Incidens (geometri)

Inom geometri är en incidensrelation en heterogen relation som fångar idén som uttrycks när fraser som "en punkt ligger på en linje" eller "en linje finns i ett plan" används. Den mest grundläggande incidensrelationen är den mellan en punkt, $P$ , och en linje, $l$ , ibland betecknad $P I l$ . Om $P I l$ kallas paret $(P, l)$ en flagga . Det finns många uttryck som används i vanligt språk för att beskriva incidens (till exempel går en linje genom en punkt, en punkt ligger i ett plan, etc.) men termen "incidens" är att föredra eftersom det inte har de extra konnotationer som dessa andra termer har, och det kan användas på ett symmetriskt sätt. Påståenden som "linje $l 1$ skär linje $l 2$ " är också påståenden om incidensrelationer, men i det här fallet beror det på att detta är ett kortfattat sätt att säga att "det finns en punkt $P$ som är infallande med både linje $l 1$ och rad $l 2$ ". När en typ av objekt kan ses som en uppsättning av den andra typen av objekt ( dvs. ett plan är en uppsättning punkter) så kan en incidensrelation ses som inneslutning .

Påståenden som "alla två linjer i ett plan möts" kallas incidensförslag . Detta särskilda uttalande är sant i ett projektivt plan , men inte sant i det euklidiska planet där linjer kan vara parallella . Historiskt projektiv geometri utvecklats för att göra förekomsten sanna utan undantag, såsom de som orsakas av förekomsten av paralleller. Ur syntetisk geometris synvinkel bör projektiv geometri utvecklas med hjälp av sådana propositioner som axiom . Detta är mest betydelsefullt för projektiva plan på grund av den universella giltigheten av Desargues sats i högre dimensioner.

Däremot är den analytiska metoden att definiera projektivt utrymme baserat på linjär algebra och använda homogena koordinater . Propositionerna om incidens härleds från följande grundläggande resultat på vektorrum : givet delrum $U$ och $W$ i ett (ändligt dimensionellt) vektorrum $V$ , är dimensionen för deras skärningspunkt $dim U + dim W - dim (U + W)$ . Med tanke på att den geometriska dimensionen av det projektiva utrymmet $P (V)$ som är associerat med $V$ är $svagt V - 1$ och att den geometriska dimensionen för varje delrum är positiv, kan det grundläggande förslaget om incidens i denna inställning ha formen: linjära delrum $L$ och $M$ av projektivt utrymme $P$ möter förutsatt $dim L + dim \geq dim P.$ M

Följande sektioner är begränsade till projektiva plan definierade över fält , ofta betecknade med $PG(2, F)$ , där $F$ är ett fält, eller $P 2 F$ . Dessa beräkningar kan emellertid naturligt utökas till högre dimensionella projektiva utrymmen, och fältet kan ersättas av en divisionsring (eller skevfält) förutsatt att man uppmärksammar det faktum att multiplikation inte är kommutativ i så fall.

$PG(2, F)$

Låt $V$ vara det tredimensionella vektorutrymmet definierat över fältet $F$ . Det projektiva planet $P (V) = PG(2, F)$ består av de endimensionella vektordelrymden av $V$ , kallade punkter , och de tvådimensionella vektordelrymden av $V$ , kallade linjer . Förekomsten av en punkt och en linje ges genom inneslutning av det endimensionella delrummet i det tvådimensionella delrummet.

Fixa en grund för $V$ så att vi kan beskriva dess vektorer som koordinattrippel (med hänsyn till den basen). Ett endimensionellt vektorunderrum består av en vektor som inte är noll och alla dess skalära multipler. Skalära multipler som inte är noll, skrivna som koordinattrippel, är de homogena koordinaterna för den givna punkten, kallade punktkoordinater . Med hänsyn till denna bas, lösningsutrymmet för en enkel linjär ekvation { $(x, y, z) | ax + by + cz = 0$ } är ett tvådimensionellt delrum av $V$ , och därmed en linje av $P (V)$ . Denna linje kan betecknas med linjekoordinater $[a, b, c]$ , som också är homogena koordinater eftersom skalära multipler som inte är noll skulle ge samma linje. Andra notationer används också i stor utsträckning. Punktkoordinater kan skrivas som kolumnvektorer, $(x, y, z)$ ^T , med kolon, $(x : y : z)$ , eller med en nedsänkt, $(x, y, z) P$ . På motsvarande sätt kan linjekoordinater skrivas som radvektorer, $(a, b, c)$ , med kolon, $[a : b : c]$ eller med en nedsänkt, $(a, b, c) L$ . Andra varianter är också möjliga.

Incidens uttryckt algebraiskt

Givet en punkt $P = (x, y, z)$ och en linje $l = [a, b, c]$ , skriven i termer av punkt- och linjekoordinater, är punkten infallande med linjen (skrivs ofta som $P I l$ ), om och endast om,

ax + by + cz = 0

.

