Weyls teorem om fullständig reducerbarhet

Inom algebra är Weyls teorem om fullständig reducerbarhet ett grundläggande resultat i teorin om Lie-algebra-representationer (särskilt i representationsteorin för semisimple Lie-algebra) . Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en halvenkel Lie-algebra över ett fält med karakteristisk noll. Satsen säger att varje änddimensionell modul över ${\mathfrak {g}}$ är semisenkel som en modul (dvs en direkt summa av enkla moduler.)

Den omslutande algebra är halvenkel

Weyls sats antyder (i själva verket är ekvivalent med) att den omslutande algebra för en finitdimensionell representation är en halvenkel ring på följande sätt.

Givet en änddimensionell Lie-algebra-representation ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)} ,$ låt $A\subset \operatorname {End} (V)$ vara den associativa subalgebra till endomorfismalgebra av V genererad av $\pi ({\mathfrak {g}})$ . Ringen A kallas omslutande algebra för $\pi$ . Om $\pi$ är halvenkel, så är A halvenkel. (Bevis: Eftersom A är en finitdimensionell algebra är det en artinisk ring; speciellt Jacobson-radikalen J är nilpotent. Om V är enkel, så innebär ${\displaystyle JV\subset V} att$$JV=0$ I allmänhet dödar J varje enkel undermodul av V , i synnerhet dödar J V och därför är J noll.) Omvänt, om A är halvenkel, så är V en halvenkel A -modul; dvs halvenkel som en ${\mathfrak {g}}$ -modul. (Observera att en modul över en halvenkel ring är semisenkel eftersom en modul är en kvot av en fri modul och "halvenkel" bevaras under de fria och kvoterade konstruktionerna.)

Användning: bevarande av Jordans nedbrytning

Här är en typisk applikation.

Proposition — Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en halvenkel änddimensionell Lie-algebra över ett fält med karakteristisk noll.

1. Det finns ett unikt par av element $x_{s},x_{n}$ i ${\mathfrak {g}}$ så att $x=x_{s}+x_{n}$ , $\operatorname {ad} (x_{s})$ är halvenkel, $\operatorname {ad } (x_{n})$ är nilpotent och $[x_{s},x_{n}]=0$ .
2. Om $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ är en ändlig dimensionell representation, då är $\pi (x)_{s}=\pi (x_{s})$ och $\pi (x)_{n }=\pi (x_{n})$ , där $\pi (x)_{s},\pi (x)_{n}$ betecknar Jordanien nedbrytning av de semisimpla och nilpotenta delarna av endomorfismen $\pi (x)$ .

Kort sagt, de semisenkla och nilpotenta delarna av ett element av ${\mathfrak {g}}$ är väldefinierade och bestäms oberoende av en trogen finitdimensionell representation.

Bevis : Först bevisar vi specialfallet för (i) och (ii) när $\pi$ är inkluderingen; dvs, ${\mathfrak {g}}$ är en subalgebra av ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}( V)$ . Låt $x=S+N$ vara Jordan-nedbrytningen av endomorfismen $x$ , där $S,N$ är semisimpla och nilpotenta endomorfismer i ${ \displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ . Nu har $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)$ också Jordan-nedbrytningen, som kan visas (se Jordan– Chevalley-nedbrytning#Lie algebras ) för att respektera ovanstående Jordan-nedbrytning; dvs $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatörsnamn {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)$ är de halvenkla och nilpotenta delarna av $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}} _{n}}(x)$ . Eftersom $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatörsnamn {ad} _ {{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)$ är polynom i $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}} (x)$ då ser vi $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n} }(S),\operatörsnamn {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ . De är alltså härledningar av ${\mathfrak {g}}$ . Eftersom ${\mathfrak {g}}$ är halvenkel, kan vi hitta element $s,n$ i ${\mathfrak {g}}$ så att $[y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}$ och liknande för $n$ . Låt nu A vara omslutande algebra för ${\mathfrak {g}}$ ; dvs subalgebra av endomorfism algebra av V genererad av ${\mathfrak {g}}$ . Som noterats ovan har A noll Jacobson-radikal. Eftersom $[y,Nn]=0$ ser vi att $Nn$ är ett nilpotent element i mitten av A . Men i allmänhet tillhör en central nilpotent Jacobson-radikalen; därför är $N=n$ och därmed också $S=s$ . Detta bevisar det speciella fallet.

