Schur funktör

Inom matematiken , särskilt inom området representationsteori, är Schur-funktorer (uppkallade efter Issai Schur ) vissa funktorer från kategorin moduler över en fast kommutativ ring till sig själv. De generaliserar konstruktionerna av yttre krafter och symmetriska krafter i ett vektorrum . Schur-funktioner indexeras av Young-diagram på ett sådant sätt att det horisontella diagrammet med n celler motsvarar den n :te symmetriska effektfunktorn, och det vertikala diagrammet med n celler motsvarar den n :te yttre effektfunktorn. Om ett vektorrum V är en representation av en grupp G , så har $\mathbb {S} ^{\lambda }V$ också en naturlig verkan av G för vilken som helst Schur-funktion ${\ displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(-)}$ .

Definition

Schur-funktioner indexeras av partitioner och beskrivs enligt följande. Låt R vara en kommutativ ring, E en R -modul och λ en partition av ett positivt heltal n . Låt T vara en ung tablå med formen λ, och indexera således faktorerna för den n -faldiga direkta produkten , E × E × ... × E , med rutorna för T. Betrakta dessa kartor av R -moduler $\varphi :E^{\times n}\to M$ som uppfyller följande villkor

(1) $\varphi$ är multilinjär,

(2) $\varphi$ är alternerande i posterna som indexeras av varje kolumn i T ,

(3) $\varphi$ uppfyller ett utbytesvillkor som anger att om $I\subset \{1,2,\dots ,n\}$ är tal från kolumn i i T då

\varphi (x)=\summa _{x'}\varphi (x')

där summan är över n -tuplingar x' erhållen från x genom att byta ut elementen indexerade med I med någon $|I|$ element indexerade med siffrorna i kolumn $i-1$ (i ordning).

Den universella R -modulen $\mathbb {S} ^{\lambda }E$ som sträcker sig $\varphi$ till en mappning av R -moduler ${\tilde {\varphi }}:\mathbb {S} ^{\lambda }E\to M$ är bilden av E under Schur-funktionen indexerad med λ.

För ett exempel på villkoret (3) placerat på $\varphi$ antag att λ är partitionen $(2,2,1)$ och tablån T är numrerad så att dess poster är 1, 2, 3, 4, 5 när de läses uppifrån och ner (vänster till höger). Om vi tar $I=\{4,5\}$ (dvs siffrorna i den andra kolumnen i T ) har vi

\varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{ 5})=\varphi (x_{4},x_{5},x_{3},x_{1},x_{2})+\varphi (x_{4},x_{2},x_{5} ,x_{1},x_{3})+\varphi (x_{1},x_{4},x_{5},x_{2},x_{3}),

medan om $I=\{5\}$ då

\varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{5},x_{2},x_{3}, x_{4},x_{1})+\varphi (x_{1},x_{5},x_{3},x_{4},x_{2})+\varphi (x_{1},x_{ 2},x_{5},x_{4},x_{3}).

Exempel

Fixera ett vektorrum V över ett fält med karakteristisk noll. Vi identifierar partitioner och motsvarande Young-diagram. Följande beskrivningar gäller:

För en partition λ = (n) är Schur-funktionen S ^λ ( V ) = Sym ⁿ ( V ).
För en partition λ = (1, ..., 1) (upprepad n gånger) är Schur-funktorn S ^λ ( V ) = Λ ⁿ ( V ).
är Schur-funktorn S ^λ ( V ) cokärnan för comultiplication -kartan av yttre potenser Λ ³ ( V ) → Λ ² ( V ) ⊗ V .
För en partition λ = (2, 2) är Schur-funktorn S ^λ ( V ) kvoten av Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ) av bilderna av två kartor. Den ena är sammansättningen Λ ³ ( V ) ⊗ V → Λ ² ( V ) ⊗ V ⊗ V → Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ), där den första kartan är komultiplikationen längs den första koordinaten. Den andra kartan är en comultiplication Λ ⁴ ( V ) → Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ).
För en partition λ = ( n , 1, ..., 1), med 1 upprepade m gånger, är Schur-funktionen S ^λ ( V ) kvoten av Λ ⁿ ( V ) ⊗ Sym ^m ( V ) av bilden av sammansättningen av comultiplicationen i yttre potenser och multiplikationen i symmetriska potenser:

\Lambda ^{n+1}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V){\xrightarrow {\Delta \otimes \mathrm {id} }}\Lambda ^{n}(V)\otimes V\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V){\xrightarrow {\mathrm {id} \otimes \cdot }}\Lambda ^{n }(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m}(V)

Ansökningar

Låt V vara ett komplext vektorrum med dimensionen k . Det är en tautologisk representation av dess automorfismgrupp GL( V ). Om λ är ett diagram där varje rad inte har fler än k celler, så är S ^λ ( V ) en irreducerbar GL( V )-representation av högsta vikten λ. Faktum är att varje rationell representation av GL( V ) är isomorf till en direkt summa av representationer av formen S ^λ ( V ) ⊗ det( V ) ^{⊗ m} , där λ är ett Young-diagram med varje rad strikt kortare än k , och m är vilket (eventuellt negativt) heltal som helst.

I detta sammanhang anger Schur-Weyl-dualitet att som en $GL(V)$ -modul

V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda) \leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)^{\oplus f^{\lambda }}

där $f^{\lambda }$ är antalet unga standardtablåer med formen λ. Mer generellt har vi sönderdelningen av tensorprodukten som $GL(V)\times {\mathfrak {S}}_{n}$ -bimodul

V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell \lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)\otimes \operatörsnamn {Specht} (\lambda )

där $\operatorname {Specht} (\lambda )$ är Specht-modulen indexerad av λ. Schur-funktioner kan också användas för att beskriva koordinatringen för vissa flaggvarianter.

Plethysm

För två Young-diagram λ och μ beakta sammansättningen av motsvarande Schur-funktioner S ^λ (S ^μ (-)). Denna sammansättning kallas en plethysm av λ och μ. Från den allmänna teorin är det känt att, åtminstone för vektorrum över ett karakteristiskt nollfält, är plethysmen isomorf till en direkt summa av Schur-funktioner. Problemet med att avgöra vilka unga diagram som förekommer i den beskrivningen och hur man beräknar deras multiplicitet är öppet, bortsett från några speciella fall som Sym ^m (Sym ² ( V )).

Se även

J. Towber, Två nya funktorer från moduler till algebror, J. Algebra 47 (1977), 80-104. doi:10.1016/0021-8693(77)90211-3
W. Fulton, Young Tableaux, med tillämpningar på representationsteori och geometri . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6 .

externa länkar

Schur Functors | n-Category Café