Affint plan (infallsgeometri)

Inom geometri är ett affint plan ett system av punkter och linjer som uppfyller följande axiom:

Alla två distinkta punkter ligger på en unik linje.
Givet vilken linje som helst och vilken punkt som helst som inte ligger på den linjen finns det en unik linje som innehåller punkten och som inte möter den givna linjen. ( Playfairs axiom )
Det finns tre icke-kollinjära punkter (punkter som inte ligger på en enda linje).

I ett affint plan kallas två linjer parallella om de är lika eller osammanhängande . Med denna definition kan Playfairs axiom ovan ersättas med:

Givet en punkt och en linje finns det en unik linje som innehåller punkten och är parallell med linjen.

Parallelism är en ekvivalensrelation på linjerna i ett affint plan.

Eftersom inga andra begrepp än de som involverar förhållandet mellan punkter och linjer är involverade i axiomen, är ett affint plan ett studieobjekt som hör till incidensgeometrin . De är icke-degenererade linjära utrymmen som uppfyller Playfairs axiom.

Det välbekanta euklidiska planet är ett affint plan. Det finns många ändliga och oändliga affina plan. Förutom affina plan över fält (och divisionsringar ), finns det också många icke-Desarguesian plan , som inte härrör från koordinater i en divisionsring, som uppfyller dessa axiom. Moultonplanet är ett exempel på en av dessa .

Finita affina plan

Affint ordningsplan 3 9 punkter, 12 linjer

Om antalet punkter i ett affint plan är ändligt, så om en linje i planet innehåller $n$ punkter då:

varje rad innehåller $n$ punkter,
varje punkt ingår i $n + 1$ rader,
det finns $n 2$ poäng totalt, och
det finns totalt $n 2 + n$ rader.

Talet $n$ kallas ordningen för det affina planet.

Alla kända ändliga affina plan har ordningar som är primtal eller primtal. Det minsta affina planet (av ordning 2) erhålls genom att ta bort en linje och de tre punkterna på den linjen från Fano-planet . En liknande konstruktion, utgående från det projektiva planet av ordning 3, producerar det affina planet av ordning 3 som ibland kallas Hesse-konfigurationen . Ett affint ordningsplan $n$ existerar om och endast om ett projektivt ordningsplan n $existerar$ (dock är definitionen av ordning inte densamma i dessa två fall). Således finns det inget affint plan av ordning 6 eller ordning 10 eftersom det inte finns några projektiva plan av dessa ordningsföljder. Bruck -Ryser-Chowla-satsen ger ytterligare begränsningar för ordningen för ett projektivt plan, och därmed ordningen för ett affint plan.

De $n 2 + n$ linjerna i ett affint ordningsplan $n$ faller in i $n + 1$ ekvivalensklasser med $n$ linjer vardera under parallellismens ekvivalensrelation. Dessa klasser kallas parallella klasser av linjer. Linjerna i valfri parallellklass bildar en partition av punkterna i det affina planet. Var och en av de $n + 1$ linjerna som går genom en enda punkt ligger i en annan parallellklass.

Den parallella klassstrukturen för ett affint plan av ordning $n$ kan användas för att konstruera en uppsättning av $n -1$ ömsesidigt ortogonala latinska kvadrater . Endast incidensrelationerna behövs för denna konstruktion.

Relation med projektiva plan

Ett affint plan kan erhållas från vilket projektivt plan som helst genom att ta bort en linje och alla punkter på den, och omvänt kan vilket affinplan som helst användas för att konstruera ett projektivt plan genom att lägga till en linje i oändligheten , vars punkter är den punkten i oändligheten . där en ekvivalensklass av parallella linjer möts.

Om det projektiva planet är icke-Desarguesian , kan avlägsnandet av olika linjer resultera i icke-isomorfa affina plan. Till exempel finns det exakt fyra projektiva plan av ordning nio och sju affina plan av ordning nio. Det finns bara ett affint plan som motsvarar det desarguesianska planet av ordning nio eftersom kollineringsgruppen för det projektiva planet verkar transitivt på planets linjer. Vart och ett av de tre icke-desarguesiska planen av ordning nio har kollineringsgrupper som har två banor på linjerna, vilket ger två icke-isomorfa affina plan av ordning nio, beroende på vilken bana linjen som ska tas bort väljs från.

Affina översättningsplan

En linje $l$ i ett projektivt plan $Π$ är en translationslinje om gruppen av elationer med axeln $l$ verkar transitivt på punkterna i det affina planet som erhålls genom att ta bort $l$ från planet $Π$ . Ett projektivt plan med en translationslinje kallas ett translationsplan och det affina planet som erhålls genom att ta bort translationslinjen kallas ett affint translationsplan . Även om det i allmänhet ofta är lättare att arbeta med projektiva plan, föredras i detta sammanhang de affina planen och flera författare använder helt enkelt termen översättningsplan för att betyda affint översättningsplan.

