Frobenius formel

Inom matematiken, särskilt inom representationsteori , beräknar Frobenius-formeln, introducerad av G. Frobenius, tecknen för _{irreducerbara} representationer av den symmetriska gruppen Sn . Bland de andra applikationerna kan formeln användas för att härleda kroklängdsformeln .

Påstående

Låt $\chi _{\lambda }$ vara tecknet för en irreducerbar representation av den symmetriska gruppen $S_{n}$ som motsvarar en partition $\lambda$ av n : $n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}$ och $\ell _{j}= \lambda _{j}+kj$ . För varje partition $\mu$ av n , låt $C(\mu )$ beteckna konjugationsklassen i $S_{n}$ som motsvarar den (jfr exemplet nedan), och låt $i_{j}$ beteckna antalet gånger j förekommer i $\mu$ (så $\Sigma \,i_{j}j =n$ ). Sedan Frobenius-formeln att konstantvärdet av $\chi _{\lambda }$ på $C(\mu ),$

$\chi _{\lambda }(C(\mu )),$

är koefficienten för monomialen $x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}$ i den homogena polynom

$\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\ ;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},$

där $P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{ j}+\dots +x_{k}^{j}$ är ${\displaystyle j} -$ :te potenssumman .

Exempel : Ta $n=4$ och $\lambda :4=2+2$ . Om ${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1} ,$ vilket motsvarar klassen för identitetselementet, då ${\ displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$ är koefficienten för $x_{1}^{3}x_{2}^{2}$ i

$(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}$

vilket är 2. På liknande sätt, om $\mu :4=3+1$ (klassen av en 3-cykel gånger en 1-cykel), då $\chi _{\lambda }(C(\mu ))$ , givet av

$(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})( x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),$

är −1.

Analoger

I ( Ram 1991 ) ger Arun Ram en q -analog av Frobenius-formeln.

Se även

• Representationsteori för symmetriska grupper

• Ram, Arun (1991). "En Frobenius-formel för karaktärerna i Hecke-algebran". Inventiones mathematicae . 106 (1): 461–488.
•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
•   Macdonald, IG Symmetriska funktioner och Hall-polynom. Andra upplagan. Oxford matematiska monografier. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 s. ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144