I allmänhet är $\pi (x)$ semisimple (resp. nilpotent) när $\operatorname {ad} (x)$ är semisimple (resp. nilpotent). Detta ger omedelbart (i) och (ii). $\square$

Bevis

Analytiskt bevis

Weyls originalbevis (för komplexa halvenkla Lie-algebras) var analytiskt till sin natur: det använde det känt unitariska tricket . Specifikt kan man visa att varje komplex semisenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är komplexiseringen av Lie-algebra av en enkelt sammankopplad kompakt Lie-grupp $K$ . (Om till exempel ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )} ,$ då $K=\mathrm {SU} (n)$ .) Givet en representation $\pi$ av ${\mathfrak {g}}$ på ett vektorrum $V,$ kan man först begränsa $\pi$ till Lie algebra ${\mathfrak {k}}$ av $K$ . Sedan, eftersom $K$ helt enkelt är ansluten , finns det en associerad representation $\Pi$ av $K$ . Integration över $K$ ger en inre produkt på $V$ för vilken $\Pi$ är enhetlig. Fullständig reducerbarhet av $\Pi$ är då omedelbar och elementära argument visar att den ursprungliga representationen $\pi$ av ${\mathfrak {g}}$ också är fullständigt reducerbar.

Algebraiskt bevis 1

Låt $(\pi ,V)$ vara en finitdimensionell representation av en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ över ett fält med karakteristisk noll. Satsen är en lätt följd av Whiteheads lemma , som säger $V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v \mapsto \cdot v$ är surjektiv, där en linjär karta $f:{\mathfrak {g}}\to V$ är en härledning om $f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)$ . Beviset beror i huvudsak på Whitehead.

Låt $W\subset V$ vara en underrepresentation. Betrakta vektordelrummet $L_{W}\subset \operatorname {End} (V)$ som består av alla linjära kartor $t:V\to V$ så att $t(V)\subset W$ och $t(W)=0$ . Den har en struktur av en ${\mathfrak {g}}$ -modul ges av: för $x\in {\mathfrak {g}},t\in L_ {W}$ ,

$x\cdot t=[\pi (x),t]$ .

Välj nu någon projektion $p:V\to V$ på W och betrakta $f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}$ given av $f(x)=[p,\pi (x)]$ . Eftersom $f$ är en härledning, med Whiteheads lemma, kan vi skriva $f(x)=x\cdot t$ för vissa $t\ i L_{W}$ . Vi har då $[\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}$ ; det vill säga $p+t$ är ${\mathfrak {g}}$ -linjär. Dessutom, eftersom t dödar $W$ , är $p+t$ en idempotent så att $(p+t)(V)=W$ . Kärnan i $p+t$ är då en komplementär representation till $W$ . $\square$

Se även Weibels homologiska algebrabok.

Algebraiskt bevis 2

Whiteheads lemma bevisas typiskt med hjälp av det kvadratiska Casimir-elementet i den universella omslutande algebra, och det finns också ett bevis för satsen som använder Casimir-elementet direkt istället för Whiteheads lemma.

Eftersom det kvadratiska Casimir-elementet $C$ är i centrum av den universella omslutande algebra, säger Schurs lemma att $C$ fungerar som multipla $c_{\lambda }$ av identiteten i den irreducerbara representationen av ${\mathfrak {g}}$ med högst vikt $\lambda$ . En nyckelpunkt är att fastställa att $c_{\lambda }$ är icke-noll närhelst representationen är icke-trivial. Detta kan göras med ett allmänt argument eller med den explicita formeln för $c_{\lambda }$ .

