Schläfli dubbelsexa
Inom geometri är Schläfli dubbelsexan en konfiguration av 30 punkter och 12 linjer i tredimensionell euklidisk rymd , introducerad av Ludwig Schläfli 1858. Linjerna i konfigurationen kan delas upp i två delmängder om sex linjer: varje linje är osammanhängande från ( skeva med ) linjerna i sin egen delmängd av sex linjer, och skär alla utom en av linjerna i den andra delmängden av sex linjer. Var och en av de 12 linjerna i konfigurationen innehåller fem skärningspunkter, och var och en av dessa 30 skärningspunkter tillhör exakt två linjer, en från varje delmängd, så i notationen av konfigurationer skrivs Schläfli-dubbelsexan 30 2 12 5 .
Konstruktion
Som Schläfli visade kan den dubbla sexan konstrueras av vilka fem linjer som helst a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , som alla skärs av en gemensam linje b 6 , men som annars är i allmän position (i synnerhet, vardera två rader a i och a j ska vara snedställda , och inga fyra av raderna a i ska ligga på en gemensam härdad yta ). För var och en av de fem linjerna ai har den komplementära uppsättningen av fyra av de fem linjerna två kvadrisekanter : b 6 och en andra linje bi . De fem linjerna b 1 , b 2 , b 3 , b 4 och b 5 som bildas på detta sätt skärs alla i sin tur av en annan linje, a 6 . De tolv linjerna a i och b i bildar en dubbelsexa: varje linje a i har en skärningspunkt med fem av de andra linjerna, linjerna b j för vilka i ≠ j , och vice versa.
En alternativ konstruktion, som visas i illustrationen, är att placera tolv linjer genom de sex mittpunkterna för en kub , var och en i dess plan och alla gör samma vinklar med avseende på kubens kanter. När den väl är konstruerad på något av dessa sätt kan den dubbla sexan projiceras in i planet och bilda ett tvådimensionellt system av punkter och linjer med samma infallsmönster.
Relaterade objekt
En generisk kubisk yta innehåller 27 rader, bland vilka kan hittas 36 Schläfli dubbel sex konfigurationer. Det kan vara nödvändigt att använda komplexa talkoordinater för att representera alla dessa linjer; kubiska ytor kan ha färre än 27 linjer över de reella talen . I varje sådan uppsättning av 27 linjer har de 15 linjerna som är komplementära till en dubbelsexa, tillsammans med de 15 tangentplanen genom trippel av dessa linjer, infallsmönstret av en annan konfiguration, Cremona-Richmond- konfigurationen .
Skärningsgrafen för de tolv linjerna i konfigurationen med dubbla sex är en krongraf med tolv vertex, en tvådelad graf där varje vertex ligger intill fem av de sex hörnen i den motsatta färgen. Levi -grafen för dubbelsexan kan erhållas genom att ersätta varje kant på krongrafen med en tvåkantsbana. Skärningsgrafen för hela uppsättningen av 27 linjer på en kubisk yta är komplementet till Schläfli-grafen .
Anteckningar
- Benedetti, Bruno; Di Marca, Michela; Varbaro, Matteo (2018), "Regularity of line configurations", Journal of Pure and Applied Algebra , 222 (9): 2596–2608, doi : 10.1016/j.jpaa.2017.10.009 , MR 3783008
- Brouwer, AE; Cohen, AM; Neumaier, A. (1989), "Chapter 1: Special Regular Graphs", Distance-regular graphs , Results in Mathematics and Related Areas, vol. 18, Berlin: Springer-Verlag, s. 1–42, doi : 10.1007/978-3-642-74341-2_1 , ISBN 3-540-50619-5 , MR 1002568
- Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), "III.25: Schläfli's Double-Six", Geometry and the Imagination (2:a uppl.), New York: Chelsea, s. 164–170, ISBN 978-0-8284-1087- 8
- Schläfli, Ludwig (1858), Cayley, Arthur (red.), "Ett försök att bestämma de tjugosju linjerna på en yta av tredje ordningen, och att härleda sådana ytor i arter, med hänvisning till verkligheten av linjerna på ytan" , Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 2 : 55–65, 110–120
- Stokes, Klara; Bras-Amorós, Maria (2014), "Mönster i semigrupper associerade med kombinatoriska konfigurationer", i Izquierdo, Milagros; Broughton, S. Allen; Costa, Antonio F.; Rodríguez, Rubí E. (red.), Riemann and Klein Surfaces, Automorphisms, Symmetries and Moduli Spaces: Proceedings of the Conference in Honor of Emilio Bujalance on Riemann and Klein Surfaces, Symmetries and Moduli Spaces som hölls vid Linköpings universitet, Linköping, 24 juni –28, 2013 , Contemporary Mathematics, vol. 629, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 323–333, doi : 10.1090/conm/629/12583 , MR 3289650