Halvenkel operatör

I matematik är en linjär operator T på ett vektorrum semisenkel om varje T - invariant delrum har ett komplementärt T -invariant delrum; med andra ord är vektorrummet en halvenkel representation av operatorn T . På motsvarande sätt är en linjär operator semisenkel om det minimala polynomet av den är en produkt av distinkta irreducerbara polynom.

En linjär operator på ett ändligt dimensionellt vektorrum över ett algebraiskt stängt fält är semisenkel om och endast om den är diagonaliserbar .

Över ett perfekt fält uttrycker Jordan–Chevalley-sönderdelningen en endomorfism $x:V\to V$ som summan av en semisenkel endomorfism s och en nilpotent endomorfism n så att både s och n är polynom i x .

Se även

Jordan–Chevalley nedbrytning

Anteckningar

^ ^a ^b Lam (2001), sid. 39
^ Jacobson 1979 , ett stycke före kap. II, § 5, sats 11.
^ Detta är trivialt enligt definitionen i termer av ett minimalt polynom men kan ses mer direkt enligt följande. En sådan operator har alltid en egenvektor; om det dessutom är semi-enkelt, så har det ett komplementärt invariant hyperplan , som i sig har en egenvektor, och alltså genom induktion är diagonaliserbart. Omvänt kan diagonaliserbara operatorer lätt ses som semi-enkla, eftersom invarianta delrum är direkta summor av egenrum, och vilken grund som helst för detta utrymme kan utökas till en egenbas.

Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Semi-enkla operatörer". Linjär algebra (2:a uppl.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .
Jacobson, Nathan (1979). Lie algebror . New York. ISBN 0-486-63832-4 . OCLC 6499793 .
Lam, Tsit-Yuen (2001). En första kurs i icke-kommutativa ringar . Examentexter i matematik. Vol. 131 (2 uppl.). Springer. ISBN 0-387-95183-0 .

[Lam-2001-p39-1] Lam (2001), sid. 39

[2] Jacobson 1979 , ett stycke före kap. II, § 5, sats 11.

[3] Detta är trivialt enligt definitionen i termer av ett minimalt polynom men kan ses mer direkt enligt följande. En sådan operator har alltid en egenvektor; om det dessutom är semi-enkelt, så har det ett komplementärt invariant hyperplan , som i sig har en egenvektor, och alltså genom induktion är diagonaliserbart. Omvänt kan diagonaliserbara operatorer lätt ses som semi-enkla, eftersom invarianta delrum är direkta summor av egenrum, och vilken grund som helst för detta utrymme kan utökas till en egenbas.