Geometrisk måttteori

Inom matematik är geometrisk måttteori ( GMT ) studiet av geometriska egenskaper hos mängder (typiskt i det euklidiska rummet ) genom måttteori . Det tillåter matematiker att utöka verktyg från differentialgeometri till en mycket större klass av ytor som inte nödvändigtvis är släta .

Historia

Geometrisk måttteori föddes ur önskan att lösa Plateaus problem (uppkallad efter Joseph Plateau ) som frågar om det för varje slät stängd kurva i $\mathbb {R} ^{3}$ finns en yta med minsta area bland alla ytor vars gräns är lika med den givna kurvan. Sådana ytor efterliknar tvålfilmer .

Problemet hade varit öppet sedan det ställdes upp 1760 av Lagrange . Det löstes oberoende på 1930-talet av Jesse Douglas och Tibor Radó under vissa topologiska restriktioner. År 1960 Herbert Federer och Wendell Fleming teorin om strömmar med vilken de kunde lösa problemet med den orienterbara platån analytiskt utan topologiska begränsningar, vilket gav upphov till geometrisk måttteori. Senare bevisade Jean Taylor efter Fred Almgren Plateaus lagar för den typ av singulariteter som kan förekomma i dessa mer allmänna såpfilmer och såpbubblor.

Viktiga föreställningar

Följande objekt är centrala i geometrisk måttteori:

Hausdorffmått och Hausdorffdimension
Likriktbara mängder (eller radonmått ), som är mängder med minsta möjliga regelbundenhet som krävs för att tillåta ungefärliga tangentrum .
Karakterisering av likriktbarhet genom att det finns ungefärliga tangenter, densiteter, projektioner etc.
Ortogonala projektioner, Kakeya-uppsättningar , Besicovitch-uppsättningar
Enhetlig korrigerbarhet
Liktbarhet och enhetlig likriktbarhet av (underuppsättningar av) metriska utrymmen , t.ex. SubRiemannska grenrör, Carnot-grupper, Heisenberg-grupper, etc.
Kopplingar till singulära integraler, Fouriertransform, Frostman-mått, övertonsmått osv
Strömmar , en generalisering av begreppet orienterade grenrör , eventuellt med gräns .
Platta kedjor, en alternativ generalisering av begreppet grenrör , eventuellt med gräns .
Caccioppoli-mängder (även känd som uppsättningar av lokalt ändlig omkrets), en generalisering av begreppet grenrör som divergenssatsen gäller.
Platåtypsminimeringsproblem från variationskalkyl

Följande teorem och begrepp är också centrala:

Areaformeln , som generaliserar begreppet förändring av variabler i integration.
Koareaformeln , som generaliserar och anpassar Fubinis sats till geometrisk måttteori.
Den isoperimetriska olikheten , som säger att minsta möjliga omkrets för ett givet område är en rund cirkel .
Platt konvergens , som generaliserar begreppet mångfaldig konvergens.

Exempel

Brunn -Minkowski-ojämlikheten för de n -dimensionella volymerna av konvexa kroppar K och L ,

\mathrm { vol} {\big (}(1-\lambda )K+\lambda L{\big )}^{1/n}\geq (1-\lambda )\mathrm {vol} (K)^{1/n} +\lambda \,\mathrm {vol} (L)^{1/n},

kan bevisas på en enda sida och ger snabbt den klassiska isoperimetriska olikheten . Brunn–Minkowski-ojämlikheten leder också till Andersons teorem i statistik. Beviset för Brunn–Minkowski-ojämlikheten går före modern måttteori; utvecklingen av måttteorin och Lebesgue-integrationen gjorde det möjligt att göra kopplingar mellan geometri och analys, i den utsträckningen att i en integrerad form av Brunn-Minkowski-ojämlikheten känd som Prékopa- Leindler-ojämlikheten, verkar geometrin nästan helt saknas.

Se även

Federer, Herbert ; Fleming, Wendell H. (1960), "Normal and integral currents", Annals of Mathematics , II, 72 ( 4): 458–520, doi : 10.2307/1970227 JSTOR 1970227 , MR 0123260 301 307 Z.bl 301 Z.bl. , Det första papper från Federer och Fleming som illustrerar deras inställning till teorin om perimeter baserad på teorin om strömmar .
Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory , serie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., s. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 , MR 0257325
Federer, H. (1978), "Colloquium lectures on geometric measure theory", Bull. Amer. Matematik. Soc. , 84 (3): 291–338, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14462-0
Fomenko, Anatoly T. (1990), Variational Principles in Topology (Multidimensional Minimal Surface Theory) , Mathematics and its Applications (Book 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308
Gardner, Richard J. (2002), "The Brunn-Minkowski ojämlikhet", Bull. Amer. Matematik. Soc. (NS) , 39 (3): 355–405 (elektronisk), doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 , ISSN 0273-0979 , MR 1898210
Mattila, Pertti (1999), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces , London: Cambridge University Press, sid. 356, ISBN 978-0-521-65595-8
Morgan, Frank (2009), Geometric measure theory: A beginner's guide (Fourth ed.), San Diego, California: Academic Press Inc., s. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9 , MR 2455580
Taylor, Jean E. (1976), "The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces", Annals of Mathematics , Second Series, 103 (3): 489–539, doi : 10.2307/ 1970949 , JSTOR 1970949 , MR 0428181 .
O'Neil, TC (2001) [1994], "Geometric measure theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

externa länkar