Nedbrytning av en modul

I abstrakt algebra är en nedbrytning av en modul ett sätt att skriva en modul som en direkt summa av moduler . En typ av sönderdelning används ofta för att definiera eller karakterisera moduler: till exempel är en halvenkel modul en modul som har en sönderdelning till enkla moduler . Givet en ring kan typerna av nedbrytning av moduler över ringen också användas för att definiera eller karakterisera ringen: en ring är halvenkel om och bara om varje modul över den är en halvenkel modul.

En oupplöslig modul är en modul som inte är en direkt summa av två submoduler som inte är noll . Azumayas teorem säger att om en modul har en nedbrytning till moduler med lokala endomorfismringar , då är alla nedbrytningar till oupplösliga moduler likvärdiga med varandra; ett specialfall av detta, särskilt inom gruppteorin , är känt som Krull–Schmidt-satsen .

Ett specialfall av en sönderdelning av en modul är en sönderdelning av en ring: till exempel är en ring halvenkel om och endast om den är en direkt summa (i själva verket en produkt) av matrisringar över divisionsringar ( denna observation är känd som Artin –Wedderburn-satsen ).

Idempotenta och nedbrytningar

Att ge en direkt summauppdelning av en modul till submoduler är detsamma som att ge ortogonala idempotenter i modulens endomorfismring som summerar till identitetskartan . Faktum är att om ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}},$ då, för varje $i\in I$ , den linjära endomorfismen $e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M$ givet av den naturliga projektionen följt av den naturliga inneslutningen är en idempotent . De är tydligt ortogonala mot varandra ( $e_{i}e_{j}=0$ för $i\neq j$ ) och de summerar till identitetskartan:

1_{\operatörsnamn {M} }=\summa _{i\in I}e_{i}

som endomorfismer (här är summeringen väldefinierad eftersom den är en ändlig summa vid varje element i modulen). Omvänt , varje uppsättning ortogonala idempotenter $\{e_{i}\}_{i\in I}$ så att endast ändligt många $e_{i} (x)$ är icke-noll för varje $x\in M$ och $\summa e_{i}=1_{M}$ bestämmer en direkt summanedbrytning genom att ta $M_ {i}$ för att vara bilderna av $e_{i}$ .

Detta faktum sätter redan vissa begränsningar för en möjlig sönderdelning av en ring: givet en ring $R$ , anta att det finns en sönderdelning

{}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}

av $R$ som en vänster modul över sig själv, där $I_{a}$ är vänster undermoduler; dvs vänsterideal . Varje endomorfism ${}_{R}R\to {}_{R}R$ kan identifieras med en rät multiplikation med ett element av R ; alltså, $I_{a}=Re_{a}$ där $e_{a}$ är idempotenter av $\operatorname {End } ({}_{R}R)\simeq R$ . Summan av idempotenta endomorfismer motsvarar nedbrytningen av enheten av R : ${\textstyle 1_{R}=\summa _{a\in A}e_{ a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}} ,$ som nödvändigtvis är en ändlig summa; i synnerhet måste ${\displaystyle A} vara en ändlig mängd.$

Ta till exempel ${\displaystyle R=\operatörsnamn {M} _{n}(D)} ,$ ringen av n -by- n matriser över en divisionsring D . Då ${}_{R}R$ den direkta summan av n kopior av ${\displaystyle D^{n}} ,$ kolumnerna; varje kolumn är en enkel vänster R -undermodul eller, med andra ord, ett minimalt vänsterideal .

Låt R vara en ring. Antag att det finns en (nödvändigtvis ändlig) nedbrytning av den som en vänster modul över sig själv

{}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}

till tvåsidiga ideal $R_{i}$ av R . Som ovan, $R_{i}=Re_{i}$ för vissa ortogonala idempotenter $e_{i}$ så att $\textstyle {1=\summa _{1}^{n}e_{i}}$ . Eftersom $R_{i}$ är ett ideal, $e_{i}R\subset R_{i}$ och så $e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0$ för $i\neq j$ . Sedan, för varje jag ,

e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.

