Tensorprodukt av representationer

I matematik är tensorprodukten av representationer en tensorprodukt av vektorrum som ligger bakom representationer tillsammans med den faktormässiga gruppverkan på produkten. Denna konstruktion, tillsammans med Clebsch–Gordan-proceduren, kan användas för att generera ytterligare irreducerbara representationer om man redan känner till några.

Definition

Grupprepresentationer

Om $V_{1},V_{2}$ är linjära representationer av en grupp $G$ , så är deras tensorprodukt tensorprodukten av vektorrymden ${\ displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ med den linjära åtgärden av $G$ unikt bestämd av villkoret som

g\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(g\cdot v_{1} )\otimes (g\cdot v_{2})

för alla $v_{1}\in V_{1}$ och $v_{2}\in V_{2}$ . Även om inte alla element i $V_{1}\otimes V_{2}$ kan uttryckas i formen $v_{1}\otimes v_{2}$ , Tensorproduktens universella egenskaper garanterar att denna åtgärd är väldefinierad.

På homomorfis språk, om åtgärderna för $G$ på $V_{1}$ och $V_{2}$ ges av homomorfismer $\Pi _{1}:G\rightarrow \operatörsnamn {GL} (V_{1})$ och $\Pi _{2}: G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ , då ges tensorproduktrepresentationen av homomorfismen $\Pi _{ 1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatörsnamn {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ ges av

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g) \otimes \Pi _{2}(g)

,

där $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ är tensorprodukten av linjära kartor .

Man kan utvidga begreppet tensorprodukter till vilket ändligt antal representationer som helst. Om V är en linjär representation av en grupp G , då med ovanstående linjära verkan, är tensoralgebra $T(V)$ en algebraisk representation av G ; dvs varje element i G fungerar som en algebraautomorfism .

Lie algebra representationer

Om $(V_{1},\pi _{1})$ och $(V_{2},\pi _{2})$ är representationer av en Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ , då är tensorprodukten av dessa representationer kartan $\ pi _{1}\otimes \pi _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V_{1}\otimes V_{2})$ ges av

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1 }(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

,

där $I$ är identitetsendomorfismen . Motivationen för denna definition kommer från fallet där $\pi _{1}$ och $\pi _{2}$ kommer från representationer $\Pi _{1}$ och $\Pi _{2}$ av en Lie-grupp $G$ . I så fall visar en enkel beräkning att Lie-algebra-representationen associerad med $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}$ ges av den föregående formeln.

Åtgärd på linjära kartor

Om $(V_{1},\Pi _{1})$ och $(V_{2},\Pi _{2})$ är representationer av en grupp $G$ , låt $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ beteckna utrymmet för alla linjära kartor från $V_{1}$ till $V_{2}$ . Då $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ ges strukturen för en representation genom att definiera

g\cdot A=\Pi _{2}(g)A\Pi _{1}(g)^{-1}

för alla $A\in \operatörsnamn {Hom} (V,W)$ . Nu finns det en naturlig isomorfism

\operatorname {Hom} (V,W)\cong V^{*}\otimes W

som vektorrum; denna vektorrymdisomorfism är i själva verket en isomorfism av representationer.

Den triviala underrepresentationen $\operatorname {Hom} (V,W)^{G}$ består av G -linjära kartor ; dvs.

\operatörsnamn {Hom} _{G}(V,W)=\operatörsnamn {Hom} (V,W)^{G}.

Låt $E=\operatörsnamn {End} (V)$ beteckna endomorfismalgebra för V och låt A beteckna subalgebra för $E^{\otimes m}$ som består av av symmetriska tensorer. Huvudsatsen för invariantteorin säger att A är semisenkel när basfältets karakteristika är noll.

Clebsch–Gordans teori

Det allmänna problemet

Tensorprodukten av två irreducerbara representationer $V_{1},V_{2}$ av en grupp eller Lie-algebra är vanligtvis inte irreducerbar. Det är därför av intresse att försöka dekomponera $V_{1}\otimes V_{2}$ i irreducerbara bitar. Detta nedbrytningsproblem är känt som Clebsch-Gordan-problemet.

SU(2)-fallet

Det prototypiska exemplet på detta problem är fallet med rotationsgruppen SO(3) — eller dess dubbla skydd, den speciella enhetliga gruppen SU(2) . De irreducerbara representationerna av SU(2) beskrivs av en parameter $\ell$ , vars möjliga värden är

\ell =0,1/2,1,3/2,\ldots .

