Historia om knutteorin

Triviala knutar, eller unknots

Knutar har använts för grundläggande ändamål som att registrera information , fästa och knyta ihop föremål i tusentals år. Den tidiga, betydande stimulansen i knutteorin skulle komma senare med Sir William Thomson (Lord Kelvin) och hans virvelteori om atomen .

Historia

Förmodern

Olika knutar är bättre på olika uppgifter, som att klättra eller segla . Knutar ansågs också ha andlig och religiös symbolik utöver sina estetiska egenskaper. Den ändlösa knuten uppträder i tibetansk buddhism, medan de borromeiska ringarna har gjort upprepade framträdanden i olika kulturer, ofta symboliserat enhet. De keltiska munkarna som skapade Book of Kells överdådigade hela sidor med invecklade keltiska knutar .

Tidig modern

Knutar studerades ur en matematisk synvinkel av Carl Friedrich Gauss , som 1833 utvecklade Gauss länkintegralen för att beräkna länkantalet för två knutar. Hans elev Johann Benedict Listing , efter vilken Listings knut är uppkallad, fortsatte deras studier.

År 1867 efter att ha observerat den skotske fysikern Peter Taits experiment med rökringar, kom Thomson till idén att atomer var knutar av virvlande virvlar i etern . Kemiska grundämnen skulle alltså motsvara knutar och länkar. Taits experiment var inspirerade av ett papper från Helmholtz om virvelringar i inkompressibla vätskor. Thomson och Tait trodde att en förståelse och klassificering av alla möjliga knutar skulle förklara varför atomer absorberar och avger ljus endast vid de diskreta våglängder som de gör. Till exempel trodde Thomson att natrium kunde vara Hopf-länken på grund av dess två spektrumlinjer.

Tait började därefter lista unika knutar i tron ​​att han skapade en tabell med element. Han formulerade vad som nu är känt som Tait-förmodan om alternerande knutar . (Förmodningarna bevisades på 1990-talet.) Taits knuttabeller förbättrades därefter av CN Little och Thomas Kirkman .

James Clerk Maxwell , en kollega och vän till Thomsons och Taits, utvecklade också ett starkt intresse för knutar. Maxwell studerade Listings arbete med knutar. Han omtolkade Gauss länkintegral i termer av elektromagnetisk teori. I sin formulering representerade integralen det arbete som utförs av en laddad partikel som rör sig längs en komponent i länken under påverkan av det magnetiska fält som genereras av en elektrisk ström tillsammans med den andra komponenten. Maxwell fortsatte också studiet av rökringar genom att överväga tre interagerande ringar.

När den lysande etern inte upptäcktes i Michelson-Morley-experimentet blev vortexteorin helt föråldrad och knutteorin upphörde att vara av stort vetenskapligt intresse. Modern fysik visar att de diskreta våglängderna beror på kvantenerginivåer .

Senmodern

Efter utvecklingstopologin i början av 1900-talet med Henri Poincaré i spetsen, undersökte topologer som Max Dehn , JW Alexander och Kurt Reidemeister knutar. Ur detta sprang Reidemeister-dragen och Alexanderpolynomet . Dehn utvecklade också Dehn-kirurgi , som relaterade knutar till den allmänna teorin om 3-manifolder, och formulerade Dehn-problemen i gruppteorin , såsom ordet problem . Tidiga pionjärer under första hälften av 1900-talet inkluderar Ralph Fox , som populariserade ämnet. Under denna tidiga period bestod knutteorin främst av studier av knutgruppen och homologiska invarianter av knutkomplementet .

Samtida

1961 upptäckte Wolfgang Haken en algoritm som kan avgöra om en knut är icke-trivial eller inte . Han beskrev också en strategi för att lösa det allmänna knutigenkänningsproblemet, det vill säga att avgöra om två givna knutar är likvärdiga eller inte. I början av 1970-talet Friedhelm Waldhausen slutförandet av Hakens program baserat på hans resultat och de av Klaus Johannson, William Jaco , Peter Shalen och Geoffrey Hemion. 2003 påpekade och fyllde Sergei Matveev en avgörande lucka.

