Gordon-Lueckes teorem
Inom matematiken säger Gordon -Lueckes sats om knutkomplement att om komplementen till två tama knutar är homeomorfa, då är knutarna ekvivalenta. I synnerhet måste all homeomorfism mellan knutkomplement ta en meridian till en meridian.
Satsen brukar anges som "knutar bestäms av deras komplement"; detta är dock något tvetydigt eftersom det anser att två knutar är likvärdiga om det finns en självhomeomorfism som tar den ena knuten till den andra. Därmed försummas spegelbilder. Ofta anses två knop vara likvärdiga om de är isotopiska . Den korrekta versionen i detta fall är att om två knutar har komplement som är orienteringsbevarande homeomorfa, så är de isotopiska.
Dessa resultat följer av följande (även kallat Gordon-Luecke-satsen): ingen icke-trivial Dehn-operation på en icke-trivial knut i 3-sfären kan ge 3-sfären .
Teoremet bevisades av Cameron Gordon och John Luecke . Väsentliga ingredienser i beviset är deras gemensamma arbete med Marc Culler och Peter Shalen om satsen för cyklisk kirurgi , kombinatoriska tekniker i stil med Litherland, tunn position och Scharlemann-cykler.
För länkkomplement är det faktiskt inte sant att länkar bestäms av deras komplement. Till exempel JHC Whitehead att det finns oändligt många länkar vars komplement alla är homeomorfa till Whitehead-länken . Hans konstruktion är att vrida sig längs en skiva som spänner över en oknuten komponent (som är fallet för båda komponenterna i Whitehead-länken). En annan metod är att vrida längs en ring som spänner över två komponenter. Gordon bevisade att för den klass av länkar där dessa två konstruktioner inte är möjliga finns det ändligt många länkar i denna klass med ett givet komplement.
- Cameron Gordon och John Luecke, Knots bestäms av deras komplement . J. Amer. Matematik. Soc. 2 (1989), nr. 2, 371-415.
- Cameron Gordon, Links och deras komplement. Topologi och geometri: till minne av SISTAG, 71–82, Contemp. Math., 314, Amer. Matematik. Soc., Providence, RI, 2002.