Sylvester–Gallai-konfiguration

I geometri består en Sylvester-Gallai-konfiguration av en ändlig delmängd av punkterna i ett projektivt utrymme med egenskapen att linjen genom två av punkterna i delmängden också passerar genom åtminstone en annan punkt i delmängden.

Istället för att definiera Sylvester–Gallai-konfigurationer som delmängder av punkterna i ett projektivt utrymme, kan de definieras som abstrakta infallsstrukturer av punkter och linjer, som uppfyller egenskaperna att strukturen för varje par av punkter inkluderar exakt en linje som innehåller paret och att varje rad innehåller minst tre punkter. I denna mer allmänna form kallas de också Sylvester–Gallai-designer . Ett närbesläktat koncept är en Sylvester matroid , en matroid med samma egenskap som en Sylvester-Gallai-konfiguration som inte har några tvåpunktslinjer.

Verklig och komplex inbäddningsbarhet

I det euklidiska planet , det verkliga projektiva planet , högredimensionella euklidiska rum eller verkliga projektiva rum, eller rum med koordinater i ett ordnat fält , visar Sylvester–Gallais sats att de enda möjliga Sylvester–Gallais konfigurationer är endimensionella: de består av av tre eller flera kolinjära punkter. Jean-Pierre Serre ( 1966 ) inspirerades av detta faktum och av exemplet med Hesse-konfigurationen att fråga sig om, i utrymmen med komplexa talkoordinater, varje Sylvester-Gallai-konfiguration som mest är tvådimensionell. Erdős (1980) upprepade frågan. Kelly (1986) svarade jakande på Serres fråga; Elkies, Pretorius & Swanepoel (2006) förenklade Kellys bevis och bevisade analogt att i utrymmen med quaternion -koordinater måste alla Sylvester-Gallai-konfigurationer ligga inom ett tredimensionellt delrum.

Projektiva konfigurationer

Motzkin (1951) studerade de projektiva konfigurationerna som också är Sylvester-Gallai-konfigurationer; en projektiv konfiguration har det ytterligare kravet att varannan punkt har lika många linjer genom dem och varannan rad innehåller lika många punkter. Sylvester–Gallai-konfigurationerna inkluderar till exempel de affina och projektiva utrymmena av vilken dimension som helst definierad över ändliga fält, och dessa är alla också projektiva konfigurationer.

  Varje projektiv konfiguration kan ges en notation ( p _a ℓ _b ), där p är antalet punkter, ℓ antalet linjer, a antalet linjer per punkt och b antalet punkter per linje, vilket uppfyller ekvationen pa = ℓb. _ Motzkin observerade att, för att dessa parametrar ska definiera en Sylvester–Gallai-design, är det nödvändigt att b > 2, att p < ℓ (för alla uppsättningar av icke-kollinjära punkter i ett projektivt utrymme bestämmer minst lika många linjer som punkter) och att de också följer tilläggsekvationen

${\binom {p}{2}}={\binom {b}{2}}\ell .$

För, den vänstra sidan av ekvationen är antalet par av punkter, och den högra sidan är antalet par som täcks av linjer i konfigurationen.

Sylvester–Gallai-konstruktioner som också är projektiva konfigurationer är samma sak som Steiner-system med parametrarna ST(2, b , p ).

Motzkin listade flera exempel på små konfigurationer av denna typ:

• 7 ₃ 7 ₃ , parametrarna för Fano-planet , det projektiva planet över ett fält av två element.
• 9 ₄ 12 ₃ , parametrarna för Hesse-konfigurationen . Detta är det affina planet över ett fält med tre element, och kan också realiseras med komplexa talkoordinater, som uppsättningen av inflexionspunkter för en elliptisk kurva .
• 13 ₄ 13 ₄ , parametrarna för det projektiva planet över ett treelementsfält.
• 13 ₆ 26 ₃ , parametrarna för de två 13-element Steiner trippelsystemen .
• 15 ₇ 35 ₃ , parametrarna för ett tredimensionellt projektivt utrymme över ett tvåelementsfält och för 79 andra Steiner-trippelsystem
• 16 ₅ 20 ₄ , parametrarna för det affina planet över ett fyrelementsfält.
• 21 ₅ 21 ₅ , parametrarna för det projektiva planet över ett fyrelementsfält.
• 25 ₆ 30 ₅ , parametrarna för det affina planet över ett femelementsfält.

Boros, Füredi & Kelly (1989) och Bokowski & Richter-Gebert (1992) studerade alternativa geometriska representationer av Sylvester–Gallai-design, där designens punkter representeras av sneda linjer i det fyrdimensionella rummet och varje linje i designen. representeras av ett hyperplan. Både sjupunkts- och 13-punktsplanen har representationer av denna typ.

Andra exempel

Kelly & Nwankpa (1973) klassificerade mer generellt alla icke-kollinjära Sylvester–Gallai-konfigurationer och Sylvester–Gallai-designer över högst 14 poäng. De inkluderar en unik design med tio punkter; i den finns vissa punkter i tre fyrapunktslinjer medan andra punkter tillhör tre trepunktslinjer och en fyrapunktslinje. Det finns också en unik 11-punkts Sylvester–Gallai-design, två olika 12-punktsdesigner och fyra oregelbundna 13-punktsdesigner. För 14 poäng fann de att det återigen bara fanns en möjlig Sylvester–Gallai-design.

•   Bokowski, Jürgen; Richter-Gebert, Jürgen (1992), "En ny Sylvester-Gallai-konfiguration som representerar det 13-punktsprojektiva planet i R ⁴ ", Journal of Combinatorial Theory , Series B, 54 (1): 161–165, doi : 10.1016/0095 -8956(92)90075-9 , MR 1142273 .
•   Boros, Endre; Füredi, Zoltán ; Kelly, LM (1989), "On representing Sylvester-Gallai designs", Discrete and Computational Geometry , 4 (4): 345–348, doi : 10.1007/BF02187735 , MR 0996767 .
•    Elkies, Noam ; Pretorius, Lou M.; Swanepoel, Konrad J. (2006), "Sylvester–Gallais satser för komplexa tal och kvaternioner", Discrete and Computational Geometry , 35 (3): 361–373, arXiv : math/0403023 , doi : 10.105072/s. -7 , MR 2202107 , S2CID 1647360 .
•   Erdős, P. (1980), "Några kombinationsproblem i geometri", Geometry and differential geometri (Proc. Conf., Univ. Haifa, Haifa, 1979) (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 792, Berlin: Springer, s. 46–53, doi : 10.1007/BFb0088660 , MR 0585852 .
• Kelly, LM (1986), "A resolution of the Sylvester–Gallai problem of JP Serre", Discrete and Computational Geometry , 1 (2): 101–104, doi : 10.1007/BF02187687 .
•   Kelly, LM ; Nwankpa, S. (1973), "Affine embeddings of Sylvester-Gallai designs", Journal of Combinatorial Theory , Series A, 14 (3): 422–438, doi : 10.1016/0097-3165(73)90014-9 , MR 0314656
•   Motzkin, Th. (1951), "The lines and planes connecting the points of a finite set", Transactions of the American Mathematical Society , 70 (3): 451–464, doi : 10.1090/S0002-9947-1951-0041447-9 , MR 47 004144 .
•   Serre, Jean-Pierre (1966), "Advanced problem 5359", Advanced Problems: 5350-5359, American Mathematical Monthly , 73 (1): 89, doi : 10.2307/2313941 , JSTOR 2313941