Pretopologiskt utrymme

I allmän topologi är ett pretopologiskt utrymme en generalisering av begreppet topologiskt utrymme . Ett pretopologiskt utrymme kan definieras i termer av antingen filter eller en preclosure-operatör . Den liknande, men mer abstrakta, föreställningen om en Grothendieck-pretopologi används för att bilda en Grothendieck-topologi och behandlas i artikeln om det ämnet.

Låt $X$ vara en mängd. Ett grannskapssystem för en pretopologi på $X$ är en samling filter $N(x),$ ett för varje element $x$ av $X$ såsom att varje uppsättning i $N(x)$ innehåller $x$ som medlem. Varje element i $N(x)$ kallas en grannskap av $x.$ Ett pretopologiskt utrymme är då en uppsättning utrustad med ett sådant grannskapssystem.

Ett nät $x_{\alpha }$ konvergerar till en punkt $x$ i $X$ om $x_{\alpha }$ så småningom finns i varje grannskap av $x.$

Ett pretopologiskt utrymme kan också definieras som $(X,\operatornamn {cl} ),$ en uppsättning $X$ med en preclosure-operator ( Čech closure operator ) $\operatorname {cl} .$ De två definitionerna kan visas vara likvärdiga enligt följande: definiera stängningen av en uppsättning $S$ i $X$ för att vara uppsättningen av alla punkter ${ \displaystyle x}$ så att något nät som konvergerar till $x$ så småningom är i $S.$ Då kan den stängningsoperatorn visas för att uppfylla axiomen för en förslutningsoperator. Omvänt, låt en uppsättning $S$ vara en grannskap av $x$ om $x$ inte är i avslutningen av komplementet till $S.$ Uppsättningen av alla sådana stadsdelar kan visas vara ett grannskapssystem för en pretopologi.

Ett pretopologiskt utrymme är ett topologiskt utrymme när dess stängningsoperator är idempotent .

En karta $f:(X,\operatörsnamn {cl} )\till (Y,\operatörsnamn {cl} ')$ mellan två pretopologiska rum är kontinuerlig om den uppfyller för alla delmängder $A\subseteq X,$

$$f(\operatörsnamn {cl} (A))\subseteq \operatörsnamn {cl} '(f(A)).$$

Se även

• Kuratowski stängningsaxiom – matematiskt koncept Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Snyggt utrymme
• Konvergensutrymme – Generalisering av begreppet konvergens som finns i allmän topologi
• Närhetsutrymme – Struktur som beskriver en föreställning om "närhet" mellan delmängder

• E. Čech, Topological Spaces , John Wiley and Sons, 1966.
• D. Dikranjan och W. Tholen, Categorical Structure of Closure Operators , Kluwer Academic Publishers, 1995.
• S. MacLane, I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic , Springer Verlag, 1992.

externa länkar

• Rekombinationsutrymmen, metriker och pretopologier BMR Stadler, PF Stadler, M. Shpak., och GP Wagner. (Se särskilt bilaga A.)
• Slutna uppsättningar och stängningar i Pretopology M. Dalud-Vincent, M. Brissaud och M Lamure. 2009 .