Det vill säga $e_{i}$ är i mitten ; dvs de är centrala idempotenter . Uppenbarligen kan argumentet vändas och så finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan den direkta summauppdelningen till ideal och de ortogonala centrala idempotenterna som summerar till enheten 1. Dessutom, varje R i {\displaystyle R_{ $}$ i sig är en ring i sig själv, den enhet som ges av ${\displaystyle e_{i}} ,$ och som en ring är R produktringen $R_{1}\times \cdots \times R_{n}.$

Ta till exempel igen $R=\operatörsnamn {M} _{n}(D)$ . Denna ring är en enkel ring; i synnerhet har den ingen icke-trivial nedbrytning till tvåsidiga ideal.

Typer av nedbrytning

Det finns flera typer av direkta summanedbrytningar som har studerats:

Halvenkel nedbrytning : en direkt summa av enkla moduler.
Oupplöslig nedbrytning : en direkt summa av oupplösliga moduler.
En nedbrytning med lokala endomorfismringar (jfr #Azumayas sats ): en direkt summa av moduler vars endomorfismringar är lokala ringar (en ring är lokal om för varje element x , antingen x eller 1 − x är en enhet ).
Seriell nedbrytning : en direkt summa av unseriella moduler (en modul är unseriell om gittret av undermoduler är en finit kedja).

Eftersom en enkel modul är oupplöslig är en halvenkel nedbrytning en oupplöslig nedbrytning (men inte omvänt). Om endomorfismringen i en modul är lokal, kan den i synnerhet inte ha en icke-trivial idempotent: modulen är oupplöslig. Således är en sönderdelning med lokala endomorfismringar en oupplöslig sönderdelning.

En direkt summa sägs vara maximal om den medger ett oupplösligt komplement. En sönderdelning $\textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ sägs komplettera maximala direktsummor om för varje maximal direktsumman L av M , det finns en delmängd $J\subset I$ sådan att

M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.

Två nedbrytningar $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}$ sägs vara ekvivalenta om det finns en bijektion $\varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J$ så att för varje $i\in I$ , $M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}$ . Om en modul tillåter en oupplöslig nedbrytning som kompletterar maximala direktsummor, då är två oupplösliga nedbrytningar av modulen ekvivalenta.

Azumayas teorem

I den enklaste formen säger Azumayas sats : givet en sönderdelning $M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$ så att endomorfismen för varje ${\ displaystyle M_{i}}$ är lokal (så att nedbrytningen är oupplöslig), varje oupplöslig nedbrytning av M är ekvivalent med denna givna nedbrytning. Den mer exakta versionen av satsen säger: fortfarande givet en sådan sönderdelning, om $M=N\oplus K$ , då

om icke-noll innehåller N en oupplöslig direkt summering,
om $N$ är oupplöslig, är endomorfismen i den lokal och $K$ kompletteras med den givna nedbrytningen:
${\textstyle M=M_{j}\oplus K}$ och så $M_{j}\simeq N$ för vissa $j\in I$ ,
för varje $i\in I$ , finns det direkta summeringar $N'$ av $N$ och $K'$ av $K$ såsom att $M=M_{i}\oplus N'\oplus K'$ .

Endomorfismringen för en oupplöslig modul av ändlig längd är lokal (t.ex. genom Fittings lemma ) och Azumayas sats är alltså tillämplig på uppställningen av Krull–Schmidt-satsen . Om M är en modul med ändlig längd, så har den, genom induktion på längd, en ändlig oupplöslig nedbrytning ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n} M_{i}}$ , som är en nedbrytning med lokala endomorfismringar. Antag nu att vi får en oupplöslig nedbrytning ${\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}$ . Då måste den vara ekvivalent med den första: så $m=n$ och $M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}$ för vissa permutation $\sigma$ av $\{1,\dots ,n\}$ . Mer exakt, eftersom $N_{1}$ är oupplöslig, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _ {i=2}^{n}N_{i})}$ för vissa $i_{1}$ . Sedan, eftersom $N_{2}$ är oupplöslig, ${\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_ {i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}$ och så vidare; dvs komplement till varje summa ${\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}$ kan anses vara direkta summor av vissa $M_{i }$ s.

