Förbildssats

Inom matematiken , särskilt inom differentiell topologi , är preimage -satsen en variant av den implicita funktionssatsen om förbilden av särskilda punkter i en mångfald under inverkan av en jämn karta .

Uttalande av sats

Definition. Låt $f:X\to Y$ vara en jämn karta mellan grenrör. Vi säger att en punkt $y\in Y$ är ett regelbundet värde på $f$ om för alla $x\in f^{-1} (y)$ kartan $df_{x}:T_{x}X\to T_{y}Y$ är surjektiv . Här är $T_{x}X$ och $y}Y}$ { tangentrymden för $X$ och $Y$ i punkterna ${ \displaystyle x}$ och $y.$

Sats. Låt $f:X\to Y$ vara en jämn karta, och låt $y\in Y$ vara ett regelbundet värde på $f.$ Då är $f^{-1}(y)$ en undergren av $X.$ Om $y\in {\text{im}}(f),$ då kodimensionen för $f^{-1 }(y)$ är lika med dimensionen för $Y.$ Dessutom är tangentrymden för $f^{-1}(y)$ vid $x$ lika med $\ker(df_{x}).$

Det finns också en komplex version av denna sats:

Sats. Låt $X^{n}$ och $Y^{m}$ vara två komplexa grenrör med komplexa dimensioner $n>m.$ Låt $g:X\to Y$ vara en holomorf karta och låt $y\in {\text{im}}( g)$ vara sådan att ${\text{rank}}(dg_{x})=m$ för alla $x\in g^{-1}(y).$ Då är $g^{-1}(y)$ en komplex undergren av $X$ av komplex dimension $nm.$

Se även

• Fiber (matematik) – Uppsättning av alla punkter i en funktions domän som alla mappar till någon enskild given punkt
• Nivåuppsättning – Delmängd av en funktions domän där dess värde är lika