Smith gissningar
Inom matematiken säger Smiths gissning att om f är en diffeomorfism av 3-sfären av ändlig ordning , då kan fixpunktsuppsättningen av f inte vara en icke-trivial knut .
Paul A. Smith ( 1939 , anmärkning efter sats 4) visade att en icke-trivial orienteringsbevarande diffeomorfism av finit ordning med fixpunkter måste ha en fixpunkt som är lika med en cirkel, och frågade i ( Eilenberg 1949 , Uppgift 36) om fixpunktsuppsättningen kunde knytas. Friedhelm Waldhausen ( 1969 ) bevisade Smiths gissning för det speciella fallet med diffeomorfismer av ordning 2 (och därmed vilken som helst jämn ordning). Beviset för det allmänna fallet beskrevs av John Morgan och Hyman Bass ( 1984 ) och berodde på flera stora framsteg inom 3-manifold -teorin, i synnerhet William Thurstons arbete om hyperboliska strukturer på 3-manifold, och resultat av William Meeks och Shing-Tung Yau på minimala ytor i 3-grenrör, med lite extra hjälp från Bass, Cameron Gordon , Peter Shalen och Rick Litherland.
Deane Montgomery och Leo Zippin ( 1954 ) gav ett exempel på en kontinuerlig involution av 3-sfären vars fixpunktsuppsättning är en vilt inbäddad cirkel, så Smith-förmodan är falsk i den topologiska (snarare än den jämna eller PL) kategorin. Charles Giffen ( 1966 ) visade att analogen till Smiths gissning i högre dimensioner är falsk: fixpunktsuppsättningen av en periodisk diffeomorfism av en sfär med dimensionen minst 4 kan vara en knuten sfär av kodimension 2.
Se även
- Eilenberg, Samuel (1949), "On the Problems of Topology", Annals of Mathematics , Second Series, 50 (2): 247–260, doi : 10.2307/1969448 , ISSN 0003-486X , JSTOR 19698448 , 301MR 900
- Giffen, Charles H. (1966), "The generalized Smith conjecture", American Journal of Mathematics , 88 (1): 187–198, doi : 10.2307/2373054 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 237305194 , MR 4620
- Montgomery, Deane ; Zippin, Leo (1954), "Exempel på transformationsgrupper", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 ( 3): 460–465, doi : 10.2307/2031959 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2031959 , 244MR 60 06
- Morgan, John W .; Bass, Hyman , red. (1984), The Smith conjecture , Pure and Applied Mathematics, vol. 112, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-506980-9 , MR 0758459
- Smith, Paul A. (1939), "Transformations of finite period. II", Annals of Mathematics , Second Series, 40 (3): 690–711, Bibcode : 1939AnMat..40..690S , doi : 10.2307/1968950 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968950 , MR 0000177
- Waldhausen, Friedhelm (1969), "Über Involutionen der 3-Sphäre" , Topology , 8 : 81–91, doi : 10.1016/0040-9383(69)90033-0 , ISSN 0040-93023 , MR 1691