Helmholtz satser

Inom vätskemekanik beskriver Helmholtz satser , uppkallade efter Hermann von Helmholtz , vätskans tredimensionella rörelse i närheten av virvellinjer . Dessa satser gäller för inviscid flöden och flöden där inverkan av viskösa krafter är liten och kan ignoreras.

Helmholtz tre satser är följande:

Helmholtz första sats: Styrkan hos en virvellinje är konstant längs dess längd.
Helmholtz andra sats: En virvellinje kan inte sluta i en vätska; den måste sträcka sig till vätskans gränser eller bilda en sluten bana.
Helmholtz tredje sats: Ett flytande element som initialt är irroterande förblir irroterande.

Helmholtz satser gäller för inviscid flöden. Vid observationer av virvlar i verkliga vätskor avtar virvlarnas styrka alltid gradvis på grund av den avledande effekten av viskösa krafter .

Alternativa uttryck för de tre satserna är följande:

Styrkan hos ett virvelrör varierar inte med tiden.
Vätskeelement som ligger på en virvellinje vid något ögonblick fortsätter att ligga på den virvellinjen. Enklare, virvellinjer rör sig med vätskan. Även virvellinjer och rör måste framstå som en sluten slinga, sträcka sig till oändligheten eller starta/sluta vid fasta gränser.
Vätskeelement som initialt är fria från vorticitet förblir fria från virvel.

Helmholtz satser har tillämpning för att förstå:

Helmholtz satser är nu allmänt bevisade med hänvisning till Kelvins cirkulationssats . Men Helmholtz satser publicerades 1858, nio år före 1867 års publicering av Kelvins sats.

Anteckningar

^ Kuethe och Schetzer, grunder av aerodynamik , delar upp 2.14
^ Styrkan hos ett virvelrör ( cirkulation ) definieras som: $\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA =\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$ där $displaystyle \Gamma }$ \ också är cirkulationen, ${\vec {\omega }}$ är virvelvektorn , ${\vec {n}}$ är normalvektorn till en yta A , bildad genom att ta ett tvärsnitt av virvelröret med elementarea dA , ${\vec {u}}$ är hastighetsvektorn på den slutna kurvan C , som begränsar ytan A . Konventionen för att definiera cirkulationskänslan och normalen till ytan A ges av högerskruvregeln . Den tredje satsen säger att denna styrka är densamma för alla tvärsnitt A av röret och är oberoende av tid. Detta motsvarar att säga ${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$
^ Helmholtz, H. (1858). "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 55 : 25–55. ISSN 0075-4102 .

MJ Lighthill, An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics , Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853630-5
PG Saffman , Vortex Dynamics , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-42058-X
GK Batchelor , An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press (1967, omtryckt 2000).
Kundu, P och Cohen, I, Fluid Mechanics , 2:a upplagan, Academic Press 2002.
George B. Arfken och Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists , 4:e upplagan, Academic Press: San Diego (1995) s. 92–93
AM Kuethe och JD Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics , 2:a upplagan. John Wiley & Sons, Inc. New York ISBN 0-471-50952-3

[1] Kuethe och Schetzer, grunder av aerodynamik , delar upp 2.14

[2] Styrkan hos ett virvelrör ( cirkulation ) definieras som: $\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA =\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$ där $displaystyle \Gamma }$ \ också är cirkulationen, ${\vec {\omega }}$ är virvelvektorn , ${\vec {n}}$ är normalvektorn till en yta A , bildad genom att ta ett tvärsnitt av virvelröret med elementarea dA , ${\vec {u}}$ är hastighetsvektorn på den slutna kurvan C , som begränsar ytan A . Konventionen för att definiera cirkulationskänslan och normalen till ytan A ges av högerskruvregeln . Den tredje satsen säger att denna styrka är densamma för alla tvärsnitt A av röret och är oberoende av tid. Detta motsvarar att säga ${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$

[3] Helmholtz, H. (1858). "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 55 : 25–55. ISSN 0075-4102 .