Maschkes sats

Inom matematiken är Maschkes sats , uppkallad efter Heinrich Maschke , en sats inom grupprepresentationsteorin som handlar om nedbrytningen av representationer av en ändlig grupp till irreducerbara delar. Maschkes sats tillåter en att dra allmänna slutsatser om representationer av en finit grupp G utan att faktiskt beräkna dem. Det reducerar uppgiften att klassificera alla representationer till en mer hanterbar uppgift att klassificera irreducible representationer , eftersom när satsen gäller är varje representation en direkt summa av irreducible bitar (beståndsdelar). Dessutom följer det från Jordan–Hölder-satsen att även om nedbrytningen till en direkt summa av irreducerbara underrepresentationer kanske inte är unik, har de irreducerbara bitarna väldefinierade multipliciteter . I synnerhet bestäms en representation av en ändlig grupp över ett fält med karakteristisk noll upp till isomorfism av dess karaktär .

Formuleringar

Maschkes sats tar upp frågan: när byggs en generell (ändlig dimensionell) representation från irreducerbara underrepresentationer med hjälp av direktsummaoperationen ? Denna fråga (och dess svar) formuleras olika för olika perspektiv på grupprepresentationsteori.

Gruppteoretisk

Maschkes sats formuleras vanligtvis som en följd av följande resultat:

Sats — $V$ är en representation av en ändlig grupp $G$ över ett fält $\mathbb {F}$ med egenskap som inte delar ordningen på $G$ . Om $V$ har en underrepresentation $W$ , så har den en annan underrepresentation $U$ så att $V=W\oplus U$ .

Då är följden

Följd (Maschkes sats) — Varje representation av en ändlig grupp $G$ över ett fält $\mathbb {F}$ med egenskap som inte delar ordningen av $G$ är en direkt summa av irreducible representationer.

Vektorutrymmet för komplext värderade klassfunktioner i en grupp $G$ har en naturlig $G$ -invariant inre produktstruktur , beskriven i artikeln Schur ortogonalitetsrelationer . Maschkes teorem bevisades ursprungligen för fallet med representationer över $\mathbb {C}$ genom att konstruera $U$ som det ortogonala komplementet till $W$ under denna inre produkt.

Modulteoretisk

  Ett av tillvägagångssätten för representationer av ändliga grupper är genom modulteori . Representationer av en grupp $G$ ersätts av moduler över dess gruppalgebra ${\displaystyle K[G]} ($ för att vara exakt, det finns en isomorfism av kategorier mellan ${\ displaystyle K[G]{\text{-Mod}}}$ och $\operatorname {Rep} _{G}$ , representationskategorin för $G$ ). Irreducerbara representationer motsvarar enkla moduler . I det modulteoretiska språket frågar Maschkes teorem: är en godtycklig modul halvenkel ? I detta sammanhang kan teoremet omformuleras enligt följande:

Maschkes sats — Låt $G$ vara en finit grupp och $K$ ett fält vars egenskap inte delar ordningen av $G$ . Då är $K[G]$ , gruppalgebra för ${\displaystyle G} ,$ halvenkel .

Vikten av detta resultat härrör från den välutvecklade teorin om halvenkla ringar, i synnerhet Artin–Wedderburn-satsen (ibland kallad Wedderburns struktursats). När $K$ är fältet för komplexa tal visar detta att algebra $K[G]$ är en produkt av flera kopior av komplexa matrisalgebror, en för varje irreducerbar representation. Om fältet $K$ har karakteristisk noll, men inte är algebraiskt stängt , till exempel är $K$ ett fält med reella eller rationella tal, så gäller ett något mer komplicerat påstående: gruppalgebra $K[G]$ är en produkt av matrisalgebror över divisionsringar över $K$ . Summanerna motsvarar irreducerbara representationer av $G$ över $K$ .

Kategori-teoretisk

Omformulerad på språket för halvenkla kategorier , säger Maschkes sats

Maschkes sats — Om G är en grupp och F är ett fält med karakteristik som inte delar ordningen av G , då är kategorin av representationer av G över F semi-enkel.

Bevis

Gruppteoretisk

Låt U vara ett delrum av V komplement till W . Låt $p_{0}:V\to W$ vara projektionsfunktionen, dvs $p_{0}(w+u)=w$ för någon $u\in U,w\in W$ .

