Kummer-konfiguration
Inom geometri är Kummer -konfigurationen , uppkallad efter Ernst Kummer , en geometrisk konfiguration av 16 punkter och 16 plan så att varje punkt ligger på 6 av planen och varje plan innehåller 6 av punkterna. Vidare faller varje par av punkter med exakt två plan, och vartannat plan skär varandra i exakt två punkter. Konfigurationen är därför en biplan , närmare bestämt en 2−(16,6,2) design. De 16 noderna och 16 troperna på en Kummer-yta bildar en Kummer-konfiguration.
Det finns tre olika icke-isomorfa sätt att välja 16 olika 6-set från 16 element som uppfyller ovanstående egenskaper, det vill säga att bilda ett biplan. Den mest symmetriska av de tre är Kummer-konfigurationen, även kallad "det bästa biplanet" på 16 punkter.
Konstruktion
Följ metoden från Jordan (1869), men se även Assmus och Sardi (1981), arrangera de 16 punkterna (säg siffrorna 1 till 16) i ett 4x4-rutnät. För varje element i tur och ordning, ta de 3 andra punkterna i samma rad och de 3 andra punkterna i samma kolumn och kombinera dem till en 6-set. Detta skapar ett 6-elementsblock för varje punkt.
Betrakta två punkter på samma rad eller kolumn. Det finns två andra punkter i den raden eller kolumnen som visas i blocken för båda startpunkterna, därför skär dessa block i två punkter. Tänk nu på två punkter som inte finns i samma rad eller kolumn. Deras motsvarande block skär varandra i två punkter som bildar en rektangel med de två startpunkterna. Således skär alla block i två punkter. Genom att undersöka blocken som motsvarar dessa skärningspunkter ser man att två valfria startpunkter finns i två block.
Automorfismer
Det finns exakt 11520 permutationer av de 16 punkterna som ger samma block tillbaka. Dessutom, utbyte av blocketiketter med punktetiketter ger ytterligare en automorfism av storlek 2, vilket resulterar i 23040 automorfismer.