Representationsteori för SU(2)

I studiet av representationsteorin för Lie-grupper är studiet av representationer av SU(2) grundläggande för studiet av representationer av semisimpla Lie-grupper . Det är det första fallet av en Lie-grupp som är både en kompakt grupp och en icke-abelisk grupp . Det första villkoret antyder att representationsteorin är diskret: representationer är direkta summor av en samling grundläggande irreducerbara representationer (styrs av Peter-Weyl-teoremet) . Det andra betyder att det kommer att finnas irreducerbara representationer i dimensioner större än 1.

SU(2) är den universella täckande gruppen av SO(3) , så dess representationsteori inkluderar den för den senare, tack vare en surjektiv homomorfism till den. Detta ligger till grund för betydelsen av SU(2) för beskrivningen av icke-relativistisk spinn i teoretisk fysik ; se nedan för andra fysiska och historiska sammanhang.

Som visas nedan, indexeras de änddimensionella irreducerbara representationerna av SU(2) med ett icke-negativt heltal $m$ och har dimensionen $m+1$ . I fysiklitteraturen är representationerna märkta med kvantiteten $l=m/2$ , där $l$ då är antingen ett heltal eller ett halvheltal, och dimensionen är $2l+1$ .

Lie algebra representationer

Se även: Speciell linjär Lie-algebra § Representationsteori

Representationerna av gruppen hittas genom att betrakta representationer av ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} ,$ Lie- algebra för SU(2) . Eftersom gruppen SU(2) helt enkelt är ansluten, kan varje representation av dess Lie-algebra integreras till en grupprepresentation; vi kommer att ge en explicit konstruktion av representationerna på gruppnivå nedan.

Verkliga och komplexiserade Lie-algebror

Den verkliga Lie-algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ har en grund som ges av

$u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}} ,\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}},\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&~~0\\0& -i\end{bmatrix}}~,$

(Dessa basmatriser är relaterade till Pauli-matriserna med $-i\ \sigma _{2}\;,}$$u_{1}=+i\ \sigma _{1}\;,\,u_ {2$$u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.$ och )

Matriserna är en representation av kvaternionerna :

$u_{1}\,u_{1}=-I\,,~~\quad u_{2 }\,u_{2}=-I\,,~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,,$

$u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,,\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1 }\,,\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,,$

$u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,,\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,,\quad u_{1}\ ,u_{3}=-u_{2}~.$

där I är den konventionella 2×2 identitetsmatrisen: $~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~.$

Följaktligen uppfyller matrisernas kommutatorparenteser

$[u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,,\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,,\quad [u_{3} ,u_{1}]=2u_{2}~.$

Det är då bekvämt att gå över till den komplexiserade Lie-algebra

$\mathrm {su} (2)+i\,\mathrm {su} (2)=\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )~.$

(Skeva självadjoinerande matriser med spår noll plus självadjoinerande matriser med spår noll ger alla matriser med spår noll.) Så länge vi arbetar med representationer över $\mathbb {C}$ denna passage från verklig till komplexiserad Lögnalgebra är ofarligt. Anledningen till att man går över till komplexifieringen är att den tillåter oss att konstruera en fin grund av en typ som inte finns i den verkliga Lie-algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ .

Den komplexiserade Lie-algebra spänns av tre element $X$ , $Y$ och $H$ , givet av

$H={\frac {1}{i}}u_{3},\qquad X={\frac {1}{2i}}\left(u_{1}-iu_{2}\right), \qquad Y={\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2})~;$

eller, uttryckligen,

$H={\begin{bmatrix}1&~~0\\0&-1\end{bmatrix}},\qquad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\qquad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.$

Den icke-triviala/icke-identiska delen av gruppens multiplikationstabell är

$H\,X~=~~~~X,\qquad H\,Y~=-Y,\qquad X\,Y~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I+H\right),$

$X\,H~=-X,\qquad Y\,H~=~~~~Y,\qquad Y\,X~=~{\tfrac {1}{2}}\left(IH\ höger),$

$H\,H~=~~~I~,\qquad X\,X~=~~~~O,\qquad Y\,Y~=~~O~~;$

där O är matrisen 2×2 helt noll. Därför är deras kommuteringsförhållanden

$[H,X]=2\,X\,,\qquad [H,Y]=-2\,Y\,,\qquad [X,Y]=H~.$

Upp till en faktor 2 kan elementen $H$ , $X$ och $Y$ identifieras med rörelsemängdsoperatorerna $J_{z}$ , $J_{+}$ , respektive $J_{-}$ . Faktorn 2 är en diskrepans mellan konventioner inom matematik och fysik; vi kommer att försöka nämna båda konventionerna i resultaten som följer.

Vikter och representationens struktur

hänvisas till egenvärdena för ${\displaystyle H} som$ representationens vikter . Följande elementära resultat är ett nyckelsteg i analysen. Antag att $v$ är en egenvektor för $H$ med egenvärde $\;\alpha \;;$ det vill säga att $\;H\,v=\alpha \,v~.$ Sedan

${\begin{aligned}H\,(X\,v)~=~(\,X\,H+[H,X]\,)\,v~&=~(\alpha +2)\ ,X\,v\;,\\[3pt]H\,(Y\,v)~=~(\,Y\,H+\,[H,Y]\,)\,v~&=~( \alpha -2)\,Y\,v~.\end{aligned}}$

Med andra ord, $\,X\,v\,$ är antingen nollvektorn eller en egenvektor för $\,H\,$ med egenvärde $\,\alpha + 2\,$ och $\,Y\,v\,$ är antingen noll eller en egenvektor för $\,H\,$ med egenvärde $\,\alpha -2~.$ Således fungerar operatorn $\,X\,$ som en höjande operator , vilket ökar vikten med 2, medan $\,Y\,$ fungerar som sänkningsoperatör .

Antag nu att $\,V\,$ är en irreducerbar, finitdimensionell representation av den komplexiserade Lie-algebra. Då $\,H\,$ bara ha ändligt många egenvärden. I synnerhet måste det finnas något slutligt egenvärde $\;\lambda \in \mathbb {C} \;$ med egenskapen att $\,\lambda +2\,$ inte är ett egenvärde. Låt $\,v_{0}\,$ vara en egenvektor för $\,H\,$ med det egenvärdet $\,\lambda \;:$

$H\,v_{0}=\lambda \,v_{0}\;,$

då måste vi ha

$X\,v_{0}=0\;,$

annars skulle ovanstående identitet berätta att $\,X\,v_{0}\,$ är en egenvektor med egenvärde $\,\lambda +2\;.$

Definiera nu en "kedja" av vektorer $v_{0},v_{1},\ldots$ med

$v_{k}=Y^{k}\,v_{0}$ .

Ett enkelt argument genom induktion visar då det

$X\,v_{k}=k\,(\lambda -(k-1))\,v_{k-1}$

för alla $k=1,2,\ldots ~.$ Nu, om $\,v_{k}\,$ inte är nollvektorn, är det en egenvektor för $H$ med egenvärde $\,\lambda -2k~.$ Eftersom återigen $\,H\,$ bara har ändligt många egenvektorer, drar vi slutsatsen att $\,v_{\ell }\,$ måste vara noll för vissa $\,\ell \,$ (och sedan $v_{k}=0$ för alla $\,k>\ell \,$ ) .

Låt $v_{m}$ vara den sista vektorn som inte är noll i kedjan; det vill säga $\;v_{m}\neq 0\;$ men $\;v_{m+1}=0~.$ Sedan givetvis $\;X\,v_{m+1}=0\;$ och av ovanstående identitet med $k=m+1\;,$ vi har

$\;0=X\,v_{m+1}=(m+1)\,(\lambda -m)\,v_{m}~.$

Eftersom $\,m+1\,$ är minst en och $\,v_{m}\neq 0\;,$ drar vi slutsatsen att $\,\ lambda \,$ måste vara lika med det icke-negativa heltal $\,m\;.$

Vi får alltså en kedja av $\,m+1\,$ vektorer, $\;v_{0},v_{1},\ldots , v_{m}\;,$ så att $\,Y\,$ fungerar som

$Y\,v_{m}=0,\quad Y\,v_{k}=v_{k+1}\quad ( k<m)$

och $\,X\,$ fungerar som

$X\,v_{0}=0,\quad X\,v_{k}= k\,(m-(k-1))\,v_{k-1}\quad (k\geq 1)$

och $\,H\,$ fungerar som

$H\,v_{k}=(m-2k)\,v_{k}~.$

(Vi har ersatt $\lambda$ med dess för närvarande kända värde på $\,m\,$ i formlerna ovan.)

Eftersom vektorerna $\,v_{k}\,$ är egenvektorer för $H$ med distinkta egenvärden måste de vara linjärt oberoende. Vidare är spännvidden för $\;v_{0},\ldots ,v_{m}\;$ klart invariant under verkan av den komplexiserade Lie-algebra. Eftersom $V$ antas vara irreducerbar, måste detta span vara hela $\,V\;.$ Vi får alltså en fullständig beskrivning av hur en irreducerbar representation måste se ut; det vill säga en grund för utrymmet och en fullständig beskrivning av hur Lie-algebrans generatorer agerar. Omvänt, för alla $\;m\geq 0\;$ kan vi konstruera en representation genom att helt enkelt använda formlerna ovan och kontrollera att kommuteringsrelationerna håller. Denna representation kan sedan visas vara irreducerbar.

Slutsats : För varje icke-negativt heltal $\,m\,,$ finns en unik irreducerbar representation med högsta vikt $\,m\;.$ Varje irreducerbar representation motsvarar en av dessa. Representationen med högst vikt $\,m\,$ har dimensionen $\,m+1\,$ med vikterna $\;m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m\;,$ var och en med multiplicitet ett.

Casimir-elementet

Vi introducerar nu det (kvadratiska) Casimir-elementet , $C$ givet av

$C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2 }\right)$ .

Vi kan se $C$ som ett element i den universella enveloping algebra eller som en operator i varje irreducerbar representation. Genom att se $\,C\,$ som en operator på representationen med högst vikt $\,m\,$ , kan vi enkelt beräkna att $\,C\,$ pendlar med varje $\,u_{i}\;.$ Enligt Schurs lemma fungerar alltså $\,C\,$ som en skalär multipel $displaystyle c_{m}}$ \ av identiteten för varje $\,m\;.$ Vi kan skriva $C$ i termer av $\,\{H,X,Y\}\,$ enligt följande :

$C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2 }\;,$

som kan reduceras till

$C=4YX+H^{2}+2H~.$

Egenvärdet för $\,C\,$ i representationen med högst vikt $\,m\,$ kan beräknas genom att tillämpa $\,C\,$ på vektorn med högst vikt, som förintas av $\,X\;;$ alltså får vi

$c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2)~.$

I fysiklitteraturen är Casimir normaliserad som ${\textstyle \;C'={\frac {1}{4}}\,C~.}$ Märkning av saker i termer av ${\textstyle \;\ell ={\frac {1}{ 2}}\,m\;,}$ egenvärdet $\,d_{\ell }\,$ för $\,C'\,$ beräknas sedan som

$d_{\ell }={\frac {1}{4}}\,(2\ell )\,(2\ell +2)=\ell \,(\ell +1)~.$

Grupprepresentationerna

Åtgärd på polynom

Eftersom SU(2) helt enkelt är sammankopplad visar ett allmänt resultat att varje representation av dess (komplexiserade) Lie-algebra ger upphov till en representation av SU(2) själv. Det är dock önskvärt att ge en explicit realisering av representationerna på gruppnivå. Grupprepresentationerna kan realiseras på rymden av polynom i två komplexa variabler. Det vill säga, för varje icke-negativt heltal $m$ låter vi $V_{m}$ beteckna utrymmet för homogena polynom $p$ av graden $m$ i två komplexa variabler. Då är dimensionen för $V_{m}$$m+1$ . Det finns en naturlig verkan av SU(2) på varje $V_{m}$ , given av

$[U\cdot p](z)=p\left(U^{- 1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},\,U\in \mathrm {SU} (2)$ .

Den associerade Lie-algebra-representationen är helt enkelt den som beskrivs i föregående avsnitt. (Se här för en explicit formel för verkan av Lie-algebra på rymden av polynom.)

Tecknen

Tecknet för en representation $\Pi :G\rightarrow \operatörsnamn {GL} (V)$ är funktionen $\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {X} :$ G ges av

$\mathrm {X} (g)=\operatörsnamn {spår} (\Pi (g))$ .

Karaktärer spelar en viktig roll i representationsteorin för kompakta grupper . Tecknet kan lätt ses som en klassfunktion, det vill säga invariant under konjugering.

I fallet SU(2) betyder det faktum att tecknet är en klassfunktion att det bestäms av dess värde på den maximala torusen $T$ som består av de diagonala matriserna i SU(2), eftersom elementen är ortogonalt diagonaliserbar med spektralsatsen. Eftersom den irreducerbara representationen med högst vikt $m$ har vikterna $m,m-2,\ldots ,-(m-2) ,-m$ , det är lätt att se att den tillhörande karaktären uppfyller

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}}\right)=e^{im\ theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.$

Detta uttryck är en ändlig geometrisk serie som kan förenklas till

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}}\right)={\frac {\ sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.$

Detta sista uttryck är bara uttalandet av Weyl-teckenformeln för SU(2)-fallet.

Egentligen, efter Weyls ursprungliga analys av representationsteorin för kompakta grupper, kan man klassificera representationerna helt ur gruppperspektivet, utan att använda Lie-algebra-representationer alls. I detta tillvägagångssätt spelar Weyl-teckenformeln en viktig roll i klassificeringen, tillsammans med Peter-Weyl-satsen . Fallet SU(2) i den här historien beskrivs här .

Relation till representationerna av SO(3)

Se även: Rotationsgrupp SO(3) § Koppling mellan SO(3) och SU(2) samt Projektiv representation

Observera att antingen alla vikterna i representationen är jämna (om $m$ är jämnt) eller att alla vikterna är udda (om $m$ är udda). I fysiska termer är denna distinktion viktig: representationerna med jämna vikter motsvarar vanliga representationer av rotationsgruppen SO(3) . Däremot motsvarar representationerna med udda vikter dubbelvärdig (spinorial) representation av SO(3), även känd som projektiva representationer .

I fysikkonventionerna motsvarar ${\displaystyle m} att vara jämnt att$$l$ är ett heltal medan $m$ är udda motsvarar att $l$ är ett halvt heltal. Dessa två fall beskrivs som heltalsspinn respektive halvheltalsspinn . Representationerna med udda, positiva värden på $m$ är trogna representationer av SU(2), medan representationerna av SU(2) med icke-negativa, även $m$ inte är trogna.

Ett annat tillvägagångssätt

Se under exemplet för Borel–Weil–Bott-satsen .

De viktigaste irreducerbara representationerna och deras tillämpningar

Huvudartikel: Rotationsgrupp SO(3) § A not on Lie algebras

Representationer av SU(2) beskriver icke-relativistisk spin , på grund av att den är en dubbel täckning av rotationsgruppen av Euklidiskt 3-rum . Relativistisk spin beskrivs av representationsteorin för SL ₂ ( C ) , en supergrupp av SU(2), som på liknande sätt täcker SO ⁺ (1;3) , den relativistiska versionen av rotationsgruppen. SU(2) symmetri stöder också begreppen isobarisk spin och svag isospin , gemensamt känd som isospin .

Representationen med $m=1$ (dvs. $l=1/2$ i fysikkonventionen) är 2 - representationen, den grundläggande representationen av SU(2). När ett element av SU(2) skrivs som en komplex 2 × 2 matris , är det helt enkelt en multiplikation av kolumn 2-vektorer . Det är känt inom fysiken som spin-½ och, historiskt, som multiplikationen av quaternion (mer exakt, multiplikation med en enhet quaternion). Denna representation kan också ses som en dubbelvärderad projektiv representation av rotationsgruppen SO(3).

Representationen med $m=2$ (dvs. $l=1$ ) är 3 -representationen, den adjoint-representationen . Den beskriver 3-d rotationer , standardrepresentationen av SO(3), så reella tal är tillräckliga för det. Fysiker använder det för beskrivningen av massiva spin-1-partiklar, såsom vektormesoner, men dess betydelse för spinnteori är mycket högre eftersom den förankrar spinntillstånd till geometrin i det fysiska 3-rummet . Denna representation dök upp samtidigt med 2 : an när William Rowan Hamilton introducerade versors , hans term för delar av SU(2). Observera att Hamilton inte använde standardgruppteoretisk terminologi eftersom hans arbete föregick Lie-gruppens utveckling.

M $displaystyle m=3}$$l=3/2$ (dvs representation används i partikelfysik för vissa baryoner såsom Δ .

Se även

• Rotationsoperator (vektorutrymme)
• Rotationsoperatör (kvantmekanik)
• Representationsteori för SO(3)
• Koppling mellan SO(3) och SU(2)
• representationsteori för SL ₂ ( R )
• Elektrosvag interaktion
• Rotationsgrupp SO(3) § En anteckning om Lie-algebra

•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-3319134666
• Gerard 't Hooft (2007), Lie groups in Physics , Kapitel 5 "Stegoperatorer"
•   Iachello, Francesco (2006), Lie Algebras and Applications , Lecture Notes in Physics, vol. 708, Springer, ISBN 3540362363