Schur–Weyl-dualitet

Schur-Weyl-dualitet är ett matematiskt teorem inom representationsteorin som relaterar irreducible finitdimensionella representationer av de allmänna linjära och symmetriska grupperna. Det är uppkallat efter två pionjärer inom representationsteorin för Lie-grupper , Issai Schur , som upptäckte fenomenet, och Hermann Weyl , som populariserade det i sina böcker om kvantmekanik och klassiska grupper som ett sätt att klassificera representationer av enhetliga och allmänna linjära grupper.

Schur–Weyl-dualitet kan bevisas med hjälp av dubbelcentraliseringssatsen .

Beskrivning

Schur-Weyl-dualitet bildar en arketypisk situation inom representationsteorin som involverar två typer av symmetri som bestämmer varandra. Tänk på tensorutrymmet

$\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}$ med k faktorer.

Den symmetriska gruppen S _k på k bokstäver verkar på detta utrymme (till vänster) genom att permutera faktorerna,

$\sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{- 1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.$

Den allmänna linjära gruppen GL _n av inverterbara n × n matriser verkar på den genom den samtidiga matrismultiplikationen ,

$g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad g\in {\text{GL}}_{n}.$

Dessa två handlingar pendlar , och i sin konkreta form hävdar Schur-Weyl-dualiteten att under den gemensamma aktionen av grupperna Sk och GL _n bryts tensorrummet ned till en direkt summa av tensorprodukter av irreducerbara moduler (för dessa två grupper) _. ) som faktiskt bestämmer varandra,

$\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\summa _{D}\pi _{k }^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.$

Summanerna indexeras av Young-diagrammen D med k rutor och högst n rader, och representationer $\pi _{k}^{D}$ av S _k med olika D är ömsesidigt icke-isomorfa, och detsamma gäller representationer $\rho _{n}^{D}$ av GL _n .

Den abstrakta formen av Schur-Weyl-dualiteten hävdar att två algebror av operatorer på tensorrymden som genereras av GL _n och Sk _k är de fullständiga ömsesidiga centralisatorerna i algebra av endomorfismerna $\mathrm {Slut} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{ n}).$

Exempel

Antag att k = 2 och n är större än ett. Sedan är Schur-Weyl-dualiteten påståendet att tvåtensorernas utrymme bryts ned i symmetriska och antisymmetriska delar, som var och en är en irreducerbar modul för GL _n :

$\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C } ^{n}.$

Den symmetriska gruppen S ₂ består av två element och har två irreducerbara representationer, den triviala representationen och teckenrepresentationen. Den triviala representationen av S ₂ ger upphov till de symmetriska tensorerna, som är invarianta (dvs. inte förändras) under faktorernas permutation, och teckenrepresentationen motsvarar de skevsymmetriska tensorerna, som vänder på tecknet.

Bevis

Tänk först på följande inställning:

• G en ändlig grupp ,
• $A=\mathbb {C} [G]$ gruppalgebra för G ,
• $U$ en ändlig dimensionell höger A -modul, och
• ${\displaystyle B=\operatorname {End} _{G}(U)} ,$ som verkar på U från vänster och pendlar med rätt åtgärd av G (eller av A ). Med andra ord $B$ centraliseraren för $A$ i endomorfismringen $\operatorname {End} (U)$ .

Beviset använder två algebraiska lemman.

Lemma 1 — Om $W$ är en enkel vänster A -modul, så är $U\otimes _{A}W$ en enkel vänster B -modul.

Bevis : Eftersom U är halvenkelt enligt Maschkes sats , finns det en nedbrytning $U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ till enkel A -moduler. Då $U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^ {\oplus m_{i}}$ . Eftersom A är den vänstra vanliga representationen av G , visas varje enkel G -modul i A och vi har att $U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C}$ (respektive noll) om och endast om $U_{i},W$ motsvarar samma enkla faktor för A (respektive annars). Därför har vi: $U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}.$ Nu är det lätt att se att varje vektor som inte är noll i $\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}$ genererar hela utrymme som en B -modul och så $U\otimes _{A}W$ är enkelt. (I allmänhet är en modul som inte är noll enkel om och bara om var och en av dess cykliska undermoduler som inte är noll sammanfaller med modulen.) $\square$

Lemma 2 — När $U=V^{\otimes d}$ och G är den symmetriska gruppen ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}} ,$ ett delrum till $U$ är en B -undermodul om och endast om den är invariant under $\operatorname {GL} (V)$ ; med andra ord, en B -undermodul är detsamma som en $\operatorname {GL} (V)$ -undermodul.

Bevis : Låt $W=\operatörsnamn {End} (V)$ . W $W\hookrightarrow \operatörsnamn {Slut} (U),w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w$ . Bilden av W spänner också över delrummet av symmetriska tensorer $\operatorname {Sym} ^{d}(W)$ . Eftersom ${\displaystyle B=\operatörsnamn {Sym} ^{d}(W)} spänner$ bilden av $W$ över $B$ . Eftersom $\operatorname {GL} (V)$ är tät i W antingen i den euklidiska topologin eller i Zariski-topologin, följer påståendet. $\square$

Dualiteten Schur–Weyl följer nu. Vi tar $d}}$ { för att vara den symmetriska gruppen och $U=V^{\otimes d}$ d - tensorkraften för ett ändligt dimensionellt komplext vektorrum V .

Låt $V^{\lambda }$ beteckna den irreducerbara ${\mathfrak {S}}_{d}$ -representationen som motsvarar en partition $\lambda$ och $m_{\lambda }=\dim V^{\lambda }$ . Sedan av Lemma 1

$S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d }}V^{\lambda }$

är irreducerbar som en $\operatorname {GL} (V)$ -modul. Dessutom, när ${\displaystyle A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}} är$ den vänstra halvenkla nedbrytningen , vi har:

$V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A} A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}$ ,

vilket är den halvenkla nedbrytningen som en $\operatorname {GL} (V)$ -modul.

Generaliseringar

Brauer- algebra spelar rollen som den symmetriska gruppen i generaliseringen av Schur-Weyl-dualiteten till de ortogonala och symplektiska grupperna.

Mer allmänt ger partitionsalgebra och dess subalgebra upphov till ett antal generaliseringar av Schur-Weyl-dualiteten.

Anteckningar

•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
• Roger Howe , Perspectives on invariant theory: Schur-dualitet, mångfaldsfria handlingar och bortom . The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Konf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. MR 1321638
• Issai Schur , Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen . Avhandling. Berlin. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
• Issai Schur , Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe . Sitzungsberichte Akad. Berlin 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
•    Sengupta, Ambar N. (2012). "Kapitel 10: Character Duality". Representera ändliga grupper, en halvenkel introduktion . Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8 . OCLC 875741967 .
• Hermann Weyl , De klassiska grupperna. Deras invarianter och representationer . Princeton University Press, Princeton, NJ, 1939. xii+302 s. MR 0000255

externa länkar

• Hur kan man konstruktivt/kombinatoriskt bevisa Schur-Weyl-dualitet?