Detta kan uttryckas i andra notationer som:

ax+by+ cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P}=

=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a ,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.

Oavsett vilken notation som används, när de homogena koordinaterna för punkten och linjen bara betraktas som ordnade trippel, uttrycks deras incidens som att deras punktprodukt är lika med 0.

Linjeinfallen med ett par distinkta punkter

Låt $P 1$ och $P 2$ vara ett par distinkta punkter med homogena koordinater $(x 1, y 1, z 1)$ respektive $(x 2, y 2, z 2)$ . Dessa punkter bestämmer en unik linje $l$ med en ekvation av formen $ax + by + cz = 0$ och måste uppfylla ekvationerna:

ax 1 + by 1 + cz 1 = 0

och

ax 2 + by 2 + cz 2 = 0

.

I matrisform kan detta system av samtidiga linjära ekvationer uttryckas som:

\left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right ).

Detta system har en icke-trivial lösning om och endast om determinanten ,

\left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}} \right|=0.

Expansion av denna determinantekvation ger en homogen linjär ekvation, som måste vara ekvationen för linje $l$ . Därför har vi upp till en gemensam icke-noll konstant faktor $l = [a, b, c]$ där:

x1y2 - x2y1 . a = y1z2 - y2z1 och c

,

= b = x2z1 - x1z2_____

_

___________

_

När det gäller den skalära trippelproduktnotationen för vektorer kan ekvationen för denna linje skrivas som:

P \cdot P 1 \times P 2 = 0

,

där $P = (x, y, z)$ är en generisk punkt.

Kolinearitet

Punkter som faller samman med samma linje sägs vara kolinjära . Mängden av alla punkter som faller på samma linje kallas ett avstånd .

Om $P 1 = (x 1, y 1, z 1), P 2 = (x 2, y 2, z 2)$ och $P 3 = (x 3, y 3, z 3)$ , då är dessa punkter kolinjära om och bara om

\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3} &z_{3}\end{matrix}}\right|=0,

dvs om och endast om determinanten för de homogena koordinaterna för punkterna är lika med noll.

Skärning av ett par linjer

Låt $l 1 = [a 1, b 1, c 1]$ och $l 2 = [a 2, b 2, c 2]$ vara ett par distinkta linjer. Då är skärningspunkten mellan linjerna $l 1$ och $l 2$ punkt a $000 P = (x, y, z)$ som är den samtidiga lösningen (upp till en skalär faktor) av systemet med linjära ekvationer:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0

och

a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0

.

Lösningen av detta system ger:

0 x = b 1 c 2 - b 2 c 1

,

0 y = a 2 c 1 - a 1 c 2

och

0 z = a 1 b 2 - a 2 b 1

.

Alternativt kan du betrakta en annan linje $l = [a, b, c]$ som går genom punkten $P$ , det vill säga att de homogena koordinaterna för $P$ uppfyller ekvationen:

ax + by + cz = 0

.

Genom att kombinera denna ekvation med de två som definierar $P$ , kan vi söka en icke-trivial lösning av matrisekvationen:

\left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right) \left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right ).

En sådan lösning finns förutsatt att determinanten,

\left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}} \right|=0.

Koefficienterna för $a, b$ och $c$ i denna ekvation ger de homogena koordinaterna för $P$ .

Ekvationen för den generiska linjen som går genom punkten $P$ i skalär trippelproduktnotation är:

l \cdot l 1 \times l 2 = 0

.

Samstämmighet

Linjer som möts vid samma punkt sägs vara samtidiga . Uppsättningen av alla linjer i ett plan som faller in med samma punkt kallas en penna av linjer centrerade vid den punkten. Beräkningen av skärningspunkten mellan två linjer visar att hela blyertspennan med linjer centrerade i en punkt bestäms av två av de linjer som skär varandra vid den punkten. Det följer omedelbart att det algebraiska villkoret för att tre linjer, $[a 1, b 1, c 1], [a 2, b 2, c 2], [a 3, b 3, c 3]$ ska vara samtidiga är att determinanten ,

\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3 }&c_{3}\end{matrix}}\right|=0.

Se även

Harold L. Dorwart (1966) The Geometry of Incident , Prentice Hall .

Incidensstrukturer
Representation	Incidensmatris Incidensgraf
Fält	Kombinatorik Blockdesign Steiner-systemet Geometri Frekvens Projektivt plan Grafteori Hypergraf Statistikblockering _
Konfigurationer	Komplett fyrkant Fano plan Möbius–Kantors konfiguration Pappus konfiguration Hesse-konfiguration Desargues konfiguration Reye-konfiguration Schläfli dubbelsexa Cremona–Richmond-konfiguration Kummer-konfiguration Grünbaum–Rigby-konfiguration Klein konfiguration Dubbel
Satser	Sylvester–Gallais sats De Bruijn–Erdős sats Szemerédi–Trotters teorem Becks teorem Bruck–Ryser–Chowla-satsen
Ansökningar	Design av experiment Kirkmans skolflickproblem