Pappus konfiguration
I geometri är Pappus -konfigurationen en konfiguration av nio pekar och nio linjer i det euklidiska planet , med tre pekar per linje och tre linjer genom varje peka.
Historia och konstruktion
Denna konfiguration är uppkallad efter Pappus av Alexandria . Pappus hexagonsats säger att varannan trippel av kolinjära punkter ABC och abc (av vilka ingen ligger i skärningspunkten mellan de två linjerna) kan kompletteras för att bilda en Pappus-konfiguration genom att addera de sex linjerna Ab , aB , Ac , aC , Bc , och bC , och deras tre skärningspunkter X = Ab · aB , Y = Ac · aC , och Z = Bc · bC . Dessa tre punkter är skärningspunkterna för de "motstående" sidorna av hexagonen AbCaBc . Enligt Pappus sats har det resulterande systemet med nio punkter och åtta linjer alltid en nionde linje som innehåller de tre skärningspunkterna X , Y , och Z , kallad Pappus-linjen .
Pappus-konfigurationen kan också härledas från två trianglar XcC och YbB som är i perspektiv med varandra (de tre linjerna genom motsvarande par av punkter möts vid en enda korsningspunkt) på tre olika sätt, tillsammans med deras tre perspektivcentrum Z , a , och A . Konfigurationens punkter är punkterna i trianglarna och perspektivcentrum, och linjerna i konfigurationen är linjerna genom motsvarande par av punkter.
Relaterade konstruktioner
Levi -grafen för Pappus-konfigurationen är känd som Pappus-grafen . Det är en tvådelad symmetrisk kubisk graf med 18 hörn och 27 kanter.
Desargues -konfigurationen kan också definieras i termer av perspektivtrianglar, och Reye-konfigurationen kan definieras analogt från två tetraedrar som är i perspektiv med varandra på fyra olika sätt, och bildar ett desmiskt system av tetraedrar.
För varje icke-singulär kubisk plankurva i det euklidiska planet, tre reella inflexionspunkter på kurvan och en fjärde punkt på kurvan, finns det ett unikt sätt att komplettera dessa fyra punkter för att bilda en Pappus-konfiguration på ett sådant sätt att alla nio punkter ligga på kurvan.
Ansökningar
En variant av Pappus-konfigurationen ger en lösning på problemet med fruktodlingsplantering , problemet med att hitta uppsättningar av punkter som har största möjliga antal linjer genom tre punkter. De nio punkterna i Pappus-konfigurationen bildar bara nio trepunktslinjer. De kan dock ordnas så att det finns ytterligare en trepunktslinje, vilket gör totalt tio. Detta är det högsta möjliga antalet trepunktslinjer genom nio punkter.