k}\rho$ är icke-singular. Dessutom är det smidigt, även om vi inte bevisar det faktumet här.

Intuitivt betyder detta att vi kan uttrycka strålen av en kurva genom p i termer av dess Taylor-serie i lokala koordinater på M .

Exempel i lokala koordinater:

• Som nämnts tidigare är 1-strålen i en kurva genom p en tangentvektor. En tangentvektor vid p är en differentialoperator av första ordningen som verkar på jämna verkliga funktioner vid p . I lokala koordinater har varje tangentvektor formen

$v=\summa _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i }}}$

Givet en sådan tangentvektor v , låt f vara kurvan som ges i x ⁱ -koordinatsystemet av $x^{i}\circ f(t)= tv^{i}$ . Om φ är en jämn funktion i närheten av p med φ ( p ) = 0, då

$\varphi \circ f:{\mathbb {R} }\högerpil {\mathbb {R } }$

är en jämn realvärderad funktion av en variabel vars 1-stråle ges av

$J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{i} }}(p).$

vilket bevisar att man naturligt kan identifiera tangentvektorer i en punkt med 1-strålar av kurvor genom den punkten.

• Utrymmet av 2-strålar av kurvor genom en punkt.

I ett lokalt koordinatsystem x ⁱ centrerat i en punkt p kan vi uttrycka andra ordningens Taylor-polynom för en kurva f ( t ) till p med

${\displaystyle J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).} Så i$

x- koordinatsystemet , 2-jet av en kurva genom p identifieras med en lista med reella tal $({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{ i})$ . Som med tangentvektorerna (1-strålar av kurvor) vid en punkt, lyder 2-strålar av kurvor en transformationslag vid tillämpning av koordinatövergångsfunktionerna.

Låt ( y ⁱ ) vara ett annat koordinatsystem. Enligt kedjeregeln,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i }(f(t))&=\summa _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d)} {dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))& =\summa _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)) {\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\summa _{j}{ \frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j} (f(t))\end{aligned}}$

Därför ges transformationslagen genom att utvärdera dessa två uttryck vid t = 0.

${\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\summa _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}} (0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\summa _{j,k}{\frac {\partial ^{2} y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k} +\summa _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}$

Observera att transformationslagen för 2-jets är andra ordningen i koordinatövergångsfunktionerna.

Strålar av funktioner från ett grenrör till ett grenrör

Vi är nu beredda att definiera strålen för en funktion från ett grenrör till ett grenrör.

0 Antag att M och N är två släta grenrör. Låt p vara en punkt av M . Betrakta utrymmet $C_{p}^{\infty }(M,N)$ som består av jämna kartor $f:M\rightarrow N$ definierade i någon grannskap av p . Vi definierar en ekvivalensrelation $E_{p}^{k}$ på $C_{p}^{\infty }(M,N)$ enligt följande. Två kartor f och g sägs vara ekvivalenta om, för varje kurva γ till p (kom ihåg att detta enligt våra konventioner är en avbildning $\gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M$ så att $\gamma (0)=p$ ), vi har $J_{0}^{k}(f \circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )$ på något område av .

Jetutrymmet $J_{p}^{k}(M,N)$ definieras sedan som uppsättningen av ekvivalensklasser av $C_{p}^{\infty }(M,N)$ modulo ekvivalensrelationen $E_{p}^{k}$ . Observera att eftersom målutrymmet N inte behöver ha någon algebraisk struktur, behöver $J_{p}^{k}(M,N)$ heller ha en sådan struktur. Detta är i själva verket en skarp kontrast till fallet med euklidiska utrymmen.

Om $f:M\rightarrow N$ är en jämn funktion definierad nära p , så definierar vi k -jet för f vid p , $J_{p}^{k }f$ , för att vara ekvivalensklassen för f modulo $E_{p}^{k}$ .

Multijets

John Mather introducerade begreppet multijet . Löst sett är en multijet en ändlig lista över jetstrålar över olika baspunkter. Mather bevisade multijet- transversalitetssatsen , som han använde i sin studie av stabila kartläggningar.

Strålar av sektioner

Antag att E är en ändlig dimensionell jämn vektorbunt över ett grenrör M , med projektion $\pi :E\rightarrow M$ . Då är sektioner av E jämna funktioner $E}$ rightarrow så att $\pi \circ s$ är identitetsautomorfismen för M . Strålen för en sektion s över ett område av en punkt p är bara strålen för denna jämna funktion från M till E vid p .

Utrymmet för strålar av sektioner vid p betecknas med $J_{p}^{k}(M,E)$ . Även om denna notation kan leda till förvirring med de mer allmänna jetutrymmena av funktioner mellan två grenrör, eliminerar sammanhanget vanligtvis all sådan tvetydighet.

Till skillnad från strålar av funktioner från ett grenrör till ett annat grenrör, bär utrymmet av strålar av sektioner vid p strukturen av ett vektorrum som ärvts från vektorrumsstrukturen på sektionerna själva. Eftersom p varierar över M , bildar jetutrymmena $J_{p}^{k}(M,E)$ en vektorbunt över M , jetbunten av k -te ordningen E , betecknad med Jk ⁽ E ).

• Exempel: Den första ordningens jetbunt av tangentbunten.

Vi arbetar i lokala koordinater vid en punkt och använder Einstein-notationen . Betrakta ett vektorfält

$v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}$

i närheten av p i M . 1-strålen av v erhålls genom att ta första ordningens Taylor-polynom av vektorfältets koefficienter:

$J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x ^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}.$

I x -koordinaterna kan 1-strålen vid en punkt identifieras med en lista över reella tal $(v^{i},v_{j}^{i})$ . På samma sätt som en tangentvektor i en punkt kan identifieras med listan ( v ⁱ ), med förbehåll för en viss transformationslag under koordinatövergångar, måste vi veta hur listan ( $\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$ påverkas av en övergång.

Så betrakta transformationslagen i övergång till ett annat koordinatsystem y ⁱ . Låt w ^k vara koefficienterna för vektorfältet v i y- koordinaterna. Sedan i y- koordinaterna är 1-strålen av v en ny lista med reella tal $(w^{i},w_{j}^{i})$ . Eftersom

$v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v ^{i}(x)\partial /\partial x^{i},$

det följer att

$w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).$

Så

$w^{k}(0)+ y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\ frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)$

Expanderar av en Taylor-serie har vi

$w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}} }(0)v^{i}$

${\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j} }}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.} Observera att transformationslagen är av andra ordningen i koordinatövergångsfunktionerna$

.

Differentialoperatorer mellan vektorbuntar

Ytterligare information: Differentialoperatör § Koordinatoberoende beskrivning

Se även

• Jetgrupp
• Jet bunt
• Lagrangesystemet

•   Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], Symmetrier och bevarandelagar för differentialekvationer för matematisk fysik, American Mathematical Society , Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X .
•     Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Naturliga operationer i differentialgeometri. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .
•   Saunders, DJ, The Geometry of Jet Bundles , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
•   Olver, PJ , Equivalence, Invariants and Symmetry , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
•   Sardanashvily, G. , Advanced Differential Geometry for Theoreticians: Fiberbuntar, jet manifolds and Lagrangian theory , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886