Hesse-konfiguration
Inom geometri är Hesse-konfigurationen , introducerad av Colin Maclaurin och studerad av Hesse ( 1844 ), en konfiguration av 9 punkter och 12 linjer med tre punkter per linje och fyra linjer genom varje punkt. Det kan realiseras i det komplexa projektiva planet som uppsättningen av inflexionspunkter för en elliptisk kurva , men det har ingen realisering i det euklidiska planet .
Beskrivning
Hessen-konfigurationen har samma infallsrelationer som linjerna och punkterna i det affina planet över fältet av 3 element . Det vill säga, punkterna i Hesse-konfigurationen kan identifieras med ordnade talpar modulo 3, och linjerna i konfigurationen kan på motsvarande sätt identifieras med trippelpunkterna ( x , y ) som uppfyller en linjär ekvation ax + by = c ( mod 3) . Alternativt kan punkterna i konfigurationen identifieras av kvadraterna på en tick-tac-toe- bräda, och linjerna kan identifieras med linjerna och brutna diagonaler på brädan.
Varje punkt tillhör fyra linjer: i tick tac toe-tolkningen av konfigurationen är en linje horisontell, en vertikal och två är diagonaler eller brutna diagonaler. Varje rad innehåller tre punkter. På konfigurationsspråket konfigurationen notationen 9 4 12 3 , vilket betyder att det finns 9 punkter, 4 linjer per punkt, 12 linjer och 3 punkter per linje.
Hesse-konfigurationen har 216 symmetrier (dess automorfismgrupp har ordning 216). Gruppen av dess symmetri är känd som den hessiska gruppen .
Relaterade konfigurationer
Att ta bort en punkt och dess fyra infallslinjer från Hesse-konfigurationen ger en annan konfiguration av typ 8 3 8 3 , Möbius -Kantor-konfigurationen .
I Hessen-konfigurationen kan de 12 linjerna grupperas i fyra trippel av parallella (icke-korsande) linjer. Att ta bort de tre linjerna som tillhör en enda trippel från Hesse-konfigurationen ger en konfiguration av typ 9 3 9 3 , Pappus -konfigurationen .
Hessen-konfigurationen kan i sin tur utökas genom att lägga till fyra punkter, en för varje trippel av icke-korsande linjer, och en linje som innehåller de fyra nya punkterna, för att bilda en konfiguration av typen 13 4 13 4 , uppsättningen punkter och linjer av det projektiva planet över treelementsfältet.
Realiserbarhet
Hesse-konfigurationen kan realiseras i det komplexa projektiva planet som de 9 inflexionspunkterna i en elliptisk kurva och de 12 linjerna genom trippel av inflexionspunkter. Om en given uppsättning av nio punkter i det komplexa planet är uppsättningen av böjningar av en elliptisk kurva C , är det också uppsättningen av böjningar för varje kurva i en penna av kurvor som genereras av C och av den hessiska kurvan för C , Hessen penna .
Den hessiska polyedern är en representation av Hessen-konfigurationen i det komplexa planet.
Hessen-konfigurationen delar med Möbius-Kantor-konfigurationen egenskapen att ha en komplex realisering men inte realiserbar med punkter och raka linjer i det euklidiska planet . I Hessen-konfigurationen är varannan punkt sammankopplad med en linje i konfigurationen (den definierande egenskapen för Sylvester-Gallai-konfigurationerna ) och därför innehåller varje linje genom två av dess punkter en tredje punkt. Men i det euklidiska planet är varje ändlig uppsättning punkter antingen kolinjär eller inkluderar ett par punkter vars linje inte innehåller några andra punkter i mängden; detta är Sylvester–Gallais sats . Eftersom Hessen-konfigurationen inte lyder Sylvester-Gallais sats, har den ingen euklidisk insikt. Detta exempel visar också att Sylvester–Gallais sats inte kan generaliseras till det komplexa projektiva planet. Men i komplexa utrymmen måste Hesse-konfigurationen och alla Sylvester-Gallai-konfigurationer ligga inom ett tvådimensionellt platt underrum.