Representationsteori för den symmetriska gruppen

I matematik är representationsteorin för den symmetriska gruppen ett särskilt fall av representationsteorin för ändliga grupper, för vilken en konkret och detaljerad teori kan erhållas. Detta har ett stort område av potentiella tillämpningar, från symmetrisk funktionsteori till kvantkemistudier av atomer, molekyler och fasta ämnen.

Den symmetriska gruppen S _n har ordningen n !. Dess konjugationsklasser är märkta med partitioner av n . Därför enligt representationsteorin för en ändlig grupp är antalet olikvärdiga irreducerbara representationer , över de komplexa talen , lika med antalet partitioner av n . Till skillnad från den allmänna situationen för finita grupper finns det faktiskt ett naturligt sätt att parametrisera irreducibla representationer med samma uppsättning som parametriserar konjugationsklasser, nämligen genom partitioner av n eller motsvarande Unga diagram av storlek n .

Varje sådan irreducerbar representation kan faktiskt realiseras över heltal (varje permutation verkar av en matris med heltalskoefficienter); det kan uttryckligen konstrueras genom att beräkna Young-symmetrisörerna som verkar på ett utrymme som genereras av Young-tablåerna av form som ges av Young-diagrammet. Dimensionen $d_{\lambda }$ för representationen som motsvarar Young-diagrammet $\lambda$ ges av kroklängdsformeln .

Till varje irreducerbar representation ρ kan vi associera ett irreducerbart tecken, χ ^ρ . För att beräkna χ ^ρ (π) där π är en permutation kan man använda den kombinatoriska Murnaghan–Nakayama-regeln . Observera att χ ^ρ är konstant på konjugationsklasser, det vill säga χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ⁻¹ πσ) för alla permutationer σ.

Över andra områden kan situationen bli mycket mer komplicerad. Om fältet K har karakteristik lika med noll eller större än n så är enligt Maschkes sats gruppalgebra K S _n semisenkel . I dessa fall ger de irreducerbara representationerna definierade över heltalen den kompletta uppsättningen av irreducerbara representationer (efter reduktion modulo karakteristiken om nödvändigt).

De irreducerbara representationerna av den symmetriska gruppen är emellertid inte kända i godtyckliga egenskaper. I detta sammanhang är det mer vanligt att använda modulernas språk snarare än representationer. Representationen som erhålls från en irreducerbar representation definierad över heltal genom att reducera modulo karakteristiken kommer i allmänhet inte att vara irreducerbar. De så konstruerade modulerna kallas Specht-moduler , och varje irreducerbar uppstår inuti någon sådan modul. Det finns nu färre irreducibles, och även om de kan klassificeras är de mycket dåligt förstådda. Till exempel är inte ens deras dimensioner kända i allmänhet.

Bestämningen av de irreducerbara modulerna för den symmetriska gruppen över ett godtyckligt fält anses allmänt vara ett av de viktigaste öppna problemen inom representationsteorin.

Lågdimensionella representationer

Symmetriska grupper

De lägsta dimensionella representationerna av de symmetriska grupperna kan beskrivas explicit och över godtyckliga fält. De minsta två graderna i karakteristiken noll beskrivs här:

Varje symmetrisk grupp har en endimensionell representation som kallas den triviala representationen , där varje element fungerar som en efter en identitetsmatris. För n ≥ 2 finns det en annan irreducerbar representation av grad 1, kallad teckenrepresentation eller alternerande tecken , som tar en permutation till en efter en matris med inmatning ±1 baserat på tecknet för permutationen . Dessa är de enda endimensionella representationerna av de symmetriska grupperna, eftersom endimensionella representationer är abeliska, och abelianiseringen av den symmetriska gruppen är C ₂ , den cykliska gruppen av ordning 2.

För alla n finns det en n -dimensionell representation av den symmetriska gruppen av ordningen n! , kallad naturlig permutationsrepresentation , som består av permutering av n koordinater. Detta har den triviala underrepresentationen som består av vektorer vars koordinater alla är lika. Det ortogonala komplementet består av de vektorer vars koordinater summerar till noll, och när n ≥ 2 är representationen på detta delrum en ( n − 1) -dimensionell irreducerbar representation, kallad standardrepresentationen . En annan ( n − 1) -dimensionell irreducerbar representation hittas genom tensoring med teckenrepresentationen. En yttre effekt $\Lambda ^{k}V$ av standardrepresentationen $V$ är irreducerbar förutsatt $0\leq k\leq n-1$ ( Fulton & Harris 2004 ).

