Nära polygon

En tät nära polygon med diametern d = 2

Inom matematik är en nära polygon en infallsgeometri som introducerades av Ernest E. Shult och Arthur Yanushka 1980. Shult och Yanushka visade sambandet mellan de så kallade tetraedriskt slutna linjesystemen i euklidiska utrymmen och en klass av punktlinjegeometrier som de kallade nära polygoner. Dessa strukturer generaliserar begreppet generaliserad polygon eftersom varje generaliserad 2 n -gon är en nära 2 n -gon av ett visst slag. Nära polygoner studerades omfattande och samband mellan dem och dubbla polära rymden visades på 1980-talet och början av 1990-talet. Vissa sporadiska enkla grupper , till exempel Hall-Janko-gruppen och Mathieu-grupperna , fungerar som automorfismgrupper av nära polygoner.

Definition

En nära 2 d -gon är en incidensstruktur ( $P,L,I$ ), där $P$ är uppsättningen av punkter, $L$ är uppsättningen av linjer och $I\subseteq P\times L$ är incidensrelationen , så att:

Det maximala avståndet mellan två punkter (den så kallade diametern) är d .
För varje punkt $x$ och varje rad $L$ finns det en unik punkt på $L$ som är närmast $x$ .

Observera att avståndet mäts i punkters kolinearitetsgraf , dvs grafen som bildas genom att ta punkter som hörn och sammanfoga ett par hörn om de faller samman med en gemensam linje. Vi kan också ge en alternativ grafteoretisk definition, en nära 2 d -gon är en sammankopplad graf med ändlig diameter d med egenskapen att för varje vertex x och varje maximal klick M finns det en unik vertex x ' i M närmast x . De maximala klicken i en sådan graf motsvarar linjerna i definitionen av incidensstrukturen. En nära 0-gon ( d = 0) är en enda punkt medan en nära 2-gon ( d = 1) bara är en enda linje, dvs en komplett graf . En nästan fyrkant ( d = 2) är samma som en (möjligen degenererad) generaliserad fyrkant . I själva verket kan det visas att varje generaliserad 2 d -gon är en nära 2 d -gon som uppfyller följande två ytterligare villkor:

Varje punkt är incident med minst två linjer.
För varje två punkter x , y på avstånd i < d , finns det en unik granne till y på avstånd i − 1 från x .

En nära polygon kallas tät om varje linje är infallande med minst tre punkter och om varannan punkt på avstånd två har minst två gemensamma grannar. Det sägs ha ordning ( s , t ) om varje linje är infallande med exakt s + 1 punkter och varje punkt är infallande med exakt t + 1 linjer. Täta nära polygoner har en rik teori och flera klasser av dem (som de smala täta nära polygonerna) har klassificerats helt.

Exempel

Alla anslutna tvådelade grafer är nära polygoner. Faktum är att varje nära polygon som har exakt två punkter per linje måste vara en sammankopplad tvådelad graf.
Alla ändliga generaliserade polygoner utom de projektiva planen.
Alla dubbla polära utrymmen .
Hall-Janko nära oktagon, även känd som Cohen- Tis nära oktagon förknippad med Hall-Janko-gruppen . Den kan konstrueras genom att välja konjugationsklassen med 315 centrala involutioner av Hall-Janko-gruppen som punkter och linjer som tre elementundermängder {x, y, xy} närhelst x och y pendlar.
M ₂₄ nära hexagon relaterad till Mathieu-gruppen M24 och den utökade binära Golay-koden . Den är konstruerad genom att ta 759 oktader (block) i Witt-designen S (5, 8, 24) som motsvarar Golay-koden som punkter och en trippel av tre parvis osammanhängande oktader som linjer.
Ta partitionerna av {1, 2, ..., 2 n + 2} till n + 1 2-delmängder som punkter och partitionerna i n − 1 2-delmängder och en 4-delmängd som linjer. En punkt är infallande till en linje om den som en partition är en förfining av linjen. Detta ger oss en nära 2 n -gon med tre punkter på varje linje, vanligtvis betecknad H _n . Dess fullständiga automorfismgrupp är den _{symmetriska + 2} gruppen S2n .

Regelbundna nära polygoner

En finit nära $2d$ -gon S kallas regelbunden om den har en ordning $(s,t)$ och om det finns konstanter ${\displaystyle t_{i},i\in \{1,\ldots ,d\}} ,$ så att för varannan punkt $x$ och $y$ på avstånd $i$ , det finns exakt $t_{i}+1$ linjer genom $y$ som innehåller en (nödvändigtvis unik) punkt på avstånd $i-1$ från $x$ . Det visar sig att vanliga nära $2d$ -goner är just de nära $2d$ -goner vars punktgraf (även känd som en kollinearitetsgraf ) är en avståndsreguljär graf . En generaliserad $2d$ -gon av ordning $(s,t)$ är en vanlig nära $2d$ -gon med parametrarna $t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t$

Se även

Anteckningar

Brouwer, AE; Cohen, AM; Wilbrink, HA; Hall, JJ (1994), "Nära polygoner och Fischer-utrymmen" (PDF) , Geometriae Dedicata , 49 (3): 349–368, doi : 10.1007/BF01264034 .

Brouwer, AE ; Cohen, AM; Neumaier, A. (1989), Distance Regular Graphs , Berlin, New York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5 , MR 1002568 .

Brouwer, AE ; Wilbrink, HA (1983), Två oändliga sekvenser av nära polygoner (PDF) , Rapport ZW194/83, Mathematisch Centrum .

Cameron, Peter J. (1982), "Dual polar spaces", Geometriae Dedicata , 12 : 75–85, doi : 10.1007/bf00147332 , MR 0645040 .

Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces , QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary och Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019 .
De Bruyn, Bart (2006), Near Polygons , Frontiers in Mathematics, Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-7643-7553-9 , ISBN 3-7643-7552-3 , MR 2227553 .

De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Some classes of rank 2 geometries", Handbook of Incident Geometry , Amsterdam: North-Holland, s. 433–475 .
Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7 .

Shult, Ernest; Yanushka, Arthur (1980), "Nära n-goner och linjesystem", Geometriae Dedicata , 9 : 1–72, doi : 10.1007/BF00156473 , MR 0566437 .