Vinkelmomentkoppling

Inom kvantmekaniken kallas proceduren för att konstruera egentillstånd med totalt rörelsemängd ur egentillstånd med separat vinkelmoment rörelsemängdskoppling . Till exempel kan en enskild partikels omloppsbana och spinn interagera genom spin–omloppsinteraktion , i vilket fall den fullständiga fysiska bilden måste inkludera spin–omloppskoppling. Eller två laddade partiklar, var och en med en väldefinierad rörelsemängd, kan interagera med Coulomb-krafter , i vilket fall kopplingen av de två enpartiklarnas vinkelmoment till en total rörelsemängd är ett användbart steg i lösningen av tvåpartikeln Schrödinger ekvation . I båda fallen är de separata vinkelmomenten inte längre rörelsekonstanter , men summan av de två vinkelmomenten är det vanligtvis fortfarande. Vinkelmomentkoppling i atomer är av betydelse vid atomspektroskopi . Vinkelmomentkoppling av elektronspinn är av betydelse inom kvantkemin . Även i kärnskalsmodellen är vinkelmomentkopplingen allestädes närvarande.

Inom astronomi reflekterar kopplingen mellan spinn och omloppsbana den allmänna lagen om bevarande av rörelsemängd, som även gäller för himmelska system. I enkla fall försummas riktningen för rörelsemängdsvektorn , och spin-omloppskopplingen är förhållandet mellan frekvensen med vilken en planet eller annan himlakropp snurrar runt sin egen axel och den med vilken den kretsar runt en annan kropp . Detta är mer känt som orbital resonans . Ofta är de underliggande fysiska effekterna tidvattenkrafter .

Allmän teori och detaljerat ursprung

Orbital rörelsemängd (betecknad l eller L ).

Vinkelmomentbevarande

Bevarande av rörelsemängd är principen att den totala rörelsemängden för ett system har en konstant storlek och riktning om systemet inte utsätts för något yttre vridmoment . Vinkelmomentum är en egenskap hos ett fysiskt system som är en rörelsekonstant (även kallad en bevarad egenskap, tidsoberoende och väldefinierad) i två situationer:

Systemet upplever ett sfäriskt symmetriskt potentialfält.
Systemet rör sig (i kvantmekanisk mening) i det isotropa rummet.

pendlar rörelsemängdsoperatorn med systemets Hamiltonian . Med Heisenbergs osäkerhetsrelation betyder detta att rörelsemängden och energin (egenvärde för Hamiltonian) kan mätas samtidigt.

Ett exempel på den första situationen är en atom vars elektroner bara upplever Coulomb-kraften från sin atomkärna . Om vi bortser från elektron–elektroninteraktionen (och andra små interaktioner som spin–omloppskoppling ), pendlar rörelsemängden $l$ för varje elektron med den totala Hamiltonian. I denna modell är den atomära Hamiltonian summan av kinetiska energier hos elektronerna och de sfäriskt symmetriska elektron-kärna-interaktionerna. Den individuella elektronens vinkelmoment $l i$ pendlar med denna Hamiltonian. Det vill säga, de är bevarade egenskaper hos denna ungefärliga modell av atomen.

Ett exempel på den andra situationen är en stel rotor som rör sig i fältfritt utrymme. En stel rotor har ett väldefinierat, tidsoberoende, vinkelmoment.

Dessa två situationer har sitt ursprung i klassisk mekanik. Den tredje typen av bevarad rörelsemängd, associerad med spin , har ingen klassisk motsvarighet. Men alla regler för vinkelmomentkoppling gäller även för spinn.

Generellt sett innebär bevarande av rörelsemängdsmängd full rotationssymmetri (beskrivs av grupperna SO(3) och SU(2) ) och omvänt innebär sfärisk symmetri bevarande av rörelsemängd. Om två eller flera fysiska system har bevarat vinkelmoment, kan det vara användbart att kombinera dessa moment till ett totalt vinkelmoment för det kombinerade systemet - en bevarad egenskap hos det totala systemet. Byggandet av egentillstånd för det totala bevarade rörelsemängdsmängd från rörelsemängdsegentillstånden för de individuella delsystemen kallas rörelsemängdskoppling .

Tillämpning av rörelsemängdskoppling är användbar när det finns en växelverkan mellan delsystem som utan växelverkan skulle ha bevarat rörelsemängd. Genom själva interaktionen bryts delsystemens sfäriska symmetri, men rörelsemängden för det totala systemet förblir en rörelsekonstant. Användning av det senare faktumet är till hjälp vid lösningen av Schrödinger-ekvationen.

Exempel

Som ett exempel betraktar vi två elektroner, i en atom (säg heliumatomen ) märkt med $i$ = 1 och 2. Om det inte finns någon elektron–elektron-interaktion, utan endast elektron–kärna-interaktion, kan de två elektronerna roteras runt kärna oberoende av varandra; ingenting händer med deras energi. Båda operatorerna, $11$ och $12$ _, är bevarade _. Men om vi slår på elektron-elektron-interaktionen som beror på avståndet $d$ (1,2) mellan elektronerna, så kommer endast en samtidig och lika rotation av de två elektronerna att lämna $d$ (1,2) invariant. I ett sådant fall är varken $l$ ₁ eller $l$ ₂ en rörelsekonstant i allmänhet, utan den totala rörelsemängden $L$ = $l$ ₁ + $l$ ₂ är det. Givet egentillstånden för $l$ ₁ och $l$ ₂ är konstruktionen av egentillstånden för $L$ (som fortfarande är bevarad) kopplingen av vinkelmomentet för elektronerna 1 och 2.

Det totala orbitala vinkelmomentet kvanttal $L$ är begränsat till heltalsvärden och måste uppfylla det triangulära villkoret som ${\displaystyle |l_{1}-l_{2}|\leq L\leq l_{1}+l_{2}} ,$ så att de tre icke-negativa heltalsvärdena skulle kunna motsvara de tre sidor av en triangel.

Inom kvantmekaniken existerar koppling också mellan vinkelmoment som tillhör olika Hilbert-utrymmen i ett enda objekt, t.ex. dess snurr och dess omloppsrörelsemängd . Om spinnet har halvheltalsvärden, såsom 1/2 för en elektron, så kommer den totala (orbital plus spin) vinkelmomentet också att begränsas till halvheltalsvärden.

Upprepa något annorlunda ovan: man expanderar kvanttillstånden för sammansatta system (dvs gjorda av subenheter som två väteatomer eller två elektroner ) i basuppsättningar som är gjorda av tensorprodukter av kvanttillstånd som i sin tur beskriver subsystemen individuellt. Vi antar att tillstånden för delsystemen kan väljas som egentillstånd för deras vinkelmomentoperatorer (och för deras komponent längs vilken godtycklig $z-$ axel som helst).

Delsystemen beskrivs därför korrekt av ett par $ℓ$ , $m$ kvanttal (se rörelsemängd för detaljer). När det finns interaktion mellan delsystemen, innehåller den totala Hamiltonian termer som inte pendlar med vinkeloperatörerna som endast verkar på delsystemen. Dessa termer pendlar dock med den totala vinkelmomentoperatorn. Ibland hänvisar man till de icke-pendlande interaktionstermerna i Hamiltonian som vinkelmomentkopplingstermer , eftersom de kräver vinkelmomentkopplingen.

Spin-omloppskoppling

Atomers och mindre partiklars beteende beskrivs väl av teorin om kvantmekanik , där varje partikel har en inneboende rörelsemängd som kallas spinn och specifika konfigurationer (av t.ex. elektroner i en atom) beskrivs av en uppsättning kvanttal . Samlingar av partiklar har också vinkelmoment och motsvarande kvanttal, och under olika omständigheter kopplas delarnas vinkelmoment på olika sätt för att bilda helhetens vinkelmoment. Vinkelmomentkoppling är en kategori som inkluderar några av de sätt som subatomära partiklar kan interagera med varandra.

Inom atomfysik beskriver spin-omloppskoppling , även känd som spin-pairing , en svag magnetisk växelverkan, eller koppling , av partikelsnurret och denna partikels omloppsrörelse , t.ex. elektronsnurret och dess rörelse runt en atomkärna . En av dess effekter är att separera energin i atomens inre tillstånd, t.ex. spin-aligned och spin-antialigned som annars skulle vara identiska i energi. Denna interaktion är ansvarig för många av detaljerna i atomstrukturen.

I fasta tillståndets fysik kan spinnkopplingen med orbitalrörelsen leda till splittring av energiband på grund av Dresselhaus- eller Rashba -effekter.

I den makroskopiska världen av orbital mekanik används termen spin-omloppskoppling ibland i samma betydelse som spin-omloppsresonans .

LS koppling

Illustration av L–S-koppling. Total rörelsemängd J är grön, orbital L är blå och spinn S är röd.

I lätta atomer (vanligtvis Z ≤ 30) _interagerar elektronsnurr s i sinsemellan så att de kombineras för att bilda ett totalt spinnvinkelmoment S . Samma sak händer med orbitalt vinkelmoment ℓ _i , vilket bildar ett totalt orbitalt vinkelmoment L . Interaktionen mellan kvanttalen L och S kallas Russell–Saunders-koppling (efter Henry Norris Russell och Frederick Saunders ) eller LS-koppling . Sedan S och L ihop och bildar en total rörelsemängd J :

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} ,\,

där L och S är summan:

\mathbf {L} =\summa _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i},\ \mathbf {S} =\summa _{i}\mathbf {s} _{i} .\,

Detta är en uppskattning som är bra så länge som eventuella externa magnetfält är svaga. I större magnetfält frikopplas dessa två momenta, vilket ger upphov till ett annat delningsmönster i energinivåerna (Paschen -Back-effekten ), och storleken på LS-kopplingstermen blir liten.

För ett utförligt exempel på hur LS-koppling praktiskt tillämpas, se artikeln om termsymboler .

jj koppling

I tyngre atomer är situationen annorlunda. I atomer med större kärnladdningar är spin–omloppsinteraktioner ofta lika stora som eller större än spin–snurrinteraktioner eller omlopp–omloppsinteraktioner. I denna situation tenderar varje omloppsrörelsemängd ℓ _i att kombineras med den motsvarande individuella spinnrörelsemängden si , vilket ger upphov till en individuell total rörelsemängd j _i_. Dessa kopplas sedan ihop för att bilda det totala vinkelmomentet J

\mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}=\summa _{i}({\boldsymbol {\ell }}_{i}+\mathbf {s} _{i}).

Denna beskrivning, som underlättar beräkningen av denna typ av interaktion, är känd som jj-koppling .

Spin-spin-koppling

Spin-spin-koppling är kopplingen av det inneboende vinkelmomentet ( spin ) för olika partiklar. J-koppling mellan par av kärnspinn är ett viktigt inslag i kärnmagnetisk resonans (NMR) spektroskopi eftersom det kan ge detaljerad information om strukturen och konformationen av molekyler. Spin-spin-koppling mellan kärnspinn och elektronisk spin är ansvarig för hyperfin struktur i atomspektra .

Termsymboler

Termsymboler används för att representera atomernas tillstånd och spektrala övergångar, de hittas från koppling av vinkelmoment som nämnts ovan. När tillståndet för en atom har specificerats med en termsymbol, kan de tillåtna övergångarna hittas genom urvalsregler genom att överväga vilka övergångar som skulle bevara rörelsemängd . En foton har spin 1, och när det finns en övergång med emission eller absorption av en foton kommer atomen att behöva ändra tillstånd för att bevara rörelsemängden. Termen symbolvalsregler är: $AS;$ = 0 $AL;$ = 0, ±1 $Al;$ = ± 1 $Δ J$ = 0, ±1.

Uttrycket "termsymbol" kommer från "termserien" som är förknippad med Rydbergstillstånden för en atom och deras energinivåer . I Rydbergs formel är frekvensen eller vågtalet för ljuset som emitteras av en väteliknande atom proportionell mot skillnaden mellan de två termerna för en övergång. Serierna som var kända för tidig spektroskopi betecknades som skarpa , huvudsakliga , diffusa och fundamentala och följaktligen användes bokstäverna $S, P, D$ och $F$ för att representera en atoms orbitala rörelsemängdstillstånd.

Relativistiska effekter

I mycket tunga atomer accentuerar relativistisk förskjutning av energierna i elektronenerginivåerna spin-omloppskopplingseffekten. Således måste till exempel uranmolekylära omloppsdiagram direkt inkorporera relativistiska symboler när man överväger interaktioner med andra atomer. ^{[ citat behövs ]}

Kärnkraftskoppling

I atomkärnor är interaktionen mellan spinn och omloppsbana mycket starkare än för atomelektroner, och den är inkorporerad direkt i kärnskalsmodellen. Dessutom, till skillnad från atom-elektrontermsymboler, är det lägsta energitillståndet inte $L - S$ , utan snarare $ℓ + s$ . Alla kärnnivåer vars $ℓ$ -värde (omloppsrörelsemängd) är större än noll delas således i skalmodellen för att skapa tillstånd betecknade med $ℓ + s$ och $ℓ - s$ . På grund av skalmodellens natur , som antar en medelpotential snarare än en central coulombisk potential, anses nukleonerna som går in i ℓ + s och ℓ − s kärntillstånd 3/2 2 degenerera $inom$ varje $orbital$ ( t.ex. The $p$ innehåller fyra nukleoner, alla av samma energi. Högre i energi är 2 $p$ 1 / 2 som innehåller två lika energi nukleoner).

Se även

Anteckningar

^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Kvantfysik för atomer, molekyler, fasta ämnen, kärnor och partiklar ( 2:a upplagan). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ PW Atkins (1974). Quanta: En handbok med begrepp . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics (3:e upplagan). John Wiley. s. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .
^ The Russell Saunders Coupling Scheme RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (tillgänglig 26 dec. 2015)
^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Kvantfysik för atomer, molekyler, fasta ämnen, kärnor och partiklar ( 2:a upplagan). John Wiley & Sons. sid. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ BH Bransden, CJJoachain (1983). Atomers och molekylers fysik . Longman. s. 339 -341. ISBN 0-582-44401-2 .
^ R. Resnick, R. Eisberg (1985). Kvantfysik för atomer, molekyler, fasta ämnen, kärnor och partiklar ( 2:a upplagan). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ PW Atkins (1974). Quanta: En handbok med begrepp . Oxford University Press. sid. 226. ISBN 0-19-855493-1 .
^ Herzberg, Gerhard (1945). Atomspektra och atomstruktur . New York: Dover. s. 54 –55. ISBN 0-486-60115-3 .

externa länkar

[1] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Kvantfysik för atomer, molekyler, fasta ämnen, kärnor och partiklar ( 2:a upplagan). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[2] PW Atkins (1974). Quanta: En handbok med begrepp . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1 .

[3] Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics (3:e upplagan). John Wiley. s. 428–429. ISBN 0-471-88702-1 .

[4] The Russell Saunders Coupling Scheme RJ Lancashire, UCDavis ChemWiki (tillgänglig 26 dec. 2015)

[5] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Kvantfysik för atomer, molekyler, fasta ämnen, kärnor och partiklar ( 2:a upplagan). John Wiley & Sons. sid. 281 . ISBN 978-0-471-87373-0 .

[6] BH Bransden, CJJoachain (1983). Atomers och molekylers fysik . Longman. s. 339 -341. ISBN 0-582-44401-2 .

[7] R. Resnick, R. Eisberg (1985). Kvantfysik för atomer, molekyler, fasta ämnen, kärnor och partiklar ( 2:a upplagan). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[8] PW Atkins (1974). Quanta: En handbok med begrepp . Oxford University Press. sid. 226. ISBN 0-19-855493-1 .

[9] Herzberg, Gerhard (1945). Atomspektra och atomstruktur . New York: Dover. s. 54 –55. ISBN 0-486-60115-3 .