Klein konfiguration

Inom geometri är Klein-konfigurationen , studerad av Klein ( 1870 ), en geometrisk konfiguration relaterad till Kummer-ytor som består av 60 punkter och 60 plan, där varje punkt ligger på 15 plan och varje plan passerar genom 15 punkter. Konfigurationerna använder 15 par linjer, 12 . 13 . 14 . 15 . 16 . 23 . 24 . 25 . 26 . 34 . 35 . 36 . 45 . 46 . 56 och deras baksidor. De 60 punkterna är tre samtidiga linjer som bildar en udda permutation, som visas nedan. De sextio planen är 3 koplanära linjer som bildar jämna permutationer, erhållna genom att vända om de två sista siffrorna i punkterna. För varje punkt eller plan finns det 15 medlemmar i den andra uppsättningen som innehåller dessa 3 linjer. [Hudson, 1905]

12-34-65	12-43-56	21-34-56	21-43-65	12-35-46	12-53-64
21-35-64	21-53-46	12-36-54	12-63-45	21-36-45	21-63-54
13-24-56	13-42-65	31-24-65	31-42-56	13-25-64	13-52-46
31-25-46	31-52-64	13-26-45	13-62-54	31-26-54	31-62-45
14-23-65	14-32-56	41-23-56	41-32-65	14-25-36	14-52-63
41-25-63	41-52-36	14-26-53	14-62-35	41-26-35	41-62-53
15-23-46	15-32-64	51-23-64	51-32-46	15-24-63	15-42-36
51-24-36	51-42-63	15-26-34	15-62-43	51-26-43	51-62-34
16-23-54	16-32-45	61-23-45	61-32-54	16-24-35	16-42-53
61-24-53	61-42-35	16-25-43	16-52-34	61-25-34	61-52-43

Koordinater för punkter och plan

En möjlig uppsättning koordinater för punkter (och även för plan!) är följande:

P 1 =[0:0:1:1]	P 11 =[0:1:-1:0]	P 21 =[1:1:0:0]	P 31 =[1:1:-1:1]	P 41 =[1:-1: i : i ]	P 51 =[1:- i :-1: i ]
P 2 =[0:0:1: i ]	P 12 =[0:1:- i :0]	P 22 =[1: i :0:0]	P 32 =[1:1:-1:-1]	P 42 =[1:-1: i :- i ]	P 52 =[1:- i :-1:- i ]
P 3 =[0:0:1:-1]	P 13 =[1:0:0:1]	P 23 =[1:-1:0:0]	P 33 =[1:-1:1:1]	P 43 =[1:-1:- i : i ]	P 53 =[1: i : i :1]
P 4 =[0:0:1:- i ]	P 14 =[1:0:0: i ]	P 24 =[1:- i :0:0]	P 34 =[1:-1:1:-1]	P 44 =[1:-1:- i :- i ]	P 54 =[1: i :- i :1]
P 5 =[0:1:0:1]	P 15 =[1:0:0:-1]	P 25 =[1:0:0:0]	P 35 =[1:-1:-1:1]	P 45 =[1: i :1: i ]	P 55 =[1:- i : i :1]
P 6 =[0:1:0: i ]	P 16 =[1:0:0:- i ]	P 26 =[0:1:0:0]	P 36 =[1:-1:-1:-1]	P 46 =[1: i :1:- i ]	P 56 =[1:- i :- i :1]
P 7 =[0:1:0:-1]	P 17 =[1:0:1:0]	P 27 =[0:0:1:0]	P 37 =[1:1: i : i ]	P 47 =[1:- i :1: i ]	P 57 =[1: i : i :-1]
P 8 =[0:1:0:- i ]	P 18 =[1:0: i :0]	P 28 =[0:0:0:1]	P 38 =[1:1:- i : i ]	P 48 =[1:- i :1:- i ]	P 58 =[1: i :- i :-1]
P 9 =[0:1:1:0]	P 19 =[1:0:-1:0]	P 29 =[1:1:1:1]	P 39 =[1:1: i :- i ]	P 49 =[1: i :-1: i ]	P 59 =[1:- i : i :-1]
P 10 =[0:1: i :0]	P 20 =[1:0:- i :0]	P 30 =[1:1:1:-1]	P 40 =[1:1:- i :- i ]	P 50 =[1: i :-1:- i ]	P 60 =[1:- i :- i :-1]

•    Hudson, RWHT (1990) [1905], "§25. Klein's 60 ₁₅ configuration" , Kummer's quartic surface , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , s. 42–44, ISBN 978-0-521-39790-2 , MR 1097176
•    Klein, Felix (1870), "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades" , Mathematische Annalen , Springer Berlin / Heidelberg, 2 (2): 198–226, doi : 10.1007 /BF01444020 , IS58 0011-7025 , IS58 0011-7025 7025
• Pokora, Piotr; Szemberg, Tomasz; Szpond, Justyna (2020). "Oväntade egenskaper hos Klein-konfigurationen med 60 poäng i P3". arXiv : 2010.08863 [ math.AG ]. Men i originaltidningen är P43-koordinaterna felaktiga.