Affint grenrör

I differentialgeometri är ett affint grenrör ett differentierbart grenrör utrustat med en platt , vridningsfri anslutning .

På motsvarande sätt är det ett grenrör som (om det är anslutet) täckt av en öppen delmängd av ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} ,$ med monodromi som verkar genom affina transformationer . Denna ekvivalens är en lätt följd av Cartan-Ambrose-Hicks sats .

På motsvarande sätt är det ett grenrör utrustat med en atlas – kallad affin struktur – så att alla övergångsfunktioner mellan diagram är affina transformationer (det vill säga har konstant jakobiansk matris); två atlaser är likvärdiga om mångfalden medger en atlas som är underkastad båda, där övergångar från båda atlaserna till en mindre atlas är affina. Ett grenrör som har en särskiljande affin struktur kallas ett affint grenrör och de diagram som är affint relaterade till dem i den affina strukturen kallas affina diagram . I varje affin koordinatdomän koordinatvektorfälten en parallellisering av den domänen, så det finns en associerad koppling på varje domän. Dessa lokalt definierade anslutningar är desamma på överlappande delar, så det finns en unik anslutning associerad med en affin struktur. Observera att det finns en koppling mellan linjär anslutning (även kallad affin anslutning ) och en webb .

Formell definition

Ett affint grenrör $M\,$ är ett riktigt grenrör med diagram $\psi _{i}\colon U_{i}\to {\mathbb {R} }^ {n}$ så att $\psi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}\i \operatörsnamn {Aff} ( {\mathbb {R} }^{n})$ för alla $i,j\,,$ där $\operatorname {Aff} ({\mathbb {R } }^{n})$ betecknar Lie-gruppen av affina transformationer. Med finare ord är det ett (G,X)-manifold där $X=\mathbb {R} ^{n}$ och $G$ är gruppen av affina transformationer.

En affin manifold kallas komplett om dess universella täckning är homeomorf till ${\mathbb {R} }^{n}$ .

I fallet med ett kompakt affint grenrör $M$ , låt $G$ vara den grundläggande gruppen av $M$ och ${\widetilde {M}}$ är dess universella täcka . Man kan visa att varje $n$ -dimensionell affin grenrör kommer med en utvecklingskarta $D\colon {\widetilde {M}}\to {\mathbb {R} }^ {n}$ , och en homomorfism ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Aff} ({\mathbb {R} }^{n})} , så$ att $D$ är en nedsänkning och ekvivariant med avseende på $\varphi$ .

En grundläggande grupp av en kompakt komplett platt affin grenrör kallas en affin kristallografisk grupp . Klassificering av affina kristallografiska grupper är ett svårt problem, långt ifrån löst. De Riemannska kristallografiska grupperna (även kända som Bieberbach-grupper ) klassificerades av Ludwig Bieberbach och svarade på en fråga som ställdes av David Hilbert . I sitt arbete med Hilberts 18:e problem bevisade Bieberbach att alla Riemannska kristallografiska grupper innehåller en abelsk undergrupp av finita index .

Viktiga gissningar under lång tid

Geometrin hos affina grenrör är i huvudsak ett nätverk av långvariga gissningar; de flesta av dem bevisade i låg dimension och några andra specialfall.

De viktigaste av dem är:

Markus gissning (1962) som säger att ett kompakt affint grenrör är komplett om och endast om det har parallell volym. Känd i dimension 2.
Auslander-förmodan (1964) som anger att varje affin kristallografisk grupp innehåller en polycyklisk undergrupp av finita index . Känd i dimensioner upp till 6, och när holonomi för den platta anslutningen bevarar ett Lorentz-mått . Eftersom varje praktiskt taget polycyklisk kristallografisk grupp bevarar en volymform, antyder Auslander-förmodan "endast om"-delen av Markus-förmodan.
Chern-förmodan (1955) Euler-klassen av ett affint grenrör försvinner.

Anteckningar

Nomizu, Katsumi ; Sasaki, Takeshi (1994), Affine Differential Geometry , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-44177-3
Sharpe, Richard W. (1997). Differentialgeometri: Cartans generalisering av Kleins Erlangen-program . New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9 .
Biskop, Richard L. ; Goldberg, Samuel I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6 .