För n ≥ 7 är dessa de lägsta dimensionella irreducerbara representationerna av S _n – alla andra irreducerbara representationer har dimensionen minst n . För n = 4 tillåter emellertid surjektionen från S4 _till S3 _{S4 att} ärva en tvådimensionell irreducerbar representation. För n = 6 producerar den exceptionella transitiva inbäddningen av S5 _i S6 _ytterligare ett par femdimensionella irreducerbara representationer.

Oreducerbar representation av $S_{n}$	Dimensionera	Ungt diagram av storlek $n$
Trivial representation	$1$	$(n)$
Tecken representation	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
Standardrepresentation $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
Exteriör kraft $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(nk,1^{k})$

Omväxlande grupper

Sammansättningen av fem tetraedrar , på vilka A5 _verkar , vilket ger en 3-dimensionell representation.

Representationsteorin för de alternerande grupperna är liknande, även om teckenrepresentationen försvinner. För n ≥ 7 är de lägsta dimensionella irreducerbara representationerna den triviala representationen i dimension ett, och den ( n − 1) -dimensionella representationen från den andra summan av permutationsrepresentationen, med alla andra irreducerbara representationer som har högre dimension, men det finns undantag för mindre n .

De alternerande grupperna för n ≥ 5 har endast en endimensionell irreducerbar representation, den triviala representationen. För n = 3, 4 finns ytterligare två endimensionella irreducerbara representationer, motsvarande mappar till den cykliska gruppen av ordning 3: A ₃ ≅ C ₃ och A ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃ .

• För n ≥ 7 finns det bara en irreducerbar representation av grad n − 1 , och detta är den minsta graden av en icke-trivial irreducerbar representation.
• För n = 3 är den uppenbara analogen till den ( n − 1) -dimensionella representationen reducerbar – permutationsrepresentationen sammanfaller med den reguljära representationen, och bryts alltså upp i de tre endimensionella representationerna, eftersom A ₃ ≅ C ₃ är abelisk; se den diskreta Fouriertransformen för representationsteori för cykliska grupper.
• För n = 4 finns det bara en n − 1 irreducerbar representation, men det finns de exceptionella irreducerbara representationerna av dimension 1.
• För n = 5 finns det två dubbla irreducerbara representationer av dimension 3, motsvarande dess verkan som ikosaedrisk symmetri .
• För n = 6 finns det en extra irreducerbar representation av dimension 5 som motsvarar den exceptionella transitiva inbäddningen av A ₅ i A ₆ .

Tensor produkter av representationer

Kronecker-koefficienter

Tensorprodukten av två representationer av $S_{n}$ som motsvarar Young-diagrammen $\lambda ,\mu$ är en kombination av irreducerbara representationer av $S_{n}$ ,

$V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }$

Koefficienterna $C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N}$ kallas Kronecker-koefficienterna för den symmetriska gruppen. De kan beräknas utifrån representationernas karaktärer ( Fulton & Harris 2004) :

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\summa _{\ rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })$

Summan är över partitionerna $\rho$ av $n$ , med $C_{\rho }$ motsvarande konjugationsklasser. Värdena för tecknen $\chi _{\lambda }(C_{\rho })$ kan beräknas med Frobenius-formeln . Koefficienterna $z_{\rho }$ är

$z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }| }}$

där $i_{j}$ är antalet gånger $j$ förekommer i $\rho$ , så att $\sum i_{j}j =n$ .

Några exempel, skrivna i termer av unga diagram ( Hamermesh 1989) :

$_ -1,1)\ibland (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)}$

$(n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n -2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)$

$_ \displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n) -3,2,1)+(n-3,1,1,1)}$

${\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2) \cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3 ,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned} }$

Det finns en enkel regel för att beräkna $(n-1,1)\otimes \lambda$ för alla Young-diagram $\lambda$ ( Hamermesh 1989 ): resultatet är summan av alla Young-diagram som erhålls från $\lambda$ genom att ta bort en ruta och sedan lägga till en ruta, där koefficienterna är en förutom $\lambda$ själv, vars koefficient är $\#\{\lambda _{i}\}-1$ , dvs antalet olika radlängder minus en.

