Murnaghan-Nakayama regel

I gruppteorin , en gren av matematiken, är Murnaghan-Nakayama-regeln en kombinatorisk metod för att beräkna irreducerbara teckenvärden för en symmetrisk grupp . Det finns flera generaliseringar av denna regel utöver representationsteorin för symmetriska grupper, men de täcks inte här.

De irreducerbara karaktärerna i en grupp är av intresse för matematiker eftersom de kortfattat sammanfattar viktig information om gruppen, till exempel dimensionerna av vektorutrymmena där elementen i gruppen kan representeras av linjära transformationer som "blandar" alla dimensioner. För många grupper är det mycket svårt att beräkna irreducerbara teckenvärden; förekomsten av enkla formler är undantag snarare än regel.

Murnaghan–Nakayama-regeln är en kombinatorisk regel för att beräkna symmetriska gruppteckenvärden χ
^λ_ρ med hjälp av en speciell sorts Young-tablåer . Här är λ och ρ båda heltalspartitioner av något heltal n , ordningen för den symmetriska gruppen som betraktas . Partitionen λ specificerar det irreducerbara tecknet, medan partitionen ρ specificerar konjugationsklassen på vars gruppelement tecknet utvärderas för att producera teckenvärdet. Skiljeväggarna representeras som svagt avtagande tupler; till exempel är två av partitionerna av 8 (5,2,1) och (3,3,1,1).

Det finns två versioner av Murnaghan-Nakayama-regeln, en icke-rekursiv och en rekursiv.

Icke-rekursiv version

Sats:

\chi _{\rho }^{\lambda }=\summa _{T\in BST(\ lambda ,\rho )}(-1)^{ht(T)}

där summan tas över mängden BST(λ,ρ) för alla border-strip- tabeller med formen λ och typen ρ. Det vill säga att varje tablå T är en sådan tablå

den k -te raden av T har λ _k rutor
rutorna i T är fyllda med heltal, med heltal i visas ρ _i gånger
heltalen i varje rad och kolumn ökar svagt
uppsättningen rutor fyllda med heltal i bildar en kantremsa , det vill säga en ansluten snedform utan 2×2-ruta.

Höjden , ht ( T), är summan av höjderna på kantremsorna i T . Höjden på en kantremsa är en mindre än antalet rader den vidrör.

Det följer av denna sats att teckenvärdena för en symmetrisk grupp är heltal.

För vissa kombinationer av λ och ρ finns det inga border-strip-tabeller. I det här fallet finns det inga termer i summan och därför är teckenvärdet noll.

Exempel

Betrakta beräkningen av ett av teckenvärdena för den symmetriska gruppen av ordning 8, när λ är partitionen (5,2,1) och ρ är partitionen (3,3,1,1). Formpartitionen λ anger att tablån måste ha tre rader, den första har 5 rutor, den andra har 2 rutor och den tredje har 1 ruta. Typpartitionen ρ anger att tablån måste fyllas med tre 1:or, tre 2:or, en 3:a och en 4:a. Det finns sex sådana border-strip-tablåer:

Om vi kallar dessa $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ , $T_{5}$ och $T_{6}$ , då är deras höjder

${\begin{aligned}ht(T_{1})=0+1+ 0+0=1\\ht(T_{2})=1+0+0+0=1\\ht(T_{3})=1+0+0+0=1\\ht(T_{4} })=2+0+0+0=2\\ht(T_{5})=2+0+0+0=2\\ht(T_{6})=2+1+0+0=3 \end{aligned}}$

och teckenvärdet är därför

$\chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=(-1 )^{1}+(-1)^{1}+(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{3} =-1-1-1+1+1-1=-2$

Rekursiv version

Sats:

\chi _{\rho }^}=\lambda _{\xi \in BS(\lambda ,\rho _{1})}(-1)^{ht(\xi )}\chi _{\rho \backslash \rho _{1}}^{\lambda \backslash \xi }

där summan tas över mängden BS(λ,ρ ₁ ) av kantremsor inom Young-diagrammet av form λ som har ρ ₁ rutor och vars borttagande lämnar ett giltigt Young-diagram. Notationen $\lambda \backslash \xi$ representerar partitionen som blir resultatet av att ta bort kantremsan ξ från λ. Notationen $\rho \backslash \rho _{1}$ representerar partitionen som blir resultatet av att ta bort det första elementet ρ ₁ från ρ.

Observera att den högra sidan är en summa av tecken för symmetriska grupper som har mindre ordning än den för den symmetriska gruppen vi började med på vänster sida. Med andra ord uttrycker denna version av Murnaghan-Nakayama-regeln en karaktär av den symmetriska gruppen S _n i termer av tecknen i mindre symmetriska grupper S _k med k < n .

Att tillämpa denna regel rekursivt kommer att resultera i ett träd med teckenvärdeutvärderingar för mindre och mindre partitioner. Varje gren stannar av en av två anledningar: Antingen finns det inga kantremsor med önskad längd inom den reducerade formen, så summan till höger är noll, eller så tas en kantremsa som upptar hela den reducerade formen bort, vilket lämnar ett Young-diagram med inga lådor. Vid denna tidpunkt utvärderar vi χ
^λ_ρ när både λ och ρ är den tomma partitionen (), och regeln kräver att detta terminalfall definieras som att ha tecknet $\chi _{() }^{()}=1$ .

Denna rekursiva version av Murnaghan-Nakayama-regeln är särskilt effektiv för datorberäkning när man beräknar teckentabeller för Sk _för ökande värden på k och lagrar alla tidigare beräknade teckentabeller.

Exempel

Vi kommer återigen att beräkna teckenvärdet med λ=(5,2,1) och ρ=(3,3,1,1).

Tänk till att börja med Young-diagrammet med formen λ. Eftersom den första delen av ρ är 3, leta efter kantremsor som består av 3 rutor. Det finns två möjligheter:

I det första diagrammet har kantremsan höjden 0, och om du tar bort den ger den reducerade formen (2,2,1). I det andra diagrammet har kantremsan höjd 1, och om du tar bort den ger den reducerade formen (5). Därför har man

$\chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=\chi _{(3,1,1)}^{(2,2,1)}-\chi _{ (3,1,1)}^{(5)}$ ,