Gieseking grenrör

Inom matematik är Gieseking -grenröret ett cusped hyperboliskt 3-grenrör med finit volym. Den är icke-orienterbar och har den minsta volymen bland icke-kompakta hyperboliska grenrör, med volym ungefär $V\approx 1,0149416$ . Den upptäcktes av Hugo Gieseking ( 1912 ). Volymen kallas Gieseking konstant och har en sluten form,

${\display operatornamn {Cl} _{2}\left({\tfrac {1}{3}}\pi \right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(\summa _ {n=0}^{\infty }{\frac {1}{(3n+1)^{2}}}-\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{( 3n+2)^{2}}}\right)=1,0149416\dots }$

med Clausen-funktionen $\operatorname {Cl} _{2}\left(\varphi \right)$ . Jämför med den relaterade katalanska konstanten som också manifesterar sig som en volym,

$K=\operatörsnamn {Cl} _{2}\left({\tfrac {1}{2}}\pi \right)=\summa _{n=0}^{\ infty }{\frac {1}{(4n+1)^{2}}}-\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+3)^{2} }}=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=0,91596559\dots$

Gieseking-grenröret kan konstrueras genom att ta bort hörnen från en tetraeder och sedan limma ihop ansiktena i par med affin-linjära kartor. Märk topparna 0, 1, 2, 3. Limma ansiktet med hörn 0,1,2 på ansiktet med hörn 3,1,0 i den ordningen. Limma ansiktet 0,2,3 till ansiktet 3,2,1 i den ordningen. I den hyperboliska strukturen hos Giesekings grenrör är denna ideala tetraeder den kanoniska polyedriska nedbrytningen av David BA Epstein och Robert C. Penner. Dessutom är vinkeln som skapas av ytorna $\pi /3$ . Trianguleringen har en tetraeder, två ytor, en kant och inga hörn, så alla kanter på den ursprungliga tetraedern är sammanlimmade.

Gieseking-grenröret har ett dubbelt hölje som är homeomorft till komplementet med åtta-knutarna . Det underliggande kompakta grenröret har en Klein-flaskgräns , och den första homologigruppen i Gieseking-grenröret är heltal.

Gieseking-grenröret är ett fiberknippe över cirkeln med fiber den $(x,y)\to (x+y,x).$ gång punkterade torusen och monodromin som ges av Kvadraten på denna karta är Arnolds kattkarta och detta ger ett annat sätt att se att Giesekings grenrör är dubbelt täckt av komplementet till åttafiguren Knut.

Se även

• Lista över matematiska konstanter

•   Gieseking, Hugo (1912), Analytische Untersuchungen über Topologische Gruppen , Thesis, Muenster, JFM 43.0202.03
•    Adams, Colin C. (1987), "The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volym", Proceedings of the American Mathematical Society , 100 (4): 601–606, doi : 10.2307/2046691 , ISSN 0002-92 939 094 , 4MR 394
•   Epstein, David BA ; Penner, Robert C. (1988). "Euklidiska nedbrytningar av icke-kompakta hyperboliska grenrör" . Journal of Differential Geometry . 27 (1): 67–80. doi : 10.4310/jdg/1214441650 . MR 0918457 .