Grünbaum–Rigby-konfiguration

Grünbaum-Rigby-konfigurationen

Inom geometri är Grünbaum-Rigby-konfigurationen en symmetrisk konfiguration som består av 21 punkter och 21 linjer, med fyra punkter på varje linje och fyra linjer genom varje punkt. Ursprungligen studerad av Felix Klein i det komplexa projektiva planet i samband med Klein-kvartalet , realiserades det först i det euklidiska planet av Branko Grünbaum och John F. Rigby .

Historia och notation

Grünbaum-Rigby-konfigurationen var känd för Felix Klein , William Burnside och HSM Coxeter . Dess ursprungliga beskrivning av Klein 1879 markerade det första framträdandet i den matematiska litteraturen av en 4-konfiguration, ett system av punkter och linjer med fyra punkter per linje och fyra linjer per punkt. I Kleins beskrivning tillhör dessa pekar och linjer det komplexa projektiva planet , ett utrymme vars koordinater är komplexa tal snarare än de reella koordinaterna för det euklidiska planet.

Den geometriska realiseringen av denna konfiguration som punkter och linjer i det euklidiska planet , baserat på överlagring av tre regelbundna heptagram , etablerades först mycket senare, av Branko Grünbaum och JF Rigby ( 1990 ). Deras papper om det blev det första i en serie verk om konfigurationer av Grünbaum, och innehöll den första publicerade grafiska avbildningen av en 4-konfiguration.

I notationen av konfigurationer betecknas konfigurationer med 21 punkter, 21 linjer, 4 punkter per linje och 4 linjer per punkt (21 ₄ ). Notationen anger dock inte själva konfigurationen, bara dess typ (antal punkter, linjer och incidenser). Den specificerar inte heller om konfigurationen är rent kombinatorisk (ett abstrakt infallsmönster av linjer och punkter) eller om punkterna och linjerna i konfigurationen är realiserbara i det euklidiska planet eller annan standardgeometri. Typen (21 ₄ ) är mycket tvetydig: det finns ett okänt men stort antal (kombinatoriska) konfigurationer av denna typ, av vilka 200 listades av Di Paola & Gropp (1989) .

Konstruktion

Grünbaum-Rigby-konfigurationen kan konstrueras från de sju punkterna i en vanlig sjuhörn och dess 14 inre diagonaler. För att slutföra de 21 punkterna och linjerna i konfigurationen måste dessa utökas med ytterligare 14 punkter och ytterligare sju linjer. De återstående 14 punkterna i konfigurationen är de punkter där par av lika långa diagonaler av heptagonen korsar varandra. Dessa bildar två mindre heptagoner, en för var och en av de två diagonallängderna; sidorna av dessa mindre heptagoner är diagonalerna för den yttre heptagonen. Var och en av de två mindre heptagonerna har 14 diagonaler, varav sju delas med den andra mindre heptagonen. De sju delade diagonalerna är de återstående sju linjerna i konfigurationen.

Den ursprungliga konstruktionen av Grünbaum-Rigby-konfigurationen av Klein såg dess punkter och linjer som tillhörande det komplexa projektiva planet , snarare än det euklidiska planet. I detta utrymme bildar punkterna och linjerna perspektivcentrum och axlar för perspektivomvandlingarna av Klein -kvartiken . De har samma mönster av punktlinjeskärningar som den euklidiska versionen av konfigurationen.

Det finita projektiva planet $PG(2,7)$ har 57 punkter och 57 linjer, och kan ges koordinater baserat på heltal modulo 7. I detta utrymme, varje konisk $C$ (uppsättningen lösningar till en kvadratisk ekvation med två variabler modulo 7) har 28 sekantlinjer genom par av sina punkter, 8 tangentlinjer genom en enda punkt och 21 icke-sekantlinjer som är disjunkta från $C$ . Dubbelt finns det 28 punkter där par av tangentlinjer möts, 8 punkter på $C$ och 21 inre punkter som inte hör till någon tangentlinje. De 21 nonsecantlinjerna och 21 inre punkterna utgör en instans av Grünbaum-Rigby-konfigurationen, vilket betyder att återigen dessa punkter och linjer har samma mönster av skärningspunkter.

Egenskaper

Den projektiva dualen av denna konfiguration, ett system av punkter och linjer med en punkt för varje linje i konfigurationen och en linje för varje punkt, och med samma punktlinjeinfall, är samma konfiguration. Symmetrigruppen för konfigurationen inkluderar symmetrier som tar vilket som helst infallande par av punkter och linjer till vilket annat infallande par som helst . Grünbaum-Rigby-konfigurationen är ett exempel på en polycyklisk konfiguration, det vill säga en konfiguration med cyklisk symmetri , så att varje bana av pekar eller linjer har samma antal element.

Anteckningar

•    Boben, Marko; Pisanski, Tomaž (2003), "Polycyclic configurations", European Journal of Combinatorics , 24 (4): 431–457, doi : 10.1016/S0195-6698(03)00031-3 , ISSN 0195-64698 7 , 59MR 6698 7
•   Burnside, W. (1907), "Om den hessiska konfigurationen och dess samband med gruppen av 360 plankollinationer" , Proceedings of the London Mathematical Society , Second Series, 4 : 54–71, doi : 10.1112/plms/s2-4.1 .54 , MR 1576105
•   Coxeter, HSM (1983), "My graph", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 46 (1): 117–136, doi : 10.1112/plms/s3-46.1.117 , MR 0684825
•   Di Paola, Jane W.; Gropp, Harald (1989), "Hyperboliska grafer från hyperboliska plan", Congressus Numerantium , 68 : 23–43, MR 0995852 . Som citeras av Grünbaum (2009) .
•    Grünbaum, Branko (2009), Konfigurationer av punkter och linjer , Graduate Studies in Mathematics , vol. 103, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/103 , ISBN 978-0-8218-4308-6 , MR 2510707
•   Grünbaum, Branko ; Rigby, JF (1990), "The real configuration (21 ₄ )", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 41 (2): 336–346, doi : 10.1112/jlms/s2-41.2.336 , MR 1067273
• Klein, Felix (1879), "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" , Mathematische Annalen , 14 (3): 428–471, doi : 10.1007/BF01677143 . Översatt till engelska av Silvio Levy som   Klein, Felix (1999), "On the order-seven transformation of elliptic functions", The Eightfold Way , Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 35, Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press, s. 287–331, MR 1722419