Jucys–Murphy element

I matematik definieras Jucys –Murphy-elementen i gruppalgebra $\mathbb {C} [S_{n}]$ i den symmetriska gruppen , uppkallad efter Algimantas Adolfas Jucys och GE Murphy, som en summan av transponeringar med formeln:

$X_{1}=0,~~~X_{k}=(1\;k)+(2\;k)+\cdots +(k-1\;k),~~~k=2 ,\dots ,n.$

De spelar en viktig roll i representationsteorin för den symmetriska gruppen .

Egenskaper

De genererar en kommutativ subalgebra av $\mathbb {C} [S_{n}]$ . Dessutom X _n med alla element i $\mathbb {C} [S_{n-1}]$ .

_" seminormala representation" är egenvektorer för verkan av Xn . För alla standard Young tableau U har vi:

$X_{k}v_{U}=c_{k}(U)v_{U},~~~k= 1,\dots ,n,$

där c _k ( U ) är innehållet b − a i cellen ( a , b ) som upptas av k i standardtabellen U .

Teorem (Jucys): Centrum $Z(\mathbb {C} [S_{n}])$ i gruppen algebra $\mathbb {C} [S_{n}]$ i den symmetriska gruppen genereras av de symmetriska polynomen i elementen X _k .

Sats (Jucys): Låt t vara en formell variabel som pendlar med allt, då följande identitet för polynom i variabel t med värden i gruppen algebra $\mathbb {C} [S_{n}]$ stämmer:

$(t+X_{1})(t+X_{2})\cdots (t+X_{n})=\summa _{\sigma \in S_{n}}\sigma t^{{\ text{antal cykler av }}\sigma }.$

Sats ( Okounkov – Vershik ): Subalgebra av $\mathbb {C} [S_{n}]$ genererad av centra

$Z(\mathbb {C} [ S_{1}]),Z(\mathbb {C} [S_{2}]),\ldots ,Z(\mathbb {C} [S_{n-1}]),Z(\mathbb {C} [ S_{n}])$

är exakt den subalgebra som genereras av Jucys–Murphy-elementen X _k .

Se även

• Representationsteori för den symmetriska gruppen
• Ung symmetrisör

• Okounkov, Andrei ; Vershik, Anatoly (2004), "A New Approach to the Representation Theory of the Symmetric Groups. 2", Zapiski Seminarov POMI , 307 , arXiv : math.RT/0503040 (reviderad engelsk version). {{ citation }} : CS1 underhåll: efterskrift ( länk )

• Jucys, Algimantas Adolfas (1974), "Symmetric polynomials and the center of the symmetric group ring", Rep. Mathematical Phys. , 5 (1): 107–112, Bibcode : 1974RpMP....5..107J , doi : 10.1016/0034-4877(74)90019-6

• Jucys, Algimantas Adolfas (1966), "On the Young operators of the symmetric group" (PDF) , Lietuvos Fizikos Rinkinys , 6 : 163–180

• Jucys, Algimantas Adolfas (1971), "Factorization of Young projection operators for the symmetric group" (PDF) , Lietuvos Fizikos Rinkinys , 5–11 : 5–11 :

• Murphy Rinkinys ,

• GE (1981), "A new construction of Youngs seminormal representation of the symmetric group", J. Algebra , 69 (2): 287–297, doi : 10.1016/0021-8693(81)90205-2