Cremona–Richmond-konfiguration

Cremona-Richmond-konfigurationen

I matematik är Cremona-Richmond-konfigurationen en konfiguration av 15 linjer och 15 punkter, med 3 punkter på varje linje och 3 linjer genom varje punkt, och innehåller inga trianglar. Den studerades av Cremona ( 1877 ) och Richmond ( 1900 ). Det är en generaliserad fyrkant med parametrar (2,2). Dess Levi-graf är Tutte-Coxeter-grafen .

Symmetri

Punkterna i Cremona–Richmond-konfigurationen kan identifieras med $15={\tbinom {6}{2}}$ oordnade elementpar i en sex-elementuppsättning; dessa par kallas duads . På liknande sätt kan linjerna i konfigurationen identifieras med de 15 sätten att dela upp samma sex element i tre par; dessa partitioner kallas synthemes . Identifierad på detta sätt faller en punkt i konfigurationen mot en linje i konfigurationen om och endast om duaden som motsvarar punkten är ett av de tre paren i syntesen som motsvarar linjen.

Den symmetriska gruppen av alla permutationer av de sex elementen som ligger till grund för detta system av duader och syntemer fungerar som en symmetrigrupp av Cremona-Richmond-konfigurationen och ger konfigurationens automorfismgrupp . Varje flagga i konfigurationen (ett infallande punktlinjepar) kan tas till varannan flagga genom en symmetri i denna grupp.

Cremona-Richmond-konfigurationen är självdubbel : det är möjligt att byta poäng mot linjer samtidigt som alla förekomster av konfigurationen bevaras. Denna dualitet ger Tutte-Coxeter-grafen ytterligare symmetrier utöver de för Cremona-Richmond-konfigurationen, som byter ut de två sidorna av dess bipartition. Dessa symmetrier motsvarar de yttre automorfismerna hos den symmetriska gruppen på sex element.

Insikt

Alla sex punkter i allmän position i det fyrdimensionella rymden bestämmer 15 punkter där en linje genom två av punkterna skär hyperplanet genom de andra fyra punkterna; sålunda motsvarar duaderna av de sex poängen en-mot-en med dessa 15 härledda poäng. Alla tre duader som tillsammans bildar en syntes bestämmer en linje, skärningslinjen för de tre hyperplanen innehåller två av de tre duaderna i syntesen, och denna linje innehåller var och en av punkterna som härleds från dess tre duader. Således överensstämmer duaderna och synteserna i den abstrakta konfigurationen en-för-en, på ett infallsbevarande sätt, med dessa 15 punkter och 15 linjer härledda från de ursprungliga sex punkterna, som bildar en realisering av konfigurationen. Samma insikt kan projiceras in i det euklidiska rummet eller det euklidiska planet.

Cremona–Richmond-konfigurationen har också en enparametersfamilj av realiseringar i planet med cyklisk symmetri av ordningsföljd fem.

Historia

Ludwig Schläfli ( 1858 , 1863 ) hittade kubiska ytor som innehöll uppsättningar av 15 reella linjer (komplementära till en Schläfli dubbelsexa i uppsättningen av alla 27 linjer på en kubisk) och 15 tangentplan, med tre linjer i varje plan och tre plan genom varje plan linje. Att skära dessa linjer och plan med ett annat plan resulterar i en 15 ₃ 15 ₃ -konfiguration. Det specifika infallsmönstret för Schläflis linjer och plan publicerades senare av Luigi Cremona ( 1868 ). Observationen att den resulterande konfigurationen inte innehåller några trianglar gjordes av Martinetti (1886) , och samma konfiguration förekommer också i Herbert William Richmonds ( 1900 ) arbete . Visconti (1916) hittade en beskrivning av konfigurationen som en självskriven polygon. HF Baker använde den fyrdimensionella realiseringen av denna konfiguration som frontispice för två volymer av sin lärobok 1922–1925, Principles of Geometry . Zacharias (1951) återupptäckte också samma konfiguration och fann en förverkligande av den med cyklisk symmetri i ordningsföljd fem.

Namnet på konfigurationen kommer från studierna av den av Cremona ( 1868 , 1877 ) och Richmond (1900) ; kanske på grund av vissa misstag i hans arbete föll Martinettis samtida bidrag i dunkel.

Anteckningar

•   Boben, M.; Pisanski, T. (2003), "Polycyclic configurations" (PDF) , European Journal of Combinatorics , 24 (4): 431–457, doi : 10.1016/S0195-6698(03)00031-3 , MR 1975946
•   Boben, Marko; Grünbaum, Branko ; Pisanski, Tomaž ; Žitnik, Arjana (2006), "Små triangelfria konfigurationer av punkter och linjer" (PDF) , Discrete and Computational Geometry , 35 (3): 405–427, doi : 10.1007/s00454-005-1224-20 , 1MR 1224-02 0 .
•   Coxeter, HSM (1950), "Self-dual configurations and regular graphs", Bulletin of the American Mathematical Society , 56 : 413–455, doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 , MR 800 .
•   Coxeter, HSM (1958), "Tolv poäng i PG(5,3) med 95040 självförvandlingar", Proceedings of the Royal Society A , 247 ( 1250): 279–293, doi : 10.1098/rspa.1958.0184 1006 , J7STOR 1006 .
• Cremona, L. (1868), "Mémoire de géométrie pure sur les surfaces du troisieme ordre", J. Reine Angew. Matematik. , 68 : 1–133 . Som citeras av Boben et al. (2006) .
• Cremona, L. (1877), Teoremi stereometrici dal quali si deducono le proprietà dell' esagrammo di Pascal , Atti della R. Accademia dei Lincei, vol. 1
•    Grünbaum, Branko (2009), Konfigurationer av punkter och linjer , Graduate Studies in Mathematics , vol. 103, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4308-6 , MR 2510707
• Martinetti, V. (1886), "Sopra alcune configurazioni piane", Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 2, 14 (1): 161–192, doi : 10.1007/BF02420733 .
• Richmond, HW (1900), "På figuren med sex punkter i rymden av fyra dimensioner." , Quart. J. , 31 :125-160
• Schläfli, L. (1858), "Ett försök att bestämma de tjugosju linjerna på en yta av tredje ordningen och att dela in sådana ytor i arter med hänvisning till verkligheten av linjerna på ytan", Quart . J. Pure Appl. Matematik. , 2 : 55–65, 110–120 .
• Schläfli, L. (1863), "Om fördelningen av ytor av tredje ordningen i arter, med hänvisning till frånvaron eller närvaron av singulara punkter, och verkligheten av deras linjer" , Philosophical Transactions of the Royal Society , 153 : 193 –241, doi : 10.1098/rstl.1863.0010 .
• Sylvester, JJ (1844), "Elementära undersökningar i analysen av kombinatorisk aggregering" (PDF) , Fil. Mag. , Serie 3, 24 : 285–295, doi : 10.1080/147864444408644856 .
• Visconti, E. (1916), "Sulle configurazioni piane atrigone", Giornale di Matemache di Battaglini , 54 : 27–41 . Som citeras av Boben et al. (2006) .
• ( 1951), "Streifzüge im Reich der Konfigurationen: Eine Reyesche Konfiguration (15 ₃ ), Stern- und Kettenkonfigurationen", Mathematische Nachrichten , 5 : 329–345, doi : 10.1002/mana.19510050600 4,4MR 702   .

externa länkar

• Weisstein, Eric W. , "Cremona–Richmond Configuration" , MathWorld
• Bild av Cremona–Richmond-konfiguration
• Bild av Cremona–Richmond-konfiguration