Komplexa lamellära vektorfält
I vektorkalkyl är ett komplext lamellärt vektorfält ett vektorfält som är ortogonalt mot en familj av ytor. I det bredare sammanhanget av differentialgeometri kallas komplexa lamellära vektorfält oftare hypersurface-ortogonala vektorfält. De kan karakteriseras på ett antal olika sätt, varav många involverar krullen . Ett lamellärt vektorfält är ett specialfall som ges av vektorfält med noll curl.
Adjektivet "lamellär" kommer från substantivet "lamella", vilket betyder ett tunt lager. Lamellerna potential , eller i det komplexa fallet, ytorna ortogonala mot vektorfältet. Detta språk är särskilt populärt bland författare inom rationell mekanik .
Komplexa lamellära vektorfält
I vektorkalkyl är ett komplext lamellärt vektorfält ett vektorfält i tre dimensioner som är ortogonalt mot sin egen krullning . Det är,
Termen lamellärt vektorfält används ibland som en synonym för specialfallet med ett irroterande vektorfält , vilket betyder att
Komplexa lamellära vektorfält är just de som är normala för en familj av ytor. Ett irrotationsvektorfält är lokalt gradienten för en funktion och är därför ortogonalt mot familjen av jämna ytor (ekvipotentiella ytorna) . Vilket vektorfält som helst kan dekomponeras som summan av ett irrotationsvektorfält och ett komplext lamellfält.
Hyperyta-ortogonala vektorfält
Mer allmänt sägs ett vektorfält F på ett pseudo-riemannskt grenrör vara hyperytortogonalt om det genom en godtycklig punkt finns en jämnt inbäddad hyperyta som vid alla sina punkter är ortogonal mot vektorfältet. Med Frobenius-satsen motsvarar detta att kräva att Lie-parentesen för alla jämna vektorfält ortogonala mot F fortfarande är ortogonala mot F .
Villkoret för hyperyta-ortogonalitet kan omformuleras i termer av den differentiella 1-formen ω som är dubbel till F . Det tidigare givna Lie-parentesvillkoret kan omarbetas för att kräva att den yttre derivatan dω , när den utvärderas på två godtyckliga tangentvektorer som är ortogonala mot F , är noll. Detta kan också formuleras som kravet att det finns en slät 1-form vars kilprodukt med ω är lika med dω .
Alternativt kan detta skrivas som villkoret att differential 3-formen ω ∧ dω är noll. Detta kan också formuleras, i termer av Levi-Civita-kopplingen definierad av metriken, som att den kräver att den totalt antisymmetriska delen av 3-tensorfältet ω i ∇ j ω k är noll. Med en annan formulering av Frobenius-satsen är det också ekvivalent med att kräva att ω är lokalt uttryckbart som λ d u för vissa funktioner λ och u .
I det speciella fallet med vektorfält på tredimensionellt euklidiskt utrymme är det hyperyta-ortogonala tillståndet ekvivalent med det komplexa lamellära tillståndet, sett genom att skriva om ω ∧ dω i termer av Hodge-stjärnoperatorn som ∗⟨ω, ∗dω⟩ , där ∗dω är 1-formens dual till curl-vektorfältet.
Hypersurface-ortogonala vektorfält är särskilt viktiga i allmän relativitet , där (bland andra skäl) förekomsten av ett Killing vektorfält som är hypersurface-ortogonalt är ett av kraven för en statisk rumtid . I detta sammanhang kallas hypersurface-ortogonalitet ibland för irrotationalitet , även om detta är i konflikt med standardanvändningen i tre dimensioner. Ett annat namn är rotationsfrihet .
En ännu mer allmän uppfattning, på språket för Pfaffian systems , är den av en fullständigt integrerbar 1-form ω , vilket motsvarar villkoret ω ∧ dω = 0 enligt ovan. I det här sammanhanget finns det inget mått och därför finns det ingen uppfattning om "ortogonalitet".
Se även
Anteckningar
- ^ Panton 2013 , sid. 434.
- ^ Aris 1962 , sid. 64; Panton 2013 , avsnitt 17.4.
- ^ Aris 1962 , sid. 64.
- ^ Aris 1962 , sid. 66.
- ^ Aris 1962 , sid. 72; Panton 2013 , avsnitt 17.4.
- ^ a b O'Neill 1983 , Proposition 12.30.
- ^ Lee 2013 , Lemma 19.6.
- ^ Wald 1984 , bilaga B.3.
- ^ Flandern 1989 , s. 96–97; Stephani et al. 2003 , sid. 68.
- ^ Choquet-Bruhat, DeWitt-Morette & Dillard-Bleick 1982, sid. 247.
- ^ O'Neill 1983 , sid. 360; Stephani et al. 2003 ; Wald 1984 , avsnitt 6.1.
- ^ O'Neill 1983 , sid. 358.
- ^ Misner, Thorne & Wheeler 1973 , s. 123–124.
- ^ Choquet-Bruhat, DeWitt-Morette & Dillard-Bleick 1982 , avsnitt IV.C.6.
- Aris, Rutherford (1962). Vektorer, tensorer och vätskemekanikens grundläggande ekvationer . Återtryckt 1989. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-486-66110-5 . Zbl 0123.41502 .
- Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile ; Dillard-Bleick, Margaret (1982). Analys, grenrör och fysik (andra upplagan av 1977 års originalupplaga). Amsterdam–New York: North-Holland Publishing Co. ISBN 0-444-86017-7 . MR 0685274 . Zbl 0492.58001 .
- Flandern, Harley (1989). Differentialformer med ansökningar till fysik . Dover Books on Advanced Mathematics (andra upplagan av 1963 års originalupplaga). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-66169-5 . MR 1034244 .
- Lee, John M. (2013). Introduktion till släta grenrör . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 218 (andra upplagan av 2003 års originalupplaga). New York: Springer . doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9981-8 . MR 2954043 . Zbl 1258.53002 .
- Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco, Kalifornien: WH Freeman and Company . ISBN 0-7503-0948-2 . MR 0418833 . Zbl 1375.83002 .
- O'Neill, Barrett (1983). Semi-riemannsk geometri. Med tillämpningar till relativitetsteori . Ren och tillämpad matematik. Vol. 103. New York: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN 0-12-526740-1 . MR 0719023 . Zbl 0531.53051 .
- Panton, Ronald L. (2013). Inkompressibelt flöde (fjärde reviderade, utökade och uppdaterade upplagan av 1984 års originalupplaga). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons . ISBN 978-1-118-01343-4 . Zbl 1275.76001 .
- Stephani, Hans ; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Exakta lösningar av Einsteins fältekvationer . Cambridge Monographs on Mathematical Physics (andra upplagan av 1980 års originalutgåva). Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511535185 . ISBN 0-521-46136-7 . MR 2003646 . Zbl 1057.83004 .
- Truesdell, C .; Toupin, R. (1960). "De klassiska fältteorierna". I Flügge, S. (red.). Principer för klassisk mekanik och fältteori . Encyclopedia of Physics. Vol. III/1. Med bilaga om tensorfält av JL Ericksen . Berlin: Springer . s. 226–858. Bibcode : 1960HDP.....2..226T . doi : 10.1007/978-3-642-45943-6_2 . ISBN 978-3-540-02547-4 . MR 0118005 . Zbl 0118.39702 .
- Wald, Robert M. (1984). Allmän relativitetsteori . Chicago, IL: University of Chicago Press . doi : 10.7208/chicago/9780226870373.001.0001 . ISBN 0-226-87032-4 . MR 0757180 . Zbl 0549.53001 .