En annan tillämpning är följande uttalande (som är ett nyckelsteg i beviset för Kaplanskys sats om projektiva moduler ):

Givet ett element $x\in N$ finns det en direkt summering $H$ av $N$ och en delmängd $J\subset I$ så att $x\in H$ och ${\textstyle H\simeq \bigoplus _{j\in J}M_{j}}$ .

För att se detta, välj en finit mängd $F\subset I$ så att ${\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}$ . Skriv sedan $M=N\oplus L$ , med Azumayas teorem, $M=(\oplus _{j \in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}$ med några direkta summeringar $N_{1},L_{1}$ av ${\ displaystyle N,L}$ och sedan, enligt modullag , $N=H\oplus N_{1}$ med $H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N$ . Sedan, eftersom $L_{1}$ är en direkt summa av ${\displaystyle L} ,$ kan vi skriva $L=L_{1}\oplus L_{1 }'$ och sedan ${\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'} ,$ vilket innebär, eftersom F är ändlig, att $H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}$ för vissa J genom en upprepad tillämpning av Azumayas sats.

I uppställningen av Azumayas teorem, om dessutom varje $M_{i}$ genereras räknat , så finns det följande förfining (ursprungligen på grund av Crawley–Jónsson och senare på Warfield): $N$ är isomorf till $\bigoplus _{j\in J}M_{j}$ för någon delmängd $J\subset I$ . (På sätt och vis är detta en förlängning av Kaplanskys sats och bevisas av de två lemman som används i beviset för satsen.) Enligt ( Facchini 1998 ) är det inte känt om antagandet " $M_{ i}$ räkneligt genererad" kan släppas; dvs denna förfinade version är sann i allmänhet.

Nedbrytning av en ring

När det gäller sönderdelningen av en ring är den mest grundläggande men fortfarande viktiga observationen, känd som Artin-Wedderburn-satsen : givet en ring R är följande ekvivalenta:

R är en halvenkel ring ; dvs ${}_{R}R$ är en halvenkel vänstermodul.
$R\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatörsnamn {M} _{m_{i}}(D_{i} )$ där $\operatorname {M} _{n}(D)$ betecknar ringen av n -by- n matriser och de positiva heltalen ${\ displaystyle r,m_{1},\dots ,m_{r}}$ bestäms av R (men $D_{i}$ s bestäms inte av R ).
Varje vänster modul över R är halvenkel.

För att se ekvivalensen för de två första, notera: om ${\textstyle {}_{R}R\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}I_ {i}^{\oplus m_{i}}}$ där $I_{i}$ är ömsesidigt icke-isomorfa vänsterminimalideal, då, med uppfattningen att endomorfismer verkar från höger,

R\simeq \operatörsnamn {End} ({}_{R}R)\simeq \bigoplus _{i =1}^{r}\operatörsnamn {Slut} (I_{i}^{\oplus m_{i}})

där varje $\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})$ kan ses som matrisringen över divisionsringen $D_{i}=\operatörsnamn {End} (I_{i})$ . (Det motsatta beror på att nedbrytningen av 2. motsvarar en nedbrytning till minimala vänsterideal = enkla vänsterundermoduler.) Ekvivalensen 1. $\Leftrightarrow$ 3. beror på att varje modul är en kvot av en fri modul och en kvot av en halvenkel modul är helt klart semisenkel.

Se även

Ren-injektiv modul

Anteckningar

Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Ringar och kategorier av moduler , Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 uppl.), New York: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , MR 1245487
Frank W. Anderson, föreläsningar om icke-kommutativa ringar, University of Oregon, hösten 2002.
Facchini, Alberto (16 juni 1998). Modulteori: Endomorfismringar och direkta summasönderdelningar i vissa klasser av moduler . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5908-9 .
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra , vol. 2 (andra upplagan), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
Y. Lam, Bass arbete i ringteori och projektiva moduler [MR 1732042]
Procesi, Claudio (2007). Lögngrupper: ett förhållningssätt genom invarianter och representationer . New York: Springer. ISBN 9780387260402 .
R. Warfield: Utbytesringar och dekompositioner av moduler, matematik. Annalen 199(1972), 31-36.