Betrakta ett mycket speciellt fall av satsen om fullständig reducerbarhet: fallet där en representation $V$ innehåller ett icke-trivialt, irreducerbart, invariant delrum $W$ av kodimension ett. Låt $C_{V}$ beteckna åtgärden av $C$ på $V$ . Eftersom $V$ inte är irreducerbar, är $C_{V}$ inte nödvändigtvis en multipel av identiteten, utan det är en självsammanflätande operator för $V$ . Då är begränsningen av $C_{V}$ till $W$ en multipel som inte är noll av identiteten. Men eftersom kvoten $V/W$ är en endimensionell – och därför trivial – representation av ${\mathfrak {g}}$ , är verkan av $C$ på kvoten är trivialt. Det följer då lätt att $C_{V}$ måste ha en kärna som inte är noll – och kärnan är ett invariant delrum, eftersom $C_{V}$ är en självintertwiner. Kärnan är då ett endimensionellt invariant delrum, vars skärningspunkt med $W$ är noll. Således $\mathrm {ker} (V_{C})$ ett invariant komplement till $W$ , så att $V$ bryts ner som en direkt summa av irreducerbara delutrymmen:

$V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})$ .

Även om detta bara fastställer ett mycket speciellt fall av det önskade resultatet, är detta steg faktiskt det kritiska i det allmänna argumentet.

Algebraiskt bevis 3

Satsen kan härledas från teorin om Verma-moduler , som kännetecknar en enkel modul som en kvot av en Verma-modul med en maximal undermodul . Detta tillvägagångssätt har en fördel att det kan användas för att försvaga antagandena om ändlig dimensionalitet (om algebra och representation).

Låt $V$ vara en ändlig-dimensionell representation av en ändlig-dimensionell halvenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ över ett algebraiskt slutet fält med karakteristisk noll. Låt ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}$ vara Borel-subalgebra bestäms av ett val av en Cartan-subalgebra och positiva rötter. Låt $V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}$ . Då $V^{0}$ en ${\mathfrak {h}}$ -modul och har således ${\mathfrak {h}}$ -viktsrymdsupplösning:

$V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}$

där $L\subset {\mathfrak {h}}^{*}$ . För varje $\lambda \in L$ , välj $0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }$ och $V ^{\lambda }\subset V$$V'\subset V$ { $\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ -undermodulen genererad av $v_{\lambda }$ och g ${\mathfrak {g}}$ -undermodulen genererad av $\displaystyle V^{0}}$ . Vi hävdar: $V=V'$ . Antag att $V\neq V'$ . Enligt Lies teorem finns det en ${\mathfrak {b}}$ -viktsvektor i $V/V'$ ; sålunda kan vi hitta en ${\mathfrak {h}}$ -viktsvektor $v$ så att $0\neq e_{i}(v )\in V'$ för vissa $e_{i}$ bland Chevalley-generatorerna . Nu $e_{i}(v)$ vikten $\mu +\alpha _{i}$ . Eftersom $L$ är delvis ordnad, finns det en $\lambda \in L$ så att $\lambda \geq \mu +\alpha _{i}$ ; dvs $\lambda >\mu$ . Men detta är en motsägelse eftersom $\lambda ,\mu$ båda är primitiva vikter (det är känt att de primitiva vikterna är ojämförliga. [ ). På liknande sätt är varje $V^{\lambda }$ enkel som en ${\mathfrak {g}}$ -modul. Ja, om det inte är enkelt, så innehåller $V_{\mu }^{0}$ för vissa ${\displaystyle \mu <\lambda } ,$ någon vektor som inte är noll som inte är en högsta- viktvektor; återigen en motsägelse. $\square$

externa länkar

• Ett blogginlägg av Akhil Mathew

•   Hall, Brian C. (2015). Lögngrupper, lögnalgebror och representationer: en grundläggande introduktion . Examentexter i matematik. Vol. 222 (andra upplagan). Springer. ISBN 978-3319134666 .
•   Humphreys, James E. (1973). Introduktion till lögnalgebror och representationsteori . Examentexter i matematik. Vol. 9 (Andra tryckningen, reviderad upplaga). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5 .
•   Jacobson, Nathan , Lie algebras , republikering av 1962 års original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
•   Kac, Victor (1990). Oändligt dimensionella Lie-algebror (3:e upplagan). Cambridge University Press . ISBN 0-521-46693-8 .
•   Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction , Progress in Mathematics, vol. 140 (andra upplagan), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5
• Weibel, Charles A. (1995). En introduktion till homologisk algebra . Cambridge University Press.