Trasig diagonal

I rekreationsmatematik och teorin om magiska kvadrater är en bruten diagonal en uppsättning av n celler som bildar två parallella diagonala linjer i kvadraten. Alternativt kan dessa två linjer ses som att de sveper sig runt kvadratens gränser för att bilda en enda sekvens.

I pandiagonala magiska rutor

En magisk kvadrat där de brutna diagonalerna har samma summa som raderna, kolumnerna och diagonalerna kallas en pandiagonal magisk kvadrat .

Exempel på brutna diagonaler från talkvadraten i bilden är följande: 3,12,14,5; 10,1,7,16; 10,13,7,4; 15,8,2,9; 15,12,2,5; och 6,13,11,4.

Det faktum att denna kvadrat är en pandiagonal magisk kvadrat kan verifieras genom att kontrollera att alla dess brutna diagonaler summerar till samma konstant:

3+12+14+5 = 34

10+1+7+16 = 34

10+13+7+4 = 34

Ett sätt att visualisera en bruten diagonal är att föreställa sig en "spökbild" av den panmagiska torget som gränsar till originalet:

Uppsättningen med siffror {3, 12, 14, 5} i en bruten diagonal, lindad runt den ursprungliga kvadraten, kan ses som börjar med den första kvadraten i spökbilden och rör sig ner till vänster.

I linjär algebra

Brutna diagonaler används i en formel för att hitta determinanten för 3 gånger 3 matriser .

För en 3 × 3 matris A är dess determinant

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\ Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{ vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}\\[3pt]&=a\,{\begin {vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{ vmatrix}}\\[3pt]&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}

Här är $bfg,cdh,bdi,$ och $afh$ (produkter av elementen i) matrisens brutna diagonaler.

Brutna diagonaler används vid beräkningen av determinanterna för alla matriser med storlek 3 × 3 eller större. Detta kan visas genom att använda matrisens minor för att beräkna determinanten.