(Representationens dimension är då $2\ell +1$ .) Låt oss ta två parametrar $\ell$ och $m$ med $\ell } ell \geq m$ . Sedan bryts tensorproduktrepresentationen $V_{\ell }\otimes V_{m}$ upp enligt följande:

V_{\ell }\otimes V_{m}\cong V_{\ell +m}\oplus V_{\ell +m-1}\oplus \cdots \oplus V_{\ell -m+1}\ oplus V_{\ell -m}.

Betrakta, som ett exempel, tensorprodukten av den fyrdimensionella representationen $V_{3/2}$ och den tredimensionella representationen $V_{1}$ . Tensorproduktrepresentationen $V_{3/2}\otimes V_{1}$ har dimension 12 och sönderdelas som

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3 /2}\oplus V_{1/2}

,

där representationerna på höger sida har dimension 6, 4 respektive 2. Vi kan sammanfatta detta resultat aritmetiskt som $4\times 3=6+4+2$ .

SU(3)-fallet

I fallet med gruppen SU(3) kan alla irreducerbara representationer genereras från den tredimensionella standardrepresentationen och dess dubbla, enligt följande. För att generera representationen med etikett $(m_{1},m_{2})$ tar man tensorprodukten av $m_{1}$ kopior av standardrepresentationen och $m_{2}$ kopior av dualen av standardrepresentationen, och tar sedan det invarianta delutrymmet som genereras av tensorprodukten av vektorerna med högst vikt.

I motsats till situationen för SU(2), i Clebsch–Gordan-nedbrytningen för SU(3), kan en given irreducerbar representation $W$ förekomma mer än en gång i nedbrytningen av $U\ ibland V$ .

Tensorkraft

Liksom med vektorrum, kan man definiera den k: ^te tensorpotentialen för en representation V att vara vektorrummet $V^{\otimes k}$ med åtgärden som ges ovan.

Den symmetriska och alternerande kvadraten

Över ett fält med karakteristisk noll är de symmetriska och alternerande kvadraterna underrepresentationer av den andra tensorpotentialen. De kan användas för att definiera Frobenius–Schur-indikatorn , som indikerar om en given irreducerbar karaktär är verklig , komplex eller kvaternionisk . De är exempel på Schur-funktioner . De definieras enligt följande.

Låt V vara ett vektorrum . Definiera en endomorfism (självkarta) T av $V\otimes V$ enligt följande:

{\begin{aligned}T:V\otimes V&\longrightarrow V\otimes V\\v\otimes w&\longmapsto w\otimes v.\end{aligned}}

Det är en involution (det är sin egen invers), och så är en automorfism (självisomorfism ) av $V\otimes V$ .

Definiera två delmängder av den andra tensorpotentialen av V ,

{\ start{aligned}\operatörsnamn {Sym} ^{2}(V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=v\}\\\operatörsnamn {Alt} ^{2}( V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=-v\}\end{aligned}}

Dessa är den symmetriska kvadraten av V , $V\odot V$ , respektive den alternerande kvadraten av V , $V\wedge V$ . De symmetriska och alternerande kvadraterna är också kända som den symmetriska delen och den antisymmetriska delen av tensorprodukten.

Egenskaper

Den andra tensorpotentialen av en linjär representation V av en grupp G sönderfaller som den direkta summan av de symmetriska och alternerande kvadraterna:

V^{\otimes 2}=V\otimes V\cong \operatörsnamn {Sym} ^{2}(V) \oplus \operatörsnamn {Alt} ^{2}(V)

som representationer. I synnerhet är båda underrepresentationer av den andra tensorkraften. I språket för moduler över gruppringen är de symmetriska och alternerande kvadraterna $\mathbb {C} [G]$ - undermoduler av $V\otimes V$ .

Om V har en bas $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ så har den symmetriska kvadraten en bas $\{v_{i}\otimes v_{j}+v_{j}\otimes v_{i}\mid 1 \leq i\leq j\leq n\}$ och den alternerande kvadraten har en bas $\{v_{i}\ otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ . Följaktligen,

{\begin{aligned}\dim \operatorname {Sym} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V+1)}{2}},\\\dim \ operatornamn {Alt} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V-1)}{2}}.\end{aligned}}

Låt $\chi :G\to \mathbb {C}$ vara tecknet för $V$ . Sedan kan vi beräkna tecknen i de symmetriska och alternerande kvadraterna enligt följande: för alla g i G ,

{\begin{aligned}\chi _{\operatörsnamn {Sym} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2 }+\chi (g^{2})),\\\chi _{\operatörsnamn {Alt} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2}-\chi (g^{2})).\end{aligned}}

De symmetriska och yttre krafterna

Som i multilinjär algebra , över ett fält med karakteristisk noll, kan man mer generellt definiera den k: ^te symmetriska potensen $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ och k: ^te yttre potensen $\Lambda ^{n}(V)$ , som är delrum till den k: ^te tensorpotentialen (se dessa sidor för mer detaljer om denna konstruktion). De är också underrepresentationer, men högre tensorkrafter sönderfaller inte längre som deras direkta summa.

