Schur ortogonalitetsrelationer

Inom matematiken uttrycker Schur-ortogonalitetsrelationerna , som bevisades av Issai Schur genom Schurs lemma , ett centralt faktum om representationer av ändliga grupper . De medger en generalisering till fallet med kompakta grupper i allmänhet, och i synnerhet kompakta Lie-grupper , såsom rotationsgruppen SO(3) .

Ändliga grupper

Inneboende uttalande

Utrymmet av komplext värderade klassfunktioner i en finit grupp G har en naturlig inre produkt :

$\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _ {g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}$

där ${\overline {\beta (g)}}$ betyder det komplexa konjugatet av värdet av $\beta$ på g . Med avseende på denna inre produkt utgör de irreducerbara tecknen en ortonormal bas för utrymmet för klassfunktioner, och detta ger ortogonalitetsrelationen för raderna i teckentabellen:

$\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox { if }}i=j.\end{cases}}$

För $g,h\in G$ , ger användning av samma inre produkt på kolumnerna i teckentabellen:

$\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{ G}(g)\right|,&{\mbox{ om }}g,h{\mbox{ är konjugerade }}\\0&{\mbox{ annars.}}\end{cases}}$

där summan är över alla de irreducerbara tecknen $\chi _{i}$ i G och symbolen $\left|C_{G}(g)\right|$ anger ordningen för centraliseraren av $g$ . Observera att eftersom g och h är konjugerade om de finns i samma kolumn i teckentabellen, innebär detta att kolumnerna i teckentabellen är ortogonala.

Ortogonalitetsrelationerna kan hjälpa många beräkningar inklusive:

• bryta ned ett okänt tecken som en linjär kombination av irreducerbara tecken;
• konstruera den fullständiga teckentabellen när endast några av de irreducerbara tecknen är kända;
• hitta order från centraliserare av representanter för konjugationsklasserna i en grupp; och
• hitta ordningen på gruppen.

Koordinater uttalande

Låt $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}$ vara ett matriselement av en irreducerbar matrisrepresentation $\Gamma ^{ (\lambda )}$ av en ändlig grupp $G=\{R\}$ av ordningen | G |, dvs G har | G | element. Eftersom det kan bevisas att vilken matrisrepresentation som helst av vilken ändlig grupp som helst är ekvivalent med en enhetsrepresentation , antar vi att $\Gamma ^{(\lambda )}$ är enhetlig:

$\sum _{n=1}^{l_{ \lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk }\quad {\hbox{för alla}}\quad R\in G,$

där $l_{\lambda }$ är den (ändliga) dimensionen av den irreducerbara representationen $\Gamma ^{(\lambda )}$ .

Ortogonalitetsrelationerna , endast giltiga för matriselement av irreducerbara representationer , är:

$\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu) }(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }} }.$

Här är $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}$ det komplexa konjugatet av ${ \displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,}$ och summan är över alla element i G . Kronecker deltat $\delta _{\lambda \mu }$ är enhet om matriserna är i samma irreducerbara representation $\Gamma ^{(\lambda ) }=\Gamma ^{(\mu )}$ . Om $\Gamma ^{(\lambda )}$ och $\Gamma ^{(\mu )}$ är icke-ekvivalenta är det noll. De andra två Kronecker-deltan anger att rad- och kolumnindexen måste vara lika ( $n=n'$ och ${\displaystyle m=m'} )$ för att få en icke-försvinnande resultat. Denna sats är också känd som den stora (eller stora) ortogonalitetssatsen.

Varje grupp har en identitetsrepresentation (alla gruppelement mappas till det reella talet 1). Detta är en irreducerbar representation. De stora ortogonalitetsrelationerna antyder det omedelbart

$\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0$

för $n,m=1,\ldots ,l_{\mu }$ och eventuell irreducerbar representation $\Gamma ^{(\mu )}\ ,$ inte lika med identitetsrepresentationen.

Exempel på permutationsgruppen på 3 objekt

Den 3! permutationer av tre objekt bildar en grupp av ordning 6, vanligen betecknad S ₃ ( symmetrisk grupp ). Denna grupp är isomorf till punktgruppen ${\displaystyle C_{3v}} ,$ bestående av en trefaldig rotationsaxel och tre vertikala spegelplan. Grupperna har en 2-dimensionell irreducerbar representation ( l = 2). I fallet med S ₃ betecknar man vanligtvis denna representation med Young-tabellen $\lambda =[2,1]$ och i fallet med $C_{3v}$ man brukar skriva $\lambda =E$ . I båda fallen består representationen av följande sex reella matriser, som var och en representerar ett enda gruppelement:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix} }}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2 }}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3 }}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix} -{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1 }{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\ {\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}$

Normaliseringen av (1,1) elementet:

$\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2 }+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2 }+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.$

På samma sätt kan man visa normaliseringen av de andra matriselementen: (2,2), (1,2) och (2,1). Ortogonaliteten för (1,1) och (2,2) elementen:

$\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma ( R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2} }\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{ 2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.$

Liknande relationer gäller för ortogonaliteten av elementen (1,1) och (1,2), etc. Man verifierar lätt i exemplet att alla summor av motsvarande matriselement försvinner på grund av ortogonaliteten hos den givna irreducerbara representationen till identitetsrepresentationen .

Direkta konsekvenser

Spåret av en matris är summan av diagonala matriselement ,

$\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\summa _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}.$

Samlingen av spår är tecknet ${\displaystyle \chi \equiv \{\operatörsnamn {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}} av en representation$ . Ofta skriver man för spåret av en matris i en irreducerbar representation med tecknet $\chi ^{(\lambda )}$

$\chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatörsnamn {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right).$

I denna notation kan vi skriva flera teckenformler:

$\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)= \delta _{\lambda \mu }|G|,$

vilket gör att vi kan kontrollera om en representation är irreducerbar eller inte. (Formeln betyder att raderna i alla teckentabeller måste vara ortogonala vektorer.) Och

$\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda ) }|G|,$

vilket hjälper oss att bestämma hur ofta den irreducerbara representationen $\Gamma ^{(\lambda )}$ finns i den reducerbara representationen $\Gamma \,$ med tecknet ${\ displaystyle \chi (R)}$ .

Till exempel om

$n^{(\lambda )}\,|G|=96$

och ordningen på gruppen är

$|G|=24\,$

är antalet gånger som $\Gamma ^{(\lambda )}\,$ ingår i den givna reducerbara representationen $\Gamma \,$

$n^{(\lambda )}=4\,.$

Se Karaktärsteori för mer om gruppkaraktärer.

Kompakta grupper

Generaliseringen av ortogonalitetsrelationerna från finita grupper till kompakta grupper (som inkluderar kompakta Lie-grupper som SO(3)) är i grunden enkel: Ersätt summan över gruppen med en integration över gruppen.

Varje kompakt grupp $G$ har ett unikt bi-invariant Haar-mått , så att gruppens volym är 1. Beteckna detta mått med $dg$ . Låt $(\pi ^{\alpha })$ vara en komplett uppsättning irreducerbara representationer av $G$ , och låt ${\displaystyle \phi _{v,w}^{\alpha }(g)=\langle v,\pi ^{\alpha }(g)w\rangle } vara en$ matriskoefficient för representationen $\pi ^{\alpha }$ . Ortogonalitetsrelationerna kan då anges i två delar:

1) Om $\pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }$ så

$\int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0$

2) Om $\{e_{i}\}$ är en ortonormal bas för representationsutrymmet $\pi ^{\alpha }$ så

$\int _{G}\phi _{ e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g){\overline {\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)}}dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}{\frac {1}{d^{\alpha }}}$

där $d^{\alpha }$ är dimensionen för $\pi ^{\alpha }$ . Dessa ortogonalitetsrelationer och det faktum att alla representationer har ändliga dimensioner är konsekvenser av Peter-Weyl-satsen .

Ett exempel SO(3)

Ett exempel på en r = 3 parametergrupp är matrisgruppen SO(3) som består av alla 3 x 3 ortogonala matriser med enhetsdeterminant. En möjlig parametrisering av denna grupp är i termer av Euler-vinklar: $\mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )$ (se t.ex. den här artikeln för explicit form av ett element av SO(3) i termer av Euler-vinklar). Gränserna är $0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi$ och $0\leq \beta \leq \pi$ .

Inte bara receptet för beräkningen av volymelementet $\omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_ {r}$ beror på de valda parametrarna, men också på slutresultatet, dvs den analytiska formen av viktfunktionen (mått) $\omega (\mathbf {x} )$ .

Till exempel ger Euler-vinkelparametriseringen av SO(3) vikten $\omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \ ,,$ medan n, ψ parametriseringen ger vikten $\omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1 -\cos \psi )\sin \!\theta \,$ med $0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi .$

Det kan visas att de irreducerbara matrisrepresentationerna av kompakta Lie-grupper är ändliga dimensionella och kan väljas att vara enhetliga:

$\Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R )^{\dolk }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dolk }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}( R)_{nm}^{*}.$

Med stenografisk notation

$\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}$

ortogonalitetsrelationerna tar formen

$\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r }^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{ n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm '}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},$

med gruppens volym:

$|G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{ r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.$

Som ett exempel noterar vi att de irreducerbara representationerna av SO(3) är Wigner D-matriser ${\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )} ,$ som har dimension $2\ell +1$ . Eftersom

$|\mathrm {SO} (3)|=\int _{0}^{2\pi }d\ alfa \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi}d\gamma =8\pi ^{2},$

de tillfredsställer

$\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \ gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d \beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1 }}.$

Anteckningar

Varje fysiskt eller kemiskt orienterad bok om gruppteori nämner ortogonalitetsrelationerna. Följande mer avancerade böcker ger bevisen:

• M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems , Addison-Wesley, Reading (1962). (Återtryckt av Dover).
• W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications , Academic Press, New York (1972).
• JF Cornwell, Group Theory in Physics , (Tre volymer), Volym 1, Academic Press, New York (1997).

Följande böcker ger mer matematiskt benägna behandlingar:

•     Serre, Jean-Pierre (1977). Linjära representationer av ändliga grupper . New York: Springer-Verlag. s. 13-20 . ISBN 0387901906 . ISSN 0072-5285 . OCLC 2202385 .
•    Sengupta, Ambar N. (2012). Representera ändliga grupper, en halvenkel introduktion . Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8 . OCLC 875741967 .