En begränsning för de irreducerbara beståndsdelarna i $V_{\lambda }\otimes V_{\mu }$ är ( James & Kerber 1981 )

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implicerar |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_ {\lambda }+d_{\mu }$

där djupet $d_{\lambda }=n-\lambda _{1}$ i ett Young-diagram är antalet rutor som inte tillhör den första raden.

Minskade Kronecker-koefficienter

För $\lambda$ ett Young diagram och $n\geq \lambda _{1}$ , $\lambda [ n]=(n-|\lambda |,\lambda )$ är ett ungt diagram av storlek $n$ . Då $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ en begränsad, icke-minskande funktion av $n$ och

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\ lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$

kallas en reducerad Kronecker-koefficient eller stabil Kronecker-koefficient . Det finns kända gränser för värdet på $n$ där $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [ n]}$ når sin gräns. De reducerade Kronecker-koefficienterna är strukturkonstanter för Deligne-kategorier av representationer av $S_{n}$ med $n\in \mathbb {C} -\mathbb {N}$ .

I motsats till Kronecker-koefficienter definieras reducerade Kronecker-koefficienter för varje trippel av Young-diagram, inte nödvändigtvis av samma storlek. Om $|\nu |=|\lambda |+|\mu |$ , sedan ${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }$ sammanfaller med Littlewood-Richardson-koefficienten $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ . Reducerade Kronecker-koefficienter kan skrivas som linjära kombinationer av Littlewood-Richardson-koefficienter via en förändring av baser i utrymmet för symmetriska funktioner, vilket ger upphov till uttryck som är uppenbart integrala men inte uppenbart positiva. Reducerade Kronecker-koefficienter kan också skrivas i termer av Kronecker- och Littlewood-Richardson-koefficienter $c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ via Littlewoods formel

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu}=\summa _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\ lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }$

Omvänt är det möjligt att återvinna Kronecker-koefficienterna som linjära kombinationer av reducerade Kronecker-koefficienter.

Reducerade Kronecker-koefficienter är implementerade i datoralgebrasystemet SageMath .

Egenvärden för komplexa representationer

Givet ett element $w\in S_{n}$ av cykeltyp $\mu =(\mu _{1}, \mu _{2},\dots ,\mu _{k})$ och ordning $m={\text{lcm}}(\mu _{i})$ , egenvärden för $w$ i en komplex representation av $S_{n}$ är av typen $\omega ^{e_{j}}$ med $\omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}$ , där heltal $e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z } }{m\mathbb {Z} }}$ kallas de cykliska exponenterna för $w$ med avseende på representationen.

Det finns en kombinatorisk beskrivning av de cykliska exponenterna för den symmetriska gruppen (och kransprodukter därav). Definierar $\ left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu}(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac { m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}}, \dots ,m,\dots \right)$ , låt $\mu$ -index för en standard Young-tablå vara summan av värdena för $b_{\mu }$ över tablåens nedgångar , ${\text{ind}}_{\mu }(T)=\summa _{k\in \ {{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}$ . Då är de cykliska $\mu$ för representationen av $S_{n}$ som beskrivs av Young-diagrammet $\lambda$ μ -indexen för motsvarande Young-tablåer.

Speciellt om $w$ är av ordningen $n$ , då $b_{\mu }(k)=k$ , och ${ \displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)}$ sammanfaller med huvudindexet för $T$ (summan av nedgångarna). De cykliska exponenterna för en irreducerbar representation av $S_{n}$ beskriver sedan hur den sönderfaller till representationer av den cykliska gruppen ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb { Z} }}$ , där $\omega ^{e_{j}}$ tolkas som bilden av $w$ i den (endimensionella) representationen som kännetecknas av $e_{j}$ .

Se även

• Alternerande polynom
• Symmetriska polynom
• Schur funktör
• Robinson–Schensted korrespondens
• Schur–Weyl-dualitet
• Jucys–Murphy element
• Garnir relationer

Citerade publikationer

•    Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Representationsteori". Graduate Texts in Mathematics . New York, NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-3-540-00539-1 . ISSN 0072-5285 .
•    Hamermesh, M (1989). Gruppteori och dess tillämpning på fysiska problem . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4 . OCLC 20218471 .
•    James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), The representation theory of the symmetric group , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2 , MR 0644144
•    James, GD (1983), "On the minimal dimensions of irreducible representations of symmetric groups", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 94 (3): 417–424, Bibcode : 1983MPCPS..94..417J , doi : 711010 . /S0305004100000803 , ISSN 0305-0041 , MR 0720791