Schur -Weyl-dualiteten beräknar de irreducerbara representationerna som förekommer i tensorpotenser av representationer av den allmänna linjära gruppen $G=\operatornamn {GL} (V)$ . Precis, som en $S_{n}\ gånger G$ -modul

V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }M_{\lambda }\otimes S^{\lambda }(V)

var

$M_{\lambda }$ är en irreducerbar representation av den symmetriska gruppen $S_{n}$ som motsvarar en partition $\lambda$ av n (i avtagande ordning),
$S^{\lambda }(V)$ är bilden av Young symmetrizer $c_{\lambda }:V^{\otimes n }\till V^{\otimes n}$ .

Mappningen $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ är en funktor som kallas Schur-funktorn . Den generaliserar konstruktionerna av symmetriska och yttre krafter:

S^{(n)}(V)=\operatörsnamn {Sym} ^{n}V,\,\,S^{(1,1,\dots ,1)}(V)=\wedge ^ {n}V.

I synnerhet, som en G -modul, förenklar ovanstående till

V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }S^{\lambda }(V)^{\oplus m_{\lambda }}

där $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ . Dessutom kan multipliciteten $m_{\lambda }$ beräknas med Frobenius-formeln (eller kroklängdsformeln ) . Ta till exempel $n=3$ . Sedan finns det exakt tre partitioner: $3=3=2+1=1+1+1$ och, som det visar sig, $m_{(3)}=m_{(1,1,1)}=1,\,m_{(2,1) }=2$ . Därav,

V^{\otimes 3}\simeq \operatorname {Sym} ^{3}V\bigoplus \wedge ^{3}V\bigoplus S^{(2,1)}(V)^{\oplus 2 }.

Tensorprodukter som involverar Schur-funktioner

Låt $S^{\lambda }$ beteckna Schur-funktorn definierad enligt en partition $\lambda$ . Sedan finns det följande nedbrytning:

S^{\lambda }V\otimes S^{\mu }V\simeq \bigoplus _{\nu }(S ^{\nu }V)^{\oplus N_{\lambda \mu \nu }}

där multipliciteterna $N_{\lambda \mu \nu }$ ges av Littlewood–Richardson-regeln .

Givet ändligt dimensionella vektorrum V , W , ger Schur-funktionerna S ^λ sönderdelningen

\operatorname {Sym} (W^{*}\otimes V)\simeq \bigoplus _{\lambda } S^{\lambda }(W^{*})\otimes S^{\lambda}(V)

Den vänstra sidan kan identifieras med ringen k [ Hom( V , W )] = k [ V ^* ⊗ W ] av polynomfunktioner på Hom( V , W ) och så ger ovanstående också nedbrytningen av k [Hom ( V , W )].

Tensor produktrepresentationer som representationer av produktgrupper

Låt G , H vara två grupper och låt $(\pi ,V)$ och $(\rho ,W)$ vara representationer av G respektive H . Sedan kan vi låta den direkta produktgruppen $G\times H$ agera på tensorproduktutrymmet $V\otimes W$ med formeln

(g,h)\cdot (v\otimes w)=\pi (g)v\otimes \rho (h)w.

Även om $G=H$ , kan vi fortfarande utföra denna konstruktion, så att tensorprodukten av två representationer av $G$ alternativt skulle kunna ses som en representation av ${\ displaystyle G\times G}$ snarare än en representation av $G$ . Det är därför viktigt att klargöra om tensorprodukten av två representationer av $G$ ses som en representation av $G$ eller som en representation av $G\times G$ .

I motsats till Clebsch-Gordan-problemet som diskuterats ovan är tensorprodukten av två irreducerbara representationer av $G$ irreducerbar när den ses som en representation av produktgruppen $G\times G$ .

Se även

Anteckningar

Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-3319134666 .
James, Gordon Douglas (2001). Representationer och karaktärer av grupper . Liebeck, Martin W. (2:a upplagan). Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 978-0521003926 . OCLC 52220683 .
Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation , Springer, ISBN 9780387260402 .
Serre, Jean-Pierre (1977). Linjära representationer av ändliga grupper . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9 . OCLC 2202385 .