Några få stora upptäckter i slutet av 1900-talet föryngrade knutteorin kraftigt och förde den längre in i mainstream. I slutet av 1970-talet William Thurstons hyperboliseringsteorem teorin om hyperboliska 3-grenrör i knutteorin och gjorde den av största vikt. 1982 fick Thurston en Fields-medalj, den högsta utmärkelsen inom matematik, till stor del på grund av detta genombrott. Thurstons arbete ledde också, efter mycket expansion av andra, till effektiv användning av verktyg från representationsteori och algebraisk geometri . Viktiga resultat följde, inklusive Gordon-Lueckes teorem , som visade att knutar bestämdes (upp till spegelreflektion) av deras komplement, och Smiths gissning .

Intresset för knutteori från den allmänna matematiska gemenskapen växte avsevärt efter Vaughan Jones upptäckt av Jones-polynomet 1984. Detta ledde till andra knutpolynom som parentespolynomet , HOMFLY-polynomet och Kauffman-polynomet . Jones tilldelades Fields-medaljen 1990 för detta arbete. 1988 Edward Witten ett nytt ramverk för Jones-polynomet, med användning av befintliga idéer från matematisk fysik , såsom Feynman-vägintegraler , och introducerade nya begrepp som topologisk kvantfältteori ( Witten 1989 . Witten fick också Fields-medaljen, 1990, delvis för detta arbete. Wittens beskrivning av Jones-polynomet antydde relaterade invarianter för 3-grenrör . Samtidiga, men olika, tillvägagångssätt av andra matematiker resulterade i Witten–Reshetikhin–Turaev-invarianter och olika så kallade " kvantinvarianter ", som verkar vara den matematiskt rigorösa versionen av Wittens invarianter ( Turaev 1994 ) . På 1980-talet John Horton Conway en procedur för att lösa upp knutar som gradvis kallas Conway-notation .

1992 grundades Journal of Knot Theory and Its Ramifications, och etablerade en tidskrift som enbart ägnas åt knutteori.

upptäcktes knutinvarianter som omfattar Jones-polynomet och dess generaliseringar, kallade finita typinvarianter , av Vassiliev och Goussarov . Dessa invarianter, som ursprungligen beskrevs med "klassiska" topologiska medel, visades av 1994 Fields Medalist Maxim Kontsevich vara resultatet av integration , med hjälp av Kontsevich integralen , av vissa algebraiska strukturer ( Kontsevich 1993 . Natan 1995 ).

Dessa genombrott följdes av upptäckten av Khovanov homologi och knut Floer homologi , som kraftigt generaliserar Jones och Alexander polynomen. Dessa homologiteorier har bidragit till ytterligare mainstreaming av knutteorin.

Under de senaste decennierna av 1900-talet började forskare och matematiker hitta tillämpningar av knutteori på problem inom biologi och kemi . Knutteori kan användas för att avgöra om en molekyl är kiral (har en "handedness") eller inte. Kemiska föreningar med olika egenskaper kan ha drastiskt olika egenskaper, talidomid är ett anmärkningsvärt exempel på detta. Mer allmänt har knutteoretiska metoder använts för att studera topoisomerer , topologiskt olika arrangemang av samma kemiska formel. Den närbesläktade teorin om tovor har effektivt använts för att studera verkan av vissa enzymer på DNA. Det tvärvetenskapliga området fysikalisk knutteori undersöker matematiska modeller av knutar baserade på fysiska överväganden för att förstå knutningsfenomen som uppstår i material som DNA eller polymerer.

Inom fysiken har det visat sig att vissa hypotetiska kvasipartiklar som nonabeliska anyoner uppvisar användbara topologiska egenskaper, nämligen att deras kvanttillstånd lämnas oförändrade av omgivande isotopi av deras världslinjer . Förhoppningen är att de kan användas för att göra en kvantdator resistent mot dekoherens . Eftersom världslinjerna bildar en matematisk flätning används flätteori , ett relaterat fält till knutteori , för att studera egenskaperna hos en sådan dator, som kallas en topologisk kvantdator .

Se även

  • Kvantknutar

Anteckningar

externa länkar

  • Thomson, Sir William (Lord Kelvin), On Vortex Atoms , Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Vol. VI, 1867, s. 94–105.
  • Silliman, Robert H., William Thomson: Smoke Rings and Nineteenth-Century Atomism , Isis, Vol. 54, nr 4. (dec., 1963), s. 461–474. JSTOR länk
  • Film av en modern rekreation av Taits rökringexperiment
  • Knutarnas historia
Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=History_of_knot_theory&oldid=1141386533 "