En alternativ vy av affina translationsplan kan erhållas enligt följande: Låt $V$ vara ett $2 n$ -dimensionellt vektorrum över ett fält $F$ . En spridning av $V$ är en uppsättning $S$ av $n$ -dimensionella delrum av $V$ som delar upp vektorerna för $V som inte är noll$ . Medlemmarna av $S$ kallas spridningens komponenter och om $V i$ och $Vj .$ är distinkta komponenter så är $V i \oplus V j = V$ Låt $A$ vara infallsstrukturen vars punkter är vektorerna för $V$ och vars linjer är komponenternas sammansättningar, det vill säga mängder av formen $v + U$ där $v$ är en vektor av $V$ och $U$ är en komponent av spridningen $S$ . Sedan:

A

är ett affint plan och gruppen av translationer

x \to x + w

för en vektor

w

är en automorfismgrupp som verkar regelbundet på punkterna i detta plan.

Generalisering: $k$ -nät

En mer generell infallsstruktur än ett ändligt affint plan är ett $k$ - nät av ordningen $n$ . Detta består av $n 2$ punkter och $nk$ linjer så att:

Parallelism (enligt definitionen i affina plan) är en ekvivalensrelation på uppsättningen linjer.
Varje linje har exakt $n$ punkter, och varje parallell klass har $n$ linjer (så varje parallell klass av linjer delar upp punktuppsättningen).
Det finns $k$ parallella klasser av linjer. Varje punkt ligger på exakt $k$ linjer, en från varje parallellklass.

Ett $(n + 1)$ -netto av ordningen $n$ är just ett affint plan av ordningen $n$ .

Ett $k$ - net av ordningen $n$ är ekvivalent med en uppsättning $k - 2$ ömsesidigt ortogonala latinska kvadrater av ordningen $n$ .

Exempel: översättningsnät

För ett godtyckligt fält $F$ , låt $Σ$ vara en uppsättning av $n$ -dimensionella delrymder av vektorrymden $F 2 n$ , varav två vilka som helst skär endast i {0} (kallas en partiell spridning ). Medlemmarna av $Σ$ , och deras bisatser i $F 2 n$ , bildar linjerna i ett translationsnät på punkterna i $F 2 n$ . Om $| Σ | = k$ detta är ett $k$ -netto av ordningen $| F n |$ . Från och med ett affint översättningsplan kommer vilken delmängd som helst av parallellklasserna att bilda ett översättningsnät.

Givet ett översättningsnät är det inte alltid möjligt att lägga till parallella klasser till nätet för att bilda ett affint plan. Men om $F$ är ett oändligt fält, kan varje partiell spridning $Σ$ med färre än $| F |$ medlemmar kan utökas och översättningsnätet kan kompletteras till ett affint översättningsplan.

Geometriska koder

Givet "linje/punkt" -incidensmatrisen för vilken finit infallsstruktur , $M$ , och vilket fält som helst , $F är$ radutrymmet för $M$ över $F$ en linjär kod som vi kan beteckna med $C = C F (M)$ . En annan relaterad kod som innehåller information om incidensstrukturen är Hull of $C$ som definieras som:

\operatorname {Hull} (C)=C\cap C^{\perp },

där $C ⊥$ är den ortogonala koden till $C$ .

Det går inte att säga så mycket om dessa koder på denna generella nivå, men om incidensstrukturen har någon "regelbundenhet" kan koderna som produceras på detta sätt analyseras och information om koderna och incidensstrukturerna kan hämtas från varandra. När infallsstrukturen är ett ändligt affint plan, tillhör koderna en klass av koder som kallas geometriska koder . Hur mycket information koden bär om det affina planet beror delvis på valet av fält. Om fältets karaktäristik inte delar ordningen på planet, är den genererade koden hela utrymmet och innehåller ingen information. Å andra sidan,

Om $π$ är ett affint plan av ordningen $n$ och $F$ är ett fält med karakteristiken $p$ , där $p$ delar $n , då$ är minimivikten för koden $B = Hull(C F (π)) ⊥$ $n$ och alla miniviktsvektorerna är konstanta multiplar av vektorer vars poster är antingen noll eller en.

Dessutom,

Om $π$ är ett affint plan av ordningen $p$ och $F$ är ett fält med karakteristisk $p$ , då är $C = Hull(C F (π)) ⊥$ och minimiviktsvektorerna är exakt skalära multiplar av (incidensvektorerna av) linjerna för $π$ .

När $π = AG(2, q)$ är den genererade geometriska koden $q$ -ary Reed-Muller Code .

Affina utrymmen

Affina utrymmen kan definieras på ett analogt sätt som konstruktionen av affina plan från projektiva plan. Det är också möjligt att tillhandahålla ett system av axiom för de högre dimensionella affina utrymmena som inte hänvisar till motsvarande projektiva utrymme .

Anteckningar

Assmus, EF Jr.; Key, JD (1992), Designs and their Codes , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
Cameron, Peter J. (1991), Projective and Polar Spaces , QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
Hartshorne, R. (2000), Geometry: Euclid and Beyond , Springer, ISBN 0387986502
Hughes, D.; Piper, F. (1973), Projective Planes , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Lenz, H. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik , Berlin: Deutscher Verlag d. Wiss.
Moorhouse, Eric (2007), Incidensgeometri (PDF)

Vidare läsning

Casse, Rey (2006), Projective Geometry: An Introduction , Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries , Berlin: Springer Verlag
Kárteszi, F. (1976), Introduction to Finite Geometries , Amsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
Lindner, Charles C.; Rodger, Christopher A. (1997), Design Theory , CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlin: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9