Definiera ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\summa _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$ , där $g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}$ är en förkortning av $\rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}$ , där $\rho _{W}{g},\rho _{V}{g^{-1}}$ är representationen av G på W och V . Sedan bevaras ${\displaystyle \ker p} av$ G under representation $\rho _{V}$ : för varje $w'\in \ker p,h\in G$ ,

$${\begin{aligned}p(hw' )&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw ')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot ( g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{ -1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}$$

så $w'\in \ker p$ innebär att $hw'\in \ker p$ . Så begränsningen av $\rho _{V}$ på $\ker p$ är också en representation.

Enligt definitionen av $p$ , för alla $w\in W$ , $p(w)=w$ , så $W\cap \ker \ p=\{0\}$ , och för alla $v\in V$ , $p (p(v))=p(v)$ . Således, $p(vp(v))=0$ , och $vp(v)\in \ker p$ . Därför är $V=W\oplus \ker p$ .

Modulteoretisk

Låt V vara en K [ G ]-submodul. Vi kommer att bevisa att V är en direkt summa. Låt π vara vilken K -linjär projektion som helst av K [ G ] på V . Tänk på kartan

$${\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\ \\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}$$

Sedan är φ återigen en projektion: den är tydligt K -linjär, kartlägger K [ G ] till V , och inducerar identiteten på V (avbildar därför K [ G ] på V ). Dessutom har vi

$${\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi ( s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\summa _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{ -1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}$$

så φ är faktiskt K [ G ]-linjär. Genom det delande lemma , $K[G]=V\oplus \ker \varphi$ . Detta bevisar att varje submodul är en direkt summa, det vill säga K [ G ] är semisenkel.

Omvänd uttalande

Ovanstående bevis beror på det faktum att # G är inverterbar i K . Detta kan leda till att man frågar sig om det omvända till Maschkes sats också gäller: om egenskapen för K delar ordningen av G , följer det att K [ G ] inte är halvenkel? Svaret är ja .

Bevis. För ${\textstil x=\summa \lambda _{g}g\in K[G]}$ definiera ${\textstil \epsilon (x) =\summa \lambda _{g}}$ . Låt $I=\ker \epsilon$ . Då I en K [ G ]-submodul. Vi kommer att bevisa att för varje icke-trivial undermodul V av K [ G ], $I\cap V\neq 0$ . Låt V ges, och låt ${\textstyle v=\sum \mu _{g}g}$ vara vilket element som helst som inte är noll i V . Om $\epsilon (v)=0$ är anspråket omedelbart. Annars, låt ${\textstyle s=\summa 1g}$ . Då $\epsilon (s)=\#G\cdot 1=0$ så $s\in I$ och

$$sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\summa \epsilon (v)g=\epsilon (v)s$$

så att $sv$ är ett element som inte är noll av både I och V . Detta bevisar att V inte är ett direkt komplement till I för alla V , så K [ G ] är inte halvenkelt.

Icke-exempel

Satsen kan inte tillämpas på fallet där G är oändlig, eller när fältet K har egenskaper som delar # G . Till exempel,

• Betrakta den oändliga gruppen $\mathbb {Z}$ och representationen $\rho :\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}( \mathbb {C} )$ definieras av $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix} }^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$ . Låt ${\displaystyle W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} ,$ ett 1-dimensionellt delrum av $\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )$ spänner över ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ . Då är begränsningen av $\rho$ på W en trivial underrepresentation av $\mathbb {Z}$ . Det finns dock inget U så att både W, U är underrepresentationer av $\mathbb {Z}$ och $\mathbb {Z} =W\oplus U$ : alla sådana U behöver vara 1-dimensionell, men varje 1-dimensionellt delrum som bevaras av $\rho$ måste spännas av egenvektor för ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix} }$ , och den enda egenvektorn för det är ${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ .
• Betrakta ett primtal p , och gruppen $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , fält $K=\mathbb {F} _{p}$ , och representationen $\rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb { F} _{p})$ definieras av $\rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}$ . Enkla beräkningar visar att det bara finns en egenvektor för ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ här, så med samma argument, den 1-dimensionella underrepresentationen av $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ är unik, och $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ kan inte dekomponeras till den direkta summan av två 1-dimensionella underrepresentationer.

Anteckningar

•     Lang, Serge (2002-01-08). Algebra . Graduate Texts in Mathematics , 211 (Reviderad 3:e upplagan). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4 . MR 1878556 . Zbl 0984.00001 .
•     Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Linjära representationer av ändliga grupper . Graduate Texts in Mathematics , 42 . New York–Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9 . MR 0450380 . Zbl 0355.20006 .
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .