Garnir relationer

I matematik ger Garnir-relationerna ett sätt att uttrycka en bas för Specht-modulerna V _λ i termer av standardpolytabloider.

Specht-moduler i termer av polytabloider

Givet en partition λ av n har man Specht-modulen V _λ . I karakteristik 0 är detta en irreducerbar representation av den symmetriska gruppen S _n . Man kan konstruera V _λ uttryckligen i termer av polytabloider enligt följande:

Börja med permutationsrepresentationen av S _n som verkar på alla unga tablåer med formen λ , som är fyllningar av Young-diagrammet för λ med siffrorna 1, 2, ... n , var och en använd en gång (observera att vi inte kräver att tablåerna för att vara standard, det finns inga villkor längs rader eller kolumner). Gruppen Sn agerar genom att permutera positionerna i varje tablå (till exempel finns det en cyklisk permutation som cyklar ingångarna i den första raden en plats framåt) _.
En ung tabloid är en omloppsbana av unga tablåer under verkan av radpermutationer, undergruppen av S _n av permutationer som permuterar positionerna i varje rad separat (denna "Unga undergrupp" är en produkt av symmetriska grupper, en för varje rad) . Den unga tabloiden av T betecknas { T }.
Betrakta nu den fria Abelia-gruppen av polytabloider, de formella linjära kombinationerna med heltalskoefficienter för unga tabloider. Till vilken ung tablå T som helst associerar man en polytabloid e _T enligt följande. En bildar först omloppsbanan för T under verkan av gruppen ${\displaystyle {\rm {col}}(T)} av$ som radpermutationer men permuterande positioner inom endast enskilda kolumner). Skriver sedan resultatet av åtgärden på en tablå T med en kolumnpermutation σ som Tσ , definierar:

e_{T}=\summa _{\sigma \in {\rm {col}}(T)}\operatörsnamn {sgn}(\sigma )\{T\sigma \}.

\{T\}=\{T'\}

innebär inte

e_{T}=e_{T'}

, eftersom åtgärderna för rad och kolumn permutationer pendlar inte i allmänhet.

Specht-modulen V _{λ är}_då delutrymmet för utrymmet för alla polytabloider som spänner över av polytabloiderna eT för alla Young-tabloider T med formen λ .

Uträtning av polytabloider och Garnir-elementen

Ovanstående konstruktion ger en explicit beskrivning av Specht-modulen V _λ . Emellertid är polytabloiderna associerade med olika Young-tablåer inte nödvändigtvis linjärt oberoende, faktiskt, dimensionen på V _λ är exakt antalet unga standardtablåer med formen λ. Faktum är att polytabloiderna associerade med standard Young-tablåer spänner över V _λ ; för att uttrycka andra polytabloider i termer av dem använder man en uträtningsalgoritm .

Givet en Young tableau S konstruerar vi polytabloiden e _S enligt ovan. Utan förlust av generalitet ökar alla kolumner av S , annars skulle vi istället kunna börja med den modifierade Young-tablåen med ökande kolumner, vars polytabloid som mest kommer att skilja sig åt med ett tecken. S sägs då inte ha några kolumnnedgångar . Vi vill uttrycka e _S som en linjär kombination av standardpolytabloider, dvs polytabloider associerade med standard Young-tabloider. För att göra detta vill vi ha permutationer π _i så att i alla tablåer S π _i har en radnedstigning eliminerats, med $S(1+\summa _{i} \pi _{i})=0$ . Detta uttrycker då S i termer av polytabloider som är närmare standard. Permutationerna som uppnår detta är Garnir-elementen .

Anta att vi vill eliminera en radnedstigning i Young-tabellen T . Vi väljer två delmängder A och B av rutorna med T som i följande diagram:

definieras Garnir-elementet ${\displaystyle g_{A,B}} till$ $\sum _{i}\operatörsnamn {sgn}(\pi _ {i})\pi _{i}$ , där π _i är permutationerna av posterna i rutorna i A och B som håller både delmängder A och B utan kolumnnedgångar.

Exempel

Tänk på följande unga tablå:

Det finns en radnedstigning i den andra raden, så vi väljer delmängderna A och B som anges, vilket ger oss följande:

Detta ger oss Garnir-elementet $g_{A,B}=1-(45) +(245)+(465)-(2465)+(25)(46)$ . Detta gör att vi kan ta bort radnedstigningen i den andra raden, men detta har även introducerat andra nedgångar på andra ställen. Men det finns ett sätt på vilket alla tablåer som erhålls på det här sättet är närmare standard, detta mäts med en dominansordning på polytabloider. Därför kan man upprepade gånger använda denna procedur för att räta ut en polytabloid, och så småningom skriva den som en linjär kombination av standardpolytabloider, vilket visar att Specht-modulen täcks av standardpolytabloiderna. Eftersom de också är linjärt oberoende utgör de grunden för denna modul.

Andra tolkningar

Det finns en liknande beskrivning för de irreducerbara representationerna _av GLn . I så fall kan man överväga Weyl-modulerna associerade med en partition λ, som kan beskrivas i termer av bideterminanter. Man har en liknande uträtningsalgoritm, men den här gången i form av semistandard Young-tablåer.

William Fulton. Unga tablåer, med tillämpningar på representationsteori och geometri . Cambridge University Press, 1997.
Bruce E. Sagan . Den symmetriska gruppen . Springer, 2001.
James Alexander Green . Polynomrepresentationer av GL _n . Springer Lecture Notes In Mathematics, 2007.