Hesse penna

Inom matematik är den syzygetiska pennan eller Hesse-pennan , uppkallad efter Otto Hesse , en penna (endimensionell familj) av kubiska plan elliptiska kurvor i det komplexa projektiva planet , definierat av ekvationen

$\lambda (x^{3}+y^{3}+z^{3})+\mu xyz=0.$

Varje kurva i familjen bestäms av ett par parametervärden ( $\lambda ,\mu$ ) (inte båda noll) och består av punkterna i planet vars homogena koordinater $(x,y,z)$ uppfyller ekvationen för dessa parametrar. Att multiplicera både $\lambda$ och $\mu$ med samma skalär ändrar inte kurvan, så det finns bara en frihetsgrad i att välja en kurva från pennan, men den tvåparametersform som ges ovan tillåter att antingen $\lambda$ eller $\mu$ (men inte båda) sätts till noll.

Varje kurva i pennan passerar genom de nio punkterna i det komplexa projektiva planet vars homogena koordinater är någon permutation av 0, –1 och en kubrot av enhet . Det finns tre rötter av enhet och sex permutationer per rot, vilket ger 18 val för de homogena koordinaterna för varje punkt, men de är ekvivalenta i par och ger bara nio poäng. Familjen av kubiker bildar genom dessa nio punkter Hesse-pennan. Mer generellt kan man ersätta de komplexa talen med vilket fält som helst som innehåller en kubikrot av enhet och definiera Hesse-pennan över detta fält till att vara familjen av kubik genom dessa nio punkter.

De nio vanliga punkterna för Hesse-pennan är böjningspunkterna för var och en av kuberna i pennan. Varje linje som går genom minst två av dessa nio punkter passerar genom exakt tre av dem; de nio pekar och tolv linjer genom trippel av punkter bildar Hessen-konfigurationen .

Varje elliptisk kurva är birationellt ekvivalent med en kurva för Hesse-pennan; detta är den hessiska formen av en elliptisk kurva . Parametrarna ( $\lambda ,\mu$ ) för den hessiska formen kan dock tillhöra ett förlängningsfält av definitionsfältet för den ursprungliga kurvan.

•    Artebani, Michela; Dolgachev, Igor (2009), "The Hesse pencil of plane cubic curves", L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv : math/0611590 , doi : 10.4171/lem/55-35 3 , ISSN 0013-8584 , MR 2583779
• Grove, Charles Clayton (1906), Den syzygetiska pennan av kubik med en ny geometrisk utveckling av dess Hesse